高考难点之平面向量"四心问题"打印
高考难点之平面向量“四心问题”
一、重心:(运算会涉及三角形法则、平行四边形法则和三点共线) X A +XB +XC Y A +YB +YC 1、重心G ( , ) 2、OA +OB +OC =0
333、
S ∆BOC =S ∆AOC =S ∆AOB =
1
S ∆ABC 3
二、垂心:(运算会涉及三角形法则、平行四边形法则和向量的数量积)
1、⋅=⋅=⋅ 2、S ∆BOC :S ∆A OC :S ∆A OB =tan A :tan B :tan C
3、tan A +tan B +tan C = 4、OA 2+BC 2=OB 2+CA 2=OC 2+AB 2
三、外心:(运算会涉及三角形法则、投影、数量积)
1、|OA |=|OB |=|OC |
:sin ∠AOC :sin ∠AOB =sin 2A :sin 2B :sin 2C 2、S ∆BOC :S ∆A OC :S ∆A OB =sin ∠BOC
3、sin 2A +sin 2B +sin 2C =
四、内心:(运算会涉及三角形法则、平行四边形法、向量共线) aX A + bXB + cXC ay A + byB + cyC
1、内心I ()
a+b+ca+b+c2、λ(
AB +AC )(λ≠0) 所在直线过∆ABC 的内心
|AB ||AC |
3、a OA +b OB +c OC =0
⋅-=⋅-=⋅-=0
5、
6、S ∆BOC :S ∆A OC :S ∆A OB =a :b :c
7、a OA +b OB +c OC =0或sin A OA +sin B OB +sin C OC =0 常见重要结论证明:
1、在△ABC 中,O 是三角形内任意一点,证明:S BOC
+SAOC
+SAOB
=0
2、在△ABC 中,已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。 求证:Q 、G 、H 三点共线,且QG:GH=1:2。
3、若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心. 求证 OH =OA +OB +OC . 4、在△ABC 内求一点P ,使AP 2+BP 2+CP 2最小.
7. 动点P 满足
=λ(
+
)(λ≠0),则点P 的轨迹一定过△ABC 的
=s
,则有序实数对(s ,t )为
8. △ABC 中,AB=1,BC=,AC=2,O 为△ABC 的外心,若
•
=
9.△ABC 中,AB=2,AC=4,O 为△ABC 的外心,则等于
+
,则∠BAC 的度数为
•
的取值范围是 ,则m 的值为
,且2x+10y=5,则边BC 的长为 .
10.设O 为△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心).若
11.△ABC 中,BC=2,A=45°,B 为锐角,点O 是△ABC 外接圆的圆心,则12.已知O 是△ABC 的外心,A 、B 、C 为△ABC 的内角,若13.已知O 为锐角△ABC 的外心,AB=6,AC=10,14.已知O 为△ABC
的外心,若15.若点P 是△ABC 的外心,且16.O 是△ABC 的外心,AB=1,AC=2,且
=x
+y
,则∠C 等于 .
,∠C=120°,则实数λ的值为 .
(x ∈R ,且x ≠0),则△ABC 的边长BC= .
=m
+n
,则m :n= ,则λ1+λ2=
的取值范围是
|的最小值为
=m+2
,
=n
,则
17. 已知在△ABC 中,AB=BC=3,AC=4,设O 是△ABC 的内心,若18.在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,O 点是内心,且19.已知点G 是△ABC 的重心,点P 是△GBC 内一点,若20.已知点M 是△ABC 的重心,若A=60°,
•
=3,则|
21.G 为△ABC 的重心,P 、Q 分别在AB 、AC 上,且PQ 过G 点,22.设G 为△ABC 的重心,若△ABC 所在平面内一点P 满足23.已知△ABC 的重心为O ,AC=6,BC=7,AB=8,则24.设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,重心为G ,则
11
+= m n
=,则的值等于 .
= .
= .