集合与简易逻辑附详细答案解析

最新集合与简易逻辑

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

22

⎛a +b ⎫a +b

1．设a , b ∈R ，已知命题p :a =b ；命题q : ，则p 是q 成立的（ ） ⎪≤

22⎝⎭

2

A ．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．设全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S ={1,3,5}，T ={3,6}，则C U (S ⋃T

)等于（ ）

A ．∅ B．{2,4,7,8} C．{1,3,5,6} D．{2,4,6,8} 3．设集合A =x 2x +1＜3，B =x -3＜x ＜2，则A ⋂B 等于（ ）

A x -3＜x ＜1

{}{}

{}

B x ＜x ＜2 C｛x|x>－3｝ D ｛x|x

2

{}

4．已知全集U =R, 且A=｛x ︱︱x －1︱>2｝, B =｛x ︱x －6x +8

5． "tan α=1" 是" α=

U

A ) ∩B 等于（ ）

π

4

" 的

A 充分而不必要条件 B 必要不而充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

6．集合P ＝｛x 」x 2－16

A. ｛-2,2｝ B. ｛－2，2，－4，4｝ C. ｛2，0，2｝ D. ｛－2，2，0，－4，4｝ 7．“a=1”是“函数f (x ) =|x -a |在区间[1, +∞) 上为增函数”的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 8．设函数f (x ) =

x -a

, 集合M={x |f (x ) 0}, 若M P, x -1

则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 9．已知集合M ＝｛x|

x

≥0｝，N ＝｛y|y＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ⋂N ＝（ ） 3

（x －1）

A ．∅ B. {x|x≥1} C. ｛x|x>1｝ D. {x| x≥1或x

11． 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={1, 3}，B ={2, 3, 4}，那么A ⋃(C U B ) = 12．设二次函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ，若f (x 1) =f (x 2) （其中x 1≠x 2），则

2

f (

x 1+x 2

) 等于 _____. 2

13．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log2x ＞1｝，则M ∩N ＝

14．下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）. ①将函数y =x +1的图象按向量v =(－1,0) 平移，得到的图象对应的函数表达式为y =x

1

x 相交，所得弦长为2 2

11

③若sin(α+β)= ,sin(α－β)=, 则tan αcot β=5

23

②圆x 2+y 2+4x +2y +1=0与直线y =

④如图，已知正方体ABCD- A1B 1C 1D 1，P 为底面ABCD 内一动点，

P 到平面AA 1D 1D 的距离与到直线CC 1的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线的一部分.

15．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝ ． 16．（17浙江）设f （n ）＝2n +1（n ∈N ），P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝｛3，4，5，6，7｝，

ˆ＝｛n ∈N ︱f (n) ∈P ｝ˆ∩ðN Q ˆ ）＝ ˆ＝{n ∈N ︱f (n ) ∈Q }，则（P ˆ）∪（Q ˆ∩ðN P 记P ，Q

三、解答题（共4题，10+12+12+12=46，共46分）

2

17．设全集U=R, 集合A=｛x | x- x-6

18．若不等式ax +bx +2>0的解集为(-

19. 记函数f (x ) =

2

11

, ) ，求a +b 的值 23

2-

x +3

的定义域为A,g(x)=lg [(x -a -1)(2a -x )](a

B.

(1) 求A;

(2) 若B ⊆A 求实数a 的取值范围. 20. 设a ∈R ，函数

f (x =)

2

f (x ) >0的解集为若. a a -x 2-x 2

A ，

B ={x |1

答案与点拨:

22

⎛a +b ⎫a +b

1．B 解：命题p :a =b 是命题q : 等号成立的条件，故选B 。 ⎪≤

2⎝2⎭

2．B 解：S ⋃T ={1,3,5,6}，则C U (S ⋃T )＝{2,4,7,8}，故选B

2

3．A 解：集合A =x 2x +1，借助数轴易得选A ＜3＝｛x|x

24．C 解：全集U =R , 且A =x |x -1>2={x |x 3},B =x |x -6x +8

{}

{}

{}

∴(

U

A ) ∩B =(2,3]，选C.

5．B 解：若"tan α=1" ，则α=k π+

π

4

，α不一定等于

ππ

；而若" α=" 则tanα=1，∴ 44

"tan α=1" 是" α=

π

4

" 的必要不而充分条件，选B.

6．C 解：P ＝｛x |x 2－16

f (x ) =|x -a |在区间[1, +∞) 上为增函数，则a ≤1，所以“a =1”是“函数f (x ) =|x -a |在

区间[1, +∞) 上为增函数”的充分不必要条件，选A. 8．C 解：设函数f (x ) =

x -a

, 集合M ={x |f (x ) 1时，M={x | 1a 0}，∴f ' (x )=∴ a>1时，P={ x| x≠1 }，a 1或x ≤0｝，N ＝｛y|y≥1｝故选C

(x -1) -(x -a )

>0，

(x -1) 2

10．C 解：A ={1,2}，A ⋃B ={1,2,3}，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合A ={1, 2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有2=4个。故选择答案C 。 点评:本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。 11．{1, 3, 5} 解：C U B ={1,5}

2

4ac -b 212． .

4a

x 1+x 2x 1+x 24ac -b 2

) =解：若f (x 1) =f (x 2) , 则对称轴为直线x =, 故f (

224a

13．｛x |2＜x ＜3｝

解:N =x log 2x >1=x x >2, 用数轴表示可得答案：｛x |2＜x ＜3｝ 【点评】考察知识点有对数函数的单调性, 集合的交集

14 ③ ④

解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y ＝|x－2| ②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y =③正确，sin(α+β)=

{}{}

1

x 半径2，故圆与直线相离， 21

＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β) ＝sin αcos β－cos αsin β＝2

511

，两式相加，得2 sinαcos β＝，两式相减，得2 cosαsin β＝，故将上两式相除，366

即得tan αcot β=5

④正确，点P 到平面AD 1的距离就是点P 到直线AD 的距离， 点P 到直线CC 1就是点P 到点C 的距离，由抛物线的定义 可知点P 的轨迹是抛物线。 15．m =1

解：由m 2=2m -1⇒m =1，经检验，m =1为所求；

ˆ＝{0，1，2}，Q ˆ∩ðN Q ˆ）ˆ＝{1，2，3}，∴（P ˆ）∪（Q ˆ∩ðN P 16 {0，3} 解：由已知得，P

＝{0}∪{3}＝{0，3}.

ˆ，Q ˆ是关键，再依点评: 求解集合运算有关问题时，先理解集合的意义，在这里求出集合P

据集合运算定义直接求解.

17 解:A=(-2,3), ∵-2

A ∪(C U B)=(-∞, 5]∪(-2,3)∪[5, +∞), A∩(C U B)=｛0｝, C U (A∪B)=( CU A) ∩(C U B)=(-∞, 5]∪[5, +∞)

2

18解：由题意知方程ax +bx +2=0的两根为x 1=-

11, x 2=， 23

b b ⎧⎧11

x +x =--+=-2⎪⎪⎧a =-12⎪1⎪23a a 又⎨，即⎨，解得⎨， ∴a +b =-14

⎩b =-2⎪x x =2⎪-1⨯1=2

12⎪⎪a ⎩⎩23a

19分析：先求出集合A 、集合B ，然后再比较A 、B 两个集合端点的关系。

解：（1）由2-

x +3x -1

≥0 得≥0 ∴ x

即A =(-∞, -1)⋃[1, +∞)

(2)由（x-a-1）(2a-x)>0 得（x-a-1）(x-2a)

∵a2a.∴B=(2a,a+1) ∵B ⊆A ∴2a ≥1 或a+1≤-1即a ≥而a

故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(-∞, -2]⋃⎢, 1⎪.

20解：由f （x ）为二次函数知a ≠0

1

或a ≤-2 2

⎡1⎫⎣2⎭

令f （x ）＝0

解得其两根为x 1=

11-x 2=x 10 a a （i ）当a >0时，A ={x |x x 2}

6

A ⋂B ≠φ的充要条件是x 2

3，即1+3解得a >

a 7

（ii ）当a

A ⋂B ≠φ的充要条件是x 2>

1，即1>1解得a

6

7