里昂惕夫模型
里昂惕夫（Leontief）模型
里昂惕夫模型的实质是“投入产出分析法”。简单说，是根据国民经济各部门产品交易的数量编制一个投入产出表。表中各横行反映某一部门的产品在其他部门中的分配，各纵行反映某一生产部门在生产消费过程中从其他部门得到的产品投入。根据投入产出表计算投入系数（也称为技术系数），即各个部门每单位产出所需要由其他部门投入的产品数量（有时也包括该部门自身的产品投入数量）。这些系数可以用来建立线性方程组，进而研究各部门生产的关系或其他方面的分析研究。
下面依据课本，我把里昂惕夫模型的框架写在下面，供大家参考。 一、里昂惕夫静态模型
1、经济背景描述：
表9-2 描述了产业1、产业2以及劳动供给之间的关系。（课本p208）
依据上述表格（table 9-2）中变量的关系将生产函数表示为下面的一般形式：
根据“总需求”=“总供给”，我们得到下面的关系：
1
2、引入里昂惕夫生产函数
解释：里昂惕夫生产函数体现了投入要素之间互补关系，即各投入要素之间遵循一定的比例关系。如果某种要素固定，即便其他要素再多，对于总产出也无济于事。因此该生产函数表现为“取最小值”。这里，aij 表示生产以单位j需要投入的最小的产品i的量。
在引入aij 之后，我们可以把表格9-2写成表9-4的形式。
那么，我们可以把生产的可行域表示为下述形式，显然根据（9-2）式，（9-2’）也是平凡的。
移项可得：
2
3、求解
我们标记L1和L2分别表示（9-5）式中的两个方程，L3表示（9-6）式，在二维途中表示如下。其中交集（图中的三角形区域）为可行的生产集，即能够满足最终消费C1和C2的所有可能的总产出（产业1和产业2）
能满足最终消费C1和C2的最优（X1和X2最小量）的点为L点，即L1和L2的交点。 此外，我们还可以通过计算求解：
下面是X1和X2的求解公式，具体的推导参见课本215页，9-3 Solving an input-output system.
3
4、两个例子 4-1，求解总产出
注：去年的期末考试是该类型的题目。
4
4-2，求消费可能性前沿（CPF）和边际替代率（MRS）
生产可能性前沿（PPF）和消费可能性前沿（CPF）在某种意义上是一枚硬币的两面。当将经济看作一个整体时（或者只有一个人时：在发现星期五之前，鲁滨逊的荒岛生活），生产的所有产品等于总需求（消费）。
5、价格系统（课本P227）
5
二、里昂惕夫动态模型
1、动态模型基本描述
之前的静态里昂惕夫模型描述的是一个时期的经济，这里的动态模型则要描述经济在多个时期里的运行规律，比如从t期到t+1期。
（一个时期内的数量）。说这要素或商品（存这里用Si(t)表示t期要素或产品的存量
量）的分配最优当且仅当满足1）最大化下一期的消费Ci(t+1)；2）最大化作为下一期投入的（每一种）产品的存量。
在动态模型里，不仅要最优化当期的消费而且还要最优化下一期要素和商品（用于下一期生产）的存量来保证下一期消费最优，而不再是静态模型里的“一锤子买卖”了。而在我们的模型里这种动态性质直观地表现为时间标志t、t+1。 2、里昂惕夫动态模型
6
Xi(t)表示t时期产业i的总产出，它被用于以下途径：1）下一期的消费Ci(t+1)；2）资本品的增加量，Si(t+1) - Si(t)；3）用于生产其他产业的产品。
解释：比如有些产业生产的是机械设备，这些设备会用作其他产业的生产。机械设备每年都有磨损也会更新，我们把机械设备的净增加量叫作机械设备的“投资”，也就是2）所说的内容。
至于11-22式也是显然的。产业i的产于要满足其三种用途。 2.1、引入里昂惕夫生产函数：
按照该生产函数的定义，我们可以将11-22式写为：
其中
2-3、解最优产量
正如课上老师所讲的，如果我们把Ci+∆Si看作静态模型中的最终消费（其实∆Si也是
一种“消费”，只不过这种“消费”用于将来的生产），那么接下来我们就可以按照静
7
i=1、2。也正是该关系式引入了动态关系。
态模型中的方法来找出消费（或生产）的可行域，然后得到最优的产量，同时也可以引入价格体系。这些内容是老师上课笔记的内容。
2-3、最优问题的另一种理解 我们来看看课本上是怎么做的。
给定S1(t)和S2(t)，最优化Ci+∆Si，写成我们熟悉的线性规划问题如下：
8