21.5三重积分
§5 三重积分
教学目的 掌握三重积分的定义和性质.
教学内容 三重积分的定义和性质;三重积分的积分换元法;柱面坐标变换;球面坐标变换.
基本要求:掌握三重积分的定义和性质,熟练掌握化三重积分为累次积分,及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法. 教学建议
(1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质,知道有界闭区域上的连续函数必可积.由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似,可作扼要叙述与比较.
(2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题. 教学程序
一、三重积分的概念
背景:求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时,通过“分割、近似,求和、取极限”的步骤,利用求柱体的质量方法来得到结果.一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法,从而归结出下面一类积分的定义.
定义1 设fx,y,z是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数,J是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于V的任何分割T,当它的细度时,属于T的所有积分和
都有
i
f(,,
i
i
i1
N
)iJ
,
则称fx,y,z在V上可积,数J称为函数fx,y,z在V上的三重积分,记作
J=
fx,y,zdvdydz
V
,
其中fx,y,z称为三重积分的被积函数,x,y,z称为积分变量,称为V积分区域.
可积函数类
(ⅰ)有界闭区域V上的连续函数必可积.
(ⅱ)有界闭区域V上的有界函数fx,y,z的间断点集中在有限多个零体积的曲面上,则fx,y,z必在V上可积. 二、化三重积分为累次积分
定理21.15 若函数fx,y,z在长方体V=a,bc,de,f上的三重积分存在,且对任何xa,b,二重积分
fx,y,zdydzIx=
D
存在,其中D=c,de,f,则积分
dxfx,y,zd
a
b
D
也存在,且
fx,y,zdxdydzdxfx,y,zd
V
b
=a
D
. (1)
证明 用平行于坐标轴的平面网T作分割,它把V分成有限个小长方体
vijk=xi1,xiyj1,yjzk1,zk,
设Mijk,mijk分别fx,y,z为在vijk上的上、下确界.对于xi1,xi上任一点i,在
Djk=yj1,yjzk1,zk上有
mijkyjzk
现按下标j,k相加,则有
Djk
f,y,zdydz
i
Mijkyjzk,
f,y,zdydzf,y,zdydz
==I,
i
j,kDjk
i
D
i
及
i,j,k
m
ijk
yjkIixi
i
i,j,k
M
ijk
yjzk
, (2)
上述不等式两边是分割T的上和与下和.由于fx,y,z在V上可积,当T0
时,下和与上和具有相同的极限,所以由(2)式得Ix在a,b上可积且
Ixdxfx,y,zdxdydz
a
b
=
V
.
可化为累次积分计算,
由§2知道,(1)式右端中的二重积分
fx,y,zd
D
于上我们就能把(1)左边的三重积分化为三次积分来计算.如化为先对z,然后对y,最后对x来求积分,则为
fx,y,zdxdydzdxdyfx,y,zdz
V
bdf
=a
ce
.
为了方便有时也可采用其他的计算顺序.
若简单区域V由集合
x,y,zz1x,yzz2x,y,y1xyy2x,axb V
所确定,V在xy平面上的投影区域为
D=x,yy1xyy2x,axb
是一个x型区域,设fx,y,z在上连续,z1x,y,z2x,y在D上连续,y1x,
y2x上a,b连续,则
fx,y,zdxdydzdxdyfx,y,zdzdxdyfx,y,zdz
V
z2b
y2x
z2
=
D
z1x,y
=a
y1xz1x,y
,
其他简单区域类似.
一般区域V上的三重积分,常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算.
1
dxdydz22
例1 计算Vxy,其中V为由 平面x1,x2,z0,yx,zy所围的区域.
11
dxdydzdxdydz2222xy
解 Vxy=100
y
dxdy2210xy
2
x
2
x
y
=
11
ln2dxln222=1=.
2
x2y2z2x2y2z2dxdydz221a2b2c22
VVabc例2 求,其中为. x2y2z2
dxdydz2dxdydz2dxdydz2
解 I=Va+Vb+Vc,
x2x2
y2z2x2dxdydzdxdydzaa221222aRRxxVbca,即 而=,而为区域:
a
y2
x
b1a2
2
2
z2x
c1a2
2
2
1
x2
bc1a2
,其面积为
,故
a
x2x2x2
12dxdydz2bc2aVa=aa
4abcdx
=15,
y2z2
dxdydz2dxdydz4abc2
同样可得Vb=Vc=15, 所以I3
44
abcabc. 155
三、三重积分换元法
设变换T:xxu,v,w,yyu,v,w,zzu,v,w把uvw空间中的区域V一对一地映成xyz空间中的区域V,并设函数xxu,v,w,yyu,v,w,
zzu,v,w及它的偏导数在区域V内连续且行列式
xuyuz
Ju,v,w=u
xvyvzv
xwywz
w0 , u,v,wV,
则
fx,y,zdxdydzfxu,v,w,yu,v,w,zu,v,wJu,v,wdudvdw
V
=
V
,(4)
其中fx,y,z在V上可积. (一)、柱面坐标变换
如下图所示
xrcos,0t
yrsin,02zz,z
变换T:,
cos
rsinrcos
001r=,
Jr,z=
sin0
按(4)式
fx,y,zdxdydzfrcos,rsin,zrdrddz
V
=
V
,
这里V为V在柱面坐标变换下的原象.
在柱面坐标中:
r=常数,是以z轴为中心轴的圆柱面; =常数,是过z轴的半平面; z=常数,是垂直于z轴的平面.
x,y,zz1x,yzz2x,y,x,yD时 若V在平面上的投影区域D,即V=
fx,y,zdxdydzdxdyfx,y,zdz
V
z2x,y
=
D
z1x,y
,
其中二重积分部分应用极坐标计算.
例3 计算的区域.
22
解 V在平面上的投影区域D为xy2
x
V
2
y2dxdydz
22
,其中V是由曲面2xyz与z4为界面
x
V
2
y2dxdydz
=
2
4
r
V
3
drddz
2
=
ddr
2r2
r3dz
83
.
(二)、球坐标变换
xrsincos,0t
yrsinsin,02zrcos,0
sincos
rcoscosrcossin
rsin
变换T:,
rsinsinrsincos
2r=sin,
Jr,,=
sinsin
cos
变换公式为:
fx,y,zdxdydz
VV
=
2
frsincos,rsinsin,rcosr
在球面坐标中:
sindrdd
r=常数,是以原点为中心的球面
=常数,是过z轴的半平面.
=常数,是以原点为顶点,以z轴为中心轴的圆锥面.
r,,r1,rr2,12,当V时,
V
fx,y,zdxdydz
2
=
ddfrsincos,rsinsin,rcosr
1
1
2r2,
2
sindr
r1
,
.
例4 求由圆锥体z
2
x2y2cot和球体
x2y2zaa2所确定的立体体积,其中
0,
2和a0为常数.
2
222
xyzaa解 球面方程在球坐标系
下表示为r2acos, 圆锥面z
x2y2cot在球坐标系下表示为
,
r,,0r2acos,0,02,
V
2
dvddr
V
2acos
20
=
00
sindr4a31cos4
=3.
222xyzzdxdydz2212
bc例5 求I=V,其中V为由a与z0所围区域.
解 作广义球坐标变换:
xarsincos,0t
ybrsinsin,02变换T:
zcrcos,0, Jr,,=abcr2
sin,
Vr,,0r1,0 2,02
,
2
2
1
zdxdydz
3
drdd
ddr3
sincosdrI=
V
=
abcrsincosV
=0=4abc200.
作业 P251:1;2;3;4;5.