高中数学湘教版必修一知识点
高中数学必修1知识点
第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念:
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性
3、集合的表示:{ „ } 如{我校的篮球队员},{太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。
(Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
(Ⅱ)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法
4、常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A 记作 a ∈A ,相反,a 不属于集合A 记作 a ∉A 6、集合的分类:
1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集 不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系 1. “包含”关系———子集
对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A ⊆B
注意: 有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B, 或集合B 不包含集合A, 记作A ⊄B 或B ⊄ A 集合A 中有n 个元素, 则集合A 子集个数为2n 2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论:对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时, 集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合B ,即:A=B⇔A ⊆B 且B ⊆A ① 任何一个集合是它本身的子集。A ⊆A
②真子集:如果A ⊆B, 且A ≠B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A ⊂B(或B ⊃A) ③如果 A ⊆B, B⊆C ,那么 A ⊆C
④ 如果A ⊆B 同时 B ⊇A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合, 叫做A,B 的交集. 记作A ∩B(读作”A 交B ”) ,即A ∩B={x|x∈A ,且x ∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集。记作:A ∪B(读作”A 并B ”) ,即A ∪B={x|x∈A ,或x ∈B}.
3、交集与并集的性质:A ∩A = A,A ∩φ= φ, A∩B = B∩A ,A ∪A = A,A ∪φ= A , A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)全集:如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。
(2)补集:设S 是一个集合,A 是S 的一个子集(即A ⊆S ),由S 中
所有不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集A 记作: C A ={x | x∈S 且 x ∉A} S A ,即 C S (3)性质:⑴C ⑶(C U (C U A)=A ⑵(C U A) ∩A=Φ U A) ∪A=U (4)(C B)=C U A) ∩(C U B)=C U (A∪B) (5)(C U A) ∪(C U U (A∩B)
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充:
能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函
数)。
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法:①定义域一致;②表达式相同 (两点必须同时具备) 值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳 画法:
A 、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B 、图象变换法:
常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换 Ⅰ、对称变换:
(1)将y= f(x)在x 轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:书上P21例5
x
(2) y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y 轴对称。如y =a x 与y =a -x =⎛ 1⎫
⎝a ⎪⎭
(3) y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x 轴对称。如y =log a x 与y =-log a x =log 1x
a
Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(x±a) 左加右减; 由f(x)得到f(x)±a 上加下减 (3)作用:A 、直观的看出函数的性质;B 、利用数形结合的方法分析解题的思路;C 、提高解题的速度;发现解题中的错误。 4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.5.映射
定义:一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f :A →B ”
给定一个集合A 到B 的映射,如果a ∈A,b ∈B. 且元素a 和元素b 对应,那么,我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A 、B 及对应法则f 是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A 到集合B 的对应,它与从B 到A 的对应关系一般是不同的;
③对于映射f :A →B 来说,则应满足:(Ⅰ)集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 6、函数的表示法:
常用的函数表示法及各自的优点:
1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离
散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据:作
垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
2 解析法:必须注明函数的定义域;
3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函
数的解析式;观察函数的特征;
4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f 是g 的复合函数。 7.函数单调性 (1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1
注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2、必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:
1 任取x 1,x 2∈D ,且x 1
复合函数单调性:口诀:同增异减
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
(4)判断函数的单调性常用的结论
①函数y =-f (x ) 与y =f (x ) 的单调性相反;
y =
1②当函数y =f (x ) 恒为正或恒有负时,
f (x ) 与函数y =f (x ) 的单调性相反; ③函数y =f (x ) 与函数y =f (x ) +C (C 为常数)的单调性相同;
④当C > 0(C 为常数)时,y =f (x ) 与y =C f (x ) 的单调性相同; 当C
⑤函数f (x ) 、g (x ) 都是增(减)函数,则f (x ) +g (x ) 仍是增(减)函数;
⑥若f (x ) >0, g (x ) >0且f (x ) 与g (x ) 都是增(减)函数,则f (x ) g (x ) 也是增(减)函数;若f (x )
⑦设f (x ) >0,若f (x ) 在定义域上是增函数,
k f (x )(k >0) 、f n (x )(n >1) 都是
1
增函数,而f (x ) 是减函数.
8.函数的奇偶性 (1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
函数可能没有奇偶性, 也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). (3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x) 与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x) -f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x) +f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
函数奇偶性的性质
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称. ③若f (x ) 为偶函数,则f (-x ) =f (x ) =f (|x |). ④若奇函数f (x ) 定义域中含有0,则必有f (0)=0.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数F (x ) 与一个偶函数
G (x ) 的和(或差)”. 如设f (x ) 是定义域为R 的任一函数, 则F (x ) =
f (x ) -f (-x )
2
,
G (x ) =
f (x ) +f (-x )
2
.
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个(f (x ) =0,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 9、函数的解析表达式
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,A 、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;B 、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;C 、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10.函数最大(小)值(定义见课本p30页)
(1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; (2) 利用图象求函数的最大(小)值;
(3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0
。 注意:
(1)n =a
(2)当 n
=a ,当 n
=|a |=⎨
⎧a , a ≥0
⎩-a , a
2.分数指数幂
m 正数的正分数指数幂的意义,规定:a n
=a >0, m , n ∈N *, 且n >1)
m 正数的正分数指数幂的意义:a
_n
=
1m (a >0, m , n ∈N *, 且n >1)
a
n
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
(1)a r a s =a
r +s
(a >0, r , s ∈R )
(2)(a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈R )
(3)(a b) r =a r b r (a >0, b >0, r ∈R )
1注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如[(12]2
≠11 (二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数y =a x 叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.即 a>0且a ≠1 2
注意: 指数增长模型:y=N(1+p)指数型函数: y=ka3 考点:(1)a b =N, 当b>0时,a,N 在1的同侧;当b
(2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂
的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进1(=a0) 进行传递或者利用(1)的知识。
(3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a,用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数:y=N(1+p)x 简写:y=kax 二、对数函数 (一)对数
1.对数的概念:一般地,如果a x
=N ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作:x =log a N ( a — 底数, N — 真数,log a N — 对数式)
说明:1. 注意底数的限制,a>0且a ≠1;2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数:
(1)常用对数:以10为底的对数, log 10N 记为lg N ;
(2)自然对数:以无理数e 为底的对数的对数 , log e N 记为ln N . 结论:(1)负数和零没有对数
(2)log a a=1, log a 1=0 特别地, lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0
(3) 对数恒等式:a log a N
=N (二)对数的运算性质
如果 a > 0,a ≠ 1,M > 0, N > 0 有: 1、 log (a M ∙N )
=log a M +log a N 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、log M
a
N =log a M -log a N 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 3 、log n
a M =n log a M (n ∈R )
一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍 说明:
1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式
3) 真数的取值必须是(0,+∞)
4) 特别注意:log a MN ≠log a M ⋅log a N
log a (M ±N )≠log a M ±log a N 注意:换底公式log a b =
口诀:底真同大于0(底真不同小于0).
(其中,底指底数,真指真数,大于0指log b 的值)
a 3、如图,底数 a 对函数y =log a x 的影响。
规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 4考点:
Ⅰ、log a b, 当a,b 在1的同侧时, loga b >0;当a,b 在1的异侧时, loga b
Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较
对数的大小,同底找对应的对数函数,底数不同真数也不同利用(1)的知识不能解决的插进1(=loga a) 进行传递。
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0,值域求法用单调性。
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=loga a ,用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax (a>0且a ≠1) 与y=loga x(a>0且a ≠1) 互为反函数,图象关于y=x对称。
log c b lg b
=(a >0, a ≠1, c >0, c ≠1, b >0)
log c a lg a
利用换底公式推导下面的结论 ①log a b =
n 1n
②log a b ∙log b c ∙log c d =log a d ③log a m b =log a b
m log b a
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数y =log a x (a>0,且a ≠1) 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:(1) 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如:y =log a
y =log a x +2 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
(2) 对数函数对底数的限制:a>0,且a ≠1
2、对数函数的图像与性质:对数函数y =log
x (a>0,且a ≠1)
5 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较, 可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较, 可以利用比商法来判断.
(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较, 则应通过中间值来判断. 常用1和0. 6 比较大小的方法
(1) 利用函数单调性(同底数) ;(2) 利用中间值(如:0,1.);(3) 变形后比较;(4) 作差比较
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如y =x 的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数. 2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,
α
重要结论:在log b 中,当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞) 内时,有
a log b>0; a
当a,b 不同在(0,1) 内,或不同在(1,+∞) 内时, 有log b
a
1);
(2)α>0 时,幂函数的图象通过原点,并且在[0,+ ∞)上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0
(3)α
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x 叫做函数的零点。(实质上是函数y=f(x)与x 轴交点的横坐标)
2、函数零点的意义:方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点
3、零点定理:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有f(a)f(b)