2016年高考极坐标参数方程试题
2016年高考极坐标参数方程试题
1．【2016年新课标1卷理23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎨⎧x =a cos t ，y =1+a sin t ⎩
（t 为参数，a >0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ．
（1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
（2）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．
22【解析】（1）消去参数t 得到C 1的普通方程x +(y -1)=a ．C 1是以(0,1)为圆心，a 为2
半径的圆．
将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为：
ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0．
⎧ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0（2）曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎨，
⎩ρ=4cos θ
22若ρ≠0，由方程组得：16cos θ-8sin θcos θ+1-a =0，由已知tan θ=2，
22可得16cos θ-8sin θcos θ=0，从而1-a =0，解得：a =-1（舍去），a =1．
a =1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．
所以a =1．
2．【2016年北京理11】在极坐标系中，
直线ρcos θθ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |=
【答案】2
【解析】
分别将直线方程和圆方程化为直角方程：直线为：x -1=0，
2圆为：(x -1)+y =1，直线过圆心(1,0)，故AB =2． 2
【考点】极坐标方程与直角方程的互相转化．
【点评】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可．
1⎧x =1+t ⎪2⎪3．【2016年江苏理21】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为：⎨，
⎪y =⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为：⎨⎧x =cos θ，（θ为参数）．设直线l 与椭圆C 相交于A ，
⎩y =2sin θ
B 两点，求线段AB 的长．
⎧x =cos θy 2
2=1，再将直线l 的【分析】利用三角消元将参数方程：⎨化为普通方程：x +4y =2sin θ⎩参数方程代入求解得：t 1=0，t 2=-16，最后根据弦长公式或两点间距离公式求弦长． 7
1⎧x =1+t 2⎪y 2⎪2=1，将直线l
的参数方程⎨【解析】椭圆C 的普通方程为：x +，代入4⎪y =⎪⎩2
⎫⎪22y ⎛1⎫⎭=1，即7t 2+16t =0，解得：t =0，t =-16． x 2+=
1，得： 1+t ⎪+⎝21744⎝2⎭
【考点】直线与椭圆的参数方程．
【点评】将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法，加减消元法，三角恒等变换法；把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响；注意参数的几何意义．
4．【2016年上海理16】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）
A ．ρ=6+5cos θ
C ．ρ=6-5cos θ
【答案】D B ．ρ=6+5sin θ D ．ρ=6-5sin θ 2
【解析】依次取θ=0，π3π，π，，结合图形可知，只有ρ=6-5sin θ满足条件，故选22
D ．
【考点】极坐标及其方程．
【点评】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断，二是利用特殊值代入检验的方法. 本题突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力，数形结合思想等．
⎧x =2pt 2
5．【2016年天津理14】设抛物线⎨，（t 为参数，p >0）的焦点F ，准线l ．过抛y =2pt ⎩
物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设C ⎛7⎫p ,0⎪，AF 与BC 相交于点E ．若⎝2⎭
|CF |=2|AF |，且∆
ACE 的面积为p 的值为
【解析】抛物线的普通方程为：y =2px ，F
又|CF |=2|AF |，则|AF |=27p ⎛p ⎫,0⎪，|CF |=p -=3p ， 22⎝2⎭33p ，由抛物线的定义得：|AB |=p ，所以x A =p ，
22
EF CF EF CF ===2，
则|y A |，由CF //AB 得：，即EA AB EA AF
所以S ∆CEF =2S ∆CEA =
S ∆ACF =S ∆ACE +S ∆CFE =，
所以1⨯3p =
，p = 2
【考点】抛物线的定义，抛物线的参数方程．
【点评】凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
26．【2016年新课标2卷理23】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x +6)+y =25． 2
（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
⎧x =t cos α（2）直线l 的参数方程是：⎨（t 为参数），l 与C 交于A ，B
两点，|AB |y =t sin α⎩
求l 的斜率．
【分析】（1）利用ρ=x +y ，x =ρcos θ可得C 的极坐标方程；（2）先求直线l 的极坐222
标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程
ρ2+12ρcos θ+11=0，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．
【解析】（1）圆的方程化为：x 2+y 2+12x +11=0，将ρ2=x 2+y 2，x =ρcos θ代入，得：ρ2+12ρcos θ+11=0；
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=α（ρ∈R ），由A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得：
ρ2+12ρcos α+11=0，于是，ρ1+ρ2=-12cos α，ρ1ρ2=11，
|AB |=|ρ1-ρ2|=
2=
由|AB |得：cos α=
3，tan α= 8所以
l 的斜率为
或- 33
【考点】圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线的参数方程．
【点评】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
⎧⎪x =α7．【2016年新课标3卷理23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1
的参数方程为⎨（α⎪⎩y =sin α
为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方
程为ρsin θ+⎛
⎝π⎫⎪= 4⎭
（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C 1的参数方程为普通方程，利用公式ρcos θ=x 与ρsin θ=y 将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立|PQ |=d (α)的三角函数表达式，最后求出最值与相应点P 的坐标即可．
x 2
+y 2=1，C 2的直角坐标方程x +y -4=0； 【解析】（1）C 1的普通方程3
（2）由题意，可设点P
的直角坐标为α,sin α，因为C 2是直线，所以|PQ |的最)
小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，
d (
α)=π⎫⎛= α+⎪-2， 3⎭⎝
当且仅当α=2k π+π
6（k ∈Z ）时，d (α
)P 的直角坐标为 ⎛31⎫, ⎪． ⎝22⎭
【考点】椭圆的参数方程，直线的根坐标方程．