有限元网格划分及发展趋势_古成中

ＩＳＳＮ１６７３－９４１８ＣＯＤＥＮＪＫＹＴＡ８

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｒｏｎｔｉｅｒｓｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ１６７３－９４１８／２００８／０２（０３）－０２４８－１２

ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－９４１８．２００８．０３．００３

Ｅ－ｍａｉｌ：ｆｃｓｔ＠ｐｕｂｌｉｃ２．ｂｔａ．ｎｅｔ．ｃｎ

ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｅａｊ．ｏｒｇＴｅｌ：＋８６－１０－５１６１６０５６

有限元网格划分及发展趋势＊

古成中＋，吴新跃

ＧＵＣｈｅｎｇｚｈｏｎｇ＋，ＷＵＸｉｎｙｕｅ

海军工程大学船舶与动力学院，武汉４３００３３

ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＰｏｗｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮａｖａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ４３００３３，Ｃｈｉｎａ＋Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒ：Ｅ－ｍａｉｌ：ｃｈａｒｍｉｎｇｇｕ＠１２６．ｃｏｍ

ＧＵＣｈｅｎｇｚｈｏｎｇ，ＷＵＸｉｎｙｕｅ．ＡｒｅｖｉｅｗｏｆＦＥＭａｎｄｔｒｅｎｄｏｆｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｒｏｎｔｉｅｒｓｏｆ

（３）：２４８－２５９．ＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００８，２

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｕｍｍａｒｉｚｅｓｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｓｅａｒｃｈｉｎｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｆｏｒｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｉｎｌａｓｔｔｅｎｙｅａｒｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｍｅｓｈｉｎｇｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｅａｒｃｈｆｉｅｌｄｓ，ｓｕｃｈａｓｍａｐｐｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ，ｇｒｉｄ－ｂａｓｅｄａｐｐｒｏａｃｈ，ｐｏｉｎｔｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｎｄｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎａｐｐｒｏａｃｈ，ｔｏｐｏｌｏｇｙｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｐｐｒｏａｃｈ，ｇｅｏｍｅｔｒｙｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｐｐｒｏａｃｈ，ｓｗｅｅｐｉｎｇａｐｐｒｏａｃｈ，ａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄａｎｄｃｌａｓｓｉｆｉｅｄ．Ｕｎｉｔｉｎｇｉｎ－ｓｔａｎｃｅｓ，ｉｔａｎａｌｙｓｅｓｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｎｄｓｃｏｐｅｓｏｆｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｉｒｄｌｙ，ｔｈｅｆｒｏｎｔｅｄｇｅｉｓｎａｒｒａｔｅｄａｎｄｈｅｘａｈｅｄｒａｌｍｅｓｈｉｓｒｅｖｉｅｗｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｓｐｅｃｔｓｔｈｅｔｒｅｎｄＦＥＭ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ；ｍａｐｐｉｎｇａｐｐｒｏａｃｈ；ｇｒｉｄ－ｂａｓｅｄａｐｐｒｏａｃｈ；ｐｏｉｎｔｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｎｄｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎａｐｐｒｏａｃｈ；ｔｏｐｏｌｏｇｙｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｐｐｒｏａｃｈ；ｇｅｏｍｅｔｒｙｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｐｐｒｏａｃｈ；ｓｗｅｅｐｉｎｇａｐ－ｐｒｏａｃｈ；ｈｅｘａｈｅｄｒａｌｍｅｓｈ

摘要：总结近十年有限元网格划分技术发展状况。首先，研究和分析有限元网格划分的基本原则；其次，对当

特点及其适用范围，如前典型网格划分方法进行科学地分类，结合实例，系统地分析各种网格划分方法的机理、

映射法、基于栅格法、节点连元法、拓扑分解法、几何分解法和扫描法等；再次，阐述当前网格划分的研究热点，综述六面体网格和曲面网格划分技术；最后，展望有限元网格划分的发展趋势。

关键词：有限元网格划分；映射法；基于栅格法；节点连元法；拓扑分解法；几何分解法；扫描法；六面体网格文献标识码：Ａ

中图分类号：ＴＰ３１９．７２

＊ｔｈｅＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＭｉｌｉｔａｒｙ（军内科研项目）．Ｒｅｃｅｉｖｅｄ２００７－０８，Ａｃｃｅｐｔｅｄ２００８－０４．

古成中等：

有限元网格划分及发展趋势

２４９

续体进行离散化，利用简化几何单元来近似逼近连续体，然后根据变形协调条件综合求解。所以有限元网格的划分一方面要考虑对各物体几何形状的准确描为正确、述，另一方面也要考虑变形梯度的准确描述。合理地建立有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。

１引言

作为有限元走向工程应用枢纽的有限元网格划

分，是有限元法的一个非常重要的研究领域，经历了

４０多年的发展历程。有限元网格划分算法研究中的

某些难点问题始终未能得到真正意义上的解决，它们的解决对工程问题具有重要的现实价值和理论意义。有限元分析的基本过程可分为三个阶段：有限元模型的建立有限元解算、结果处理和评定（即前处理）、（即后处理）。根据经验，有限元分析各阶段所用的时间为［１］：

２．１网格数量

网格数量直接影响计算精度和计算时耗，网格数

量增加会提高计算精度，但同时计算时耗也会增加。

如图１所示，当网格数量较少时增加网格计算精度可明显提高，但计算时耗不会有明显增加；当网格数量增加到一定程度后，再继续增加网格时精度提高就很小，而计算时耗却大幅度增加。所以在确定网格数量时应权衡这两个因素综合考虑。

４０％－４５％用于模型的前处理，５０％－５５％用于后处理，

而分析计算只占５％左右；更有文献［２］指出有限元建模占有限元分析一半以上的工作量，甚至高达８０％。因此，有限元分析的前后处理一直都是有限元分析的瓶颈问题，严重地阻碍着有限元分析技术的应用和发展。

许多学者对有限元网格生成方法近３０年的研究进行了概括和总结［３－１２］，对某些重要分支领域的研究进展方面也做出了贡献［１３－２０］。近年来，有限元网格生成方法研究有两个显著特点：（１）经历了一个进化过程，一些方法的研究与应用出现停滞，而另外一些方法在不断地深入、完善和发展，成为适应性强、应用范围广泛的通用方法；（２）领域和主题在不断扩展和深入，研究重点由二维平面问题转移到三维曲面和三维实体问题，从三角形、四面体网格自动生成转移到四边形、六面体网格自动生成。

２．２网格密度

为了适应应力等计算数据的分布特点，在结构不

同部位需要采用大小不同的网格。

从图２的有限元模型可以看出：在孔的附近有集中应力，因此网格需要加密；周边应力梯度相对较小，网格划分较稀。该网格反映了疏密不同的网格划分原则：在计算数据变化梯度较大的部位，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格；而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，网格则应相对稀疏。

２．３

２

有限元网格划分的基本原则

有限元方法的基本思想是将结构离散化，即对连

单元阶次

单元阶次与有限元的计算精度有着密切的关联，

单元一般具有线性、二次和三次等形式，其中二次和

２５０ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｒｏｎｔｉｅｒｓｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ计算机科学与探索

传递给相邻单元。

（３）２００８，２

为保证单元协调，必须满足的条件是：

（１）一个单元的节点必须同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。

（２）相邻单元的共有节点具有相同的自由度性质。例如ＳＨＥＬＬ和ＳＯＬＩＤ两种单元，前者为六自由度，而后者为平动三自由度，所以ＳＯＬＩＤ只能向ＳＨＥＬＬ传递平动位移，不能传递转动位移。

另外，有相同自由度的单元网格也并非一定协调。例如，ＢＥＡＭ３和ＳＨＥＬＬ４１都具有三个自由度，但

三次形式的单元称为高阶单元。高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界，且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数，所以增加单元阶次可提高计算精度。但增加单元阶次的同时网格的节点数也会随之增加，在网格数量相同的情况下由高阶单元组成的模型规模相对较大，因此在使用时应权衡考虑计算精度和时耗。

ＢＥＡＭ３具有三个平动自由度，ＳＨＥＬＬ４１有两个平动

自由度和一个转动自由度，所以ＳＨＥＬＬ４１只能向

ＢＥＡＭ３传递平动位移，却不能传递转动位移。

３网格生成通用方法回顾

有限元网格划分方法难以准确分类，分类方法有

很多，可以按产生的单元类型、生成单元的维数、自动化程度等进行分类。而且目前的网格生成法分类中，对某一具体的网格生成法叫法不一致，如有人将拓扑分解法叫做结构分解法，将节点连元法叫做填充法。本节仅对众多网格划分方法中的典型方法的算法思想进行回顾和总结。

２．４单元形状

网格单元形状的好坏对计算精度有着很大的影

响，单元形状太差的网格甚至会中止计算。在网格划分时应保证合理的单元形状，即使只有一个单元形状很差或畸形节（畸形网格通常有单元节点交叉编号、点重合、内角大于１８０°和单元面积为零等类型）时，也可能给计算结果带来很大的误差，甚至使得计算无法进行下去。单元形状评价一般有以下几个指标：

面积比或体积比以正三角形、（１）单元的边长比、

正四面体、正六面体为参考基准，理想单元的边长比为１，线性单元可接受的边长比小于３，二次单元小于１０。

（２）扭曲度：单元面内的扭转和面外的翘曲程度。（３）节点编号：节点编号对于求解过程中总刚矩阵的带宽和波前因数有较大的影响，从而影响计算时耗和存储容量的大小。因此合理的节点编号有利于刚度矩阵对称、带状分布等求解效率，从而提高计算速度。

３．１映射法

映射法的基本思想是实际图形与标准图形的双

向映射，如图３所示，具体有三个步骤：

（１）根据形体边界的参数方程，利用适当的映射函数，将待划分的物理域映射到参数空间，形成规则参数域；

（２）对参数域进行网格划分

；

２．５单元协调性

单元协调是指单元上的力和力矩能够通过节点

古成中等：有限元网格划分及发展趋势

（３）将参数空间内单元的网格反向映射到欧氏空间，从而生成实际的网格。

映射法可分为三大类：保角映射法（ｃｏｎｆｏｒｍａｌ

２５１

基于栅格法又可分为正则栅格法（ＲｅｇｕｌａｒＧｒｉｄ（八）叉树法（ＦｉｎｉｔｅＱｕａｄ－ｔｒｅｅ／Ｏｃ－Ｍｅｔｈｏｄ）和有限四

正则栅格法采用尺寸相同的正ｔｒｅｅＭｅｔｈｏｄｓ）两大类。

则栅格覆盖目标区域，栅格越密，网格质量将越好。这种方法不足之处是所生成的网格与所选择的初始栅格及其取向有关，网格边界单元质量差；优点是原理简单，适用于二维和三维物体，对于相对规则的问题区域是一种简单有效的方法。

目前有限四（八）叉树方法已成为最成功有效的网格生成方法之一，是由Ｙｅｒｒｙ和Ｓｈｅｐｈａｒｄ［３５］首先提出的。在四（八）叉树空间分解方法中，首先用尽可能小的方盒圈定目标区域，然后将这个方盒分解成四（八）个子区域，测试每个子域是否完全在目标区域外面以及是否满足密度控制的要求，若满足所给定的条件则停止对此子域的细分，否则继续细分，该过程迭代执行下去直到达到预定的离散要求。在细分过程中，相邻的子域最多只能相差一级的分划水平。这样就使得目标区域被一些相互不重叠的各种大小的方形子域拼成的图形所逼近，这些子域是由最初的方盒分解而成。

虽然有限四（八）叉树方法已经取得了相当大的成功，它适用于任何复杂的二维和三维区域问题，而且算法效率几乎与单元节点数呈线性增长，其网格密度容易控制，自适应性强，而且容易同实体造型系统相结合，但它也存在严重的缺点：所生成网格与所选择的初始栅格及其取向有关，网格边界单元质量差，程序实现相当复杂，所需内存较大，不利于实现并行处理等。Ｂａｅｈｍａｎｎ等人及Ｓｈｐｉｔａｌｎｉ［３６］提出的“修正的八叉树法”容易生成高质量的单元，产生的网格具有阶梯结构和空间可访问性，可以实现与实体造型系统的集成，而且易于精整网格质量。

ｍａｐｐｉｎｇｍｅｔｈｏｄ）

［２１－２３］

基于偏微分方程法、（ＰＤＥ－

代数插值法（ａｌｇｅｂｒａｉｃｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｂａｓｅｄｍｅｔｈｏｄ）［２４－２９］、

ｍｅｔｈｏｄ）［３０－３３］。保角映射法能够直接处理单连域问题，

但难以控制单元形状和单元密度，且不能直接应用于三维问题。基于偏微分方程法由Ｔｈｏｍｐｓｏｎ等［２４，２５］提出，它利用偏微分方程寻找参数空间与物理空间之间的映射关系。代数插值法是通过代数插值来描述参数空间与物理空间之间的映射关系，它是一种应用相当广泛的网格划分方法。

映射法的优点是算法简单、计算效率高、单元质量好、密度可控制、网格分布均匀，能够用以进行曲面网格的生成。

这种网格控制机理有以下几个缺点：

（１）映射法不是完全面向几何特征的，所以很难完成自动化，尤其是对于３Ｄ区域；

（２）网格局部控制能力差；

（３）各映射块之间的网格密度相互影响程度很大，改变某一映射块的网格密度，其它映射块的网格都要做相应的调整；

（４）对于形状较为复杂的形体适应性差，要求事先根据所要产生的网格类型将目标域分割成一系列可映射的子区域。子域分解繁琐，所需人工交互多，难以实现网格自动的生成。

３．２基于栅格法

基于栅格法（Ｇｒｉｄ－ｂａｓｅｄＡｐｐｒｏａｃｈ）也叫空间分

解法，最早由Ｔｈａｃｋｅｒ等［３４］提出。该算法的基本流程：首先用一组不相交的栅格（ｃｅｌｌｓ）覆盖在物体之上，既可在栅格的规则点处布置节点，也可在栅格单元中随机布置节点；再对栅格和物体进行相交检测，保留完全或部分落在目标区域之内的栅格，删除完全落在目标区域之外的栅格；然后对与物体边界相交的栅格进行调整、剪裁、再分解等操作，使其更准确地逼近目标区域；最后对内部栅格和边界栅格进行栅格级的网格剖分，进而得到整个目标区域的有限元网格。

３．３节点连元法

节点连元法一般分为两步：（１）在物体的边界和有

效区域内按照网格密度的要求均匀布点；（２）根据一定的准则将这些节点连接成三角形或四面体网格。最早提出的节点生成法是随机布点法［３７］，该方法不能保证布点的均匀性，同时为了确定可用节点，要进行点

２５２ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｒｏｎｔｉｅｒｓｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ计算机科学与探索（３）２００８，２

距检查和多次试探，算法效率低。近年出现的长方形网格直接布点法［３８］、等距水平扫描线直接布点法［３９］等方法在一定程度上提高了节点连元法的计算效率，但（简称ＤＴ法）的出现才真正Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分方法

使得节点连元法成为目前主流的全自动网格划分方法之一。

实体表述到初始三角化表述的自动化转换。

３．５几何分解法

几何分解法（ＧｅｏｍｅｔｒｙＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎＡｐｐｒｏａｃｈ）

最大的特点是节点和单元同步生成。该方法较多地考虑了待分域的几何特征，确保生成质量较好的网格单元。几何分解法可以进一步分成区域递归细分法、单元移去方法和子域分离方法。

（１）区域递归细分法（ＲｅｃｕｒｓｉｖｅＳｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎＭｅ－

ＤＴ有两个重要特性：最大－最小角特性和空外接

圆特性。ＤＴ的最大－最小角特性使它自动地避免了生成小内角的长薄单元，因此特别适用于有限元网格生成。空外接圆特性，是指在ＤＴ中的每个三角形单元或四面体单元的外接圆（二维）或外接球（三维）都不包含其它节点。

ｔｈｏｄ）由ＢｙｋａｔＡ提出［４５，４６］，他将实体分割成多个凸区

域，并在分割线上按网格密度要求插入一组新的节点，分割的最终结果为三角形网格。

（２）单元移去方法（ＥｌｅｍｅｎｔＲｅｍｏｖｉｎｇＭｅｔｈｏｄ）是从实体的边界向里一次移去一个单元网格，迭代执行下去，推进波前法就是该方法的成功代表。

推进波前法（ＡｄｖａｎｃｉｎｇＦｒｏｎｔＴｅｃｈｎｉｑｕｅ，ＡＦＴ）最初是由Ｌｏ［４７］提出，ＡＦＴ方法的基本流程是：首先离散待剖分域的边界，形成首尾相连的线段集合或拓扑相容的三角形面片集合，这种离散后的域边界称为前沿；再从前沿开始，依次插入一个节点，并连接生成一个新的单元，更新前沿，将前沿向待剖分域的内部推进。这种插入节点、生成新单元、更新前沿的过程循环进行，当前沿为空时表明整个域剖分结束。适用于平面域三角网格自动生成。后来Ｐｅｒａｉｒｅ［４８］等将这种方法进一步完善推广到二维自适应网格生成，引入背景网格来控制节点的生成。推进波前法对复杂几何形状与边界的二维域（或三维域）中的三角形（或四面体）网格生成灵活、可靠。但这种方法的最大缺点是时间效率相对较低，Ｂｏｎｅｔ［４９］和Ｌｏｈｎｅｒ［５０］针对推进波前法存在大量搜索查询操作的特点提出了一些有用的数据结构及算法，大大提高了推进波前法的速度。Ｔａｌｂｅｒｔ［５１］还成功利用了一些控制曲线来控制网格生成，在自适应网格生成过程中，这些曲线可以取为一些重要变量的等位线。后来Ｇｅｏｒｇｅ通过引入控制空间及相邻空间等概念，对推进波前法作一些改进。Ｊｏｈｎｓｔｏｎ［５２］等人在算法的改进方面也做出了巨大的贡献。

ＤＴ方法仅适用于凸区域，对于非凸区域则不能

保证其边界的完整性，因此对非凸区域必须引入一个恢复边界的步骤。但恢复了边界完整性的三角剖分并不能严格满足Ｄｅｌａｕｎａｙ准则，因此称为约束ＤＴ。

二维网格剖分的边界恢复比较简单，并且有明确的理论保证边界恢复结果是收敛的。常见的恢复算法有：Ｇｅｏｒｇｅ等提出的边交换法［４０］和ＧｅｏｒｇｅＰＬ等提出的最近点连线法［４１］，但这两种算法不能直接扩展到三维域。三维域的边界由一系列三角形面片组成，其边界恢复基本上可分成两步：（１）恢复边界的边；（２）恢复边界的面。比较常用的三维域边界恢复算法有：装订法［４２］、分治算法［４３］等。

３．４拓扑分解法

拓扑分解法（ＴｏｐｏｌｏｇｙＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎＡｐｐｒｏａｃｈ），

它首先是由英国剑桥大学的Ｗｏｒｄｅｎｗａｂｅｒ［４４］提出来的。拓扑分解法是从形体的拓扑因素着手进行分割，而不过问元素的具体形状。首先假设网格顶点全部由目标边界顶点组成，那么可以用一种三角化算法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖。该方法生成的网格一般相当粗糙，必须与其它方法相结合，通过网格加密等过程，才能生成合适的网格。

拓扑分解法的原理简单，易于处理，但它只从拓扑关系入手，不考虑几何因素，因此难以获得良好形状的单元网格，也不适用于含有曲面的三维形体。该方法现在已普遍使用于目标初始三角化，用来实现从

ＡＦＴ方法最显著的优点是能够在生成节点的同

时生成单元，这样就可以在生成节点时对节点的位置

古成中等：有限元网格划分及发展趋势

加以控制，从而控制单元形状、尺寸以达到质量控制、局部加密及网格过渡的要求。该方法也存在一定的不包含足：在生成新单元时需要进行大量的相交判断、判断，以及为了保证单元的质量而进行的距离判断，这些判断的计算，约占整个网格划分过程中８０％的时耗。

（３）子域分离法是将问题区域一次移去一块，直到剩下最后一块。该方法一般可以分为两类：一类是每次分离出一个单元；另一类是每次分离出一个拓扑简单的子域块，然后利用其它划分算法细化子域块。这种方法一般以层次的形式利用大量的移去操作，并考虑当前的移去操作对以后的移去子块选择的影响。该方法的每一步移去操作所需的计算量很大，所以该算法在生成细化网格方面计算效率并不高，但是可以利用该算法，将整个区域分解为一个个易于网格化的子区域，其总的效率将会大大提高。

体无法比拟的优点和更高的计算精度。

２５３

当前，六面体单元网格生成算法主要有映射单元法、单元转换法、基于栅格法、扩展的推进波前法、多子区域法、扫描法和投影法等。

映射单元法先把三维实体分成几个大的２０节点六面体区，然后使用形函数映射技术把各个六面体区这种方法域映射为很多细小的８节点六面体单元［５３］。易于实现，可以生成规整的结构化网格；但对于复杂结构，精度不高，且人机交互频繁，难以实现自动化。

单元转换法是通过其他单元转化为六面体单元。目前在三维网格的研究中，四面体网格自动生成的算法已经相当成熟，所以可以通过把四节点四面体单元分成四个六面体单元［５４］，这样可以把四面体网格自动地转化为六面体网格。但这种方法的边界拟合能力弱，生成的网格质量较差。左旭等［５５］对单元转换法进行了改进，将十节点曲边四面体转换为六面体，并采用非线性约束优化算法大幅度提高了六面体网格的单元质量。

基于栅格法首先产生六面体网格模板，将其覆盖到需要网格化的三维实体上。这种方法能实现网格生成的自动化，网格的生成速度也非常快。其最大弱点是边界单元的质量较差，网格密度很难控制。该方法已经成功地运用于有限元分析软件，如ＭＡＲＣ等。

（ＷｈｉｓｋｅｒＷｅａｖ－ＡＦＴ方法的扩展主要有编须算法

（Ｐｌａｓｔｅｒｉｎｇ）［５７］。粘贴算法实际上是ｉｎｇ）［５６］和粘贴算法

二维四边形网格逐层推进生成法［５８］（ＰａｖｉｎｇＡｌｇｏｒｉｔｈｍ）在三维空间上的拓展，基于局部几何测试来推进网格，它始终维护网格前沿，即用来描述已剖分区域边界的四边形面片集。剖分器迭代地从网格前沿中选择一个或多个四边形，粘贴上相应的六面体并更新前沿，直到整个区域被剖分，如图４所示。但这种方法可能会留下一些孔洞，这些未被剖分的区域只能用四面体填充。

编须算法基于空间缠绕连续集［５９］概念，将ＡＦＴ方法扩展到三维空间。空间缠绕连续集是在三个方向平分六面体单元的相互交叉表面的组合，是六面体网格的一种对偶表达形式。编须算法首先生成的并不是

３．６扫描法

扫描法是将离散化的基本单元形体进行旋转、扫

这种方法描、拉伸等操作，获得高维网格的一种方法。难度较低，容易实现，在当今大多数商用ＣＡＤ软件和有限元前置处理软件中均有这种功能。但是这种方法只适合于形状简单的三维物体，且主要靠人机交互来实现，自动化程度低。

４研究热点

近年来有限元分析在各种工程领域中得到了广

泛的应用，网格划分技术的理论基础已日趋成熟，特别是在二维空间以及三维空间的四面体网格划分方面。近几年有限元网格划分的研究领域已由二维平面问题转移到三维实体，研究重点已经由三角形（四面体）网格转变为四边形（六面体）网格，注重网格的全自动生成、网格自适应等研究，本章主要总结当前网格划分领域的研究热点。

４．１六面体网格划分

尽管四面体网格划分技术已经非常成熟，并已广

泛应用于有限元分析软件，但六面体网格的研究依然是学者们的研究热点。这主要是因为六面体具有四面

２５４ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｒｏｎｔｉｅｒｓｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ计算机科学与探索（３）２００８，２

投影法已经成功地运用于某些有限元前处理系

六面体网格，而是空间缠绕连续集。得到完整的空间缠绕连续集后，就可以将六面体单元安装到三维实体。编须算法生成的六面体网格质量是所有算法中最好的，但它的程序实现非常困难。

多子区域法分为三个主要步骤：首先将复杂目标域分解为一定数量的简单子区域，然后对每个子区域进行六面体网格划分，最后将各个子区域的网格组合成全局网格，从而形成目标域的整体网格。中轴面法［６０］就是多子区域法的典型代表，该方法已经运用于多种有限元分析软件。

扫描法是由二维四边形有限元网格通过旋转、扫描、拉伸等操作而形成六面体网格的一种方法。这种方法难度较低、较容易实现，在当今几乎所有的有限元分析软件中均有这种功能。但是，这种方法只能适用于形状简单的三维物体，且主要依靠人机交互来实现，自动化程度低。图５是综合利用多子区域法和扫描法所得到的六面体网格模型。

统，例如专门针对六面体网格划分的ＴｒｕｅＧｒｉｄ软件。使用ＴｒｕｅＧｒｉｄ时首先将复杂实体分割成相对简单的区域，建立合理的投影模板，通过网格投影即能得到效果非常优越的六面体网格。但该方法需要较多的人机交互，自动化较低。图７为利用ＴｒｕｅＧｒｉｄ所建立的六面体网格，从图中可以看出运用投影法所得到的有限元模型质量非常高，而且该方法适用于任何复杂模型。

４．２曲面网格划分

工程结构中常用的薄壳结构，如飞机蒙皮、汽车

外壳等，都是由自由曲面组合而成的。三维曲面是三维实体的退化，是一种特殊形式，三维曲面的有限元网格划分的应用范围很广。目前的曲面网格生成方法可粗略地分为直接法和映射法两种。

直接法的曲面网格划分是直接在曲面的物理空间进行，网格划分过程直接以曲面的局部几何形态为参考，并根据曲面的局部状况采取不同的剖分策略。

投影法是利用良好的四面体网格（通常选择正方体或长方体网格）作为投影网格，即模板网格，通过模板网格节点与待分实体表面关键点的对应关系控制投影的路径与比例缩放情况，如图６所示。

直接法的研究起步较晚，目前主要有两个分支：曲面分解法［６１］和基于ＡＦＴ的直接法［６２］。曲面分解法是基于四叉树理论，其基本思想是：将曲面递归分解成较小的面片，

直到这些小面片在给定的逼近误差下可精确

古成中等：

有限元网格划分及发展趋势

模拟原始曲面为止，然后再将小面片转换为单元网格，最终形成对原始曲面的单元划分。这种方法最大的优点就是具有曲面自适应能力，对复杂曲面的逼近程度较好。但执行速度较慢，缺乏网格的局部控制能力。其生成的网格能较好地逼近原始曲面，而且网格的质量也较高。基于ＡＦＴ的直接法引入了新的判别算子，扩充了控制前沿网格生成的约束条件，使用投影算法保证插入节点在曲面上的精确定位。基于可靠、简单等特点，可同时使ＡＦＴ的直接法具有灵活、

用曲面曲率和密度函数控制网格，它不仅表现出良好的曲面适应能力，还具有网格的局部加密能力。

映射法首先将曲面边界映射到二维参数空间，在二维参数空间中进行网格划分，然后将划分结果反向映射到物理空间形成曲面网格，如图８所示。映射法具有实现简单、执行效率高、网格疏密度的可控性强、可局部加密和可重划分等优点。但参数空间上单元形状良好的网格映射到物理空间后可能会出现畸变。

２５５

面相关性的数学方程，用来描述由映射引发的畸变。

目前对于三维曲面网格方面的研究主要针对单张非闭合曲面进行，对于闭合曲面和组合曲面的研究则十分有限。针对这个问题，关振群［６７］通过引入虚边界，解决了闭合曲面经由映射所形成平面域边界不完整的问题，使映射法可以在闭合曲面的剖分中直接使用；通过调节虚边界在物理空间的位置，提高了网格的质量；改进了曲面网格剖分布点算法，并结合局部连接、诊断交换等技术，提高了组合曲面网格的整体质量；着重研究了带有闭合曲面的复杂三维组合曲面的有限元网格生成方法。

５展望

目前有限元网格生成技术已经相当成熟，可以实

现三维领域的网格划分全自动，但在网格划分方面依然有很大的研究空间。有限元网格划分还有许多难题没有得到彻底解决，网格划分的效率、单元质量等还有待进一步提高。分析当前有限元网格划分技术，可以总结出有限元建模的发展趋势：

（１）集成ＣＡＤ建模系统与ＣＡＥ软件，实现有限元建模的参数化。以参数化ＣＡＤ系统为平台，将参数化设计运用到网格划分，以设计参数来控制有限元网格，实现ＣＡＤ建模系统的几何信息和非几何信息特征向有限元模型的自动转换。

（２）多种通用算法的结合使用。前面已经分析了

为了减少网格的畸变，增强映射法的曲面适应能力，许多学者对该方法进行了改进。Ｚｈｅｎｇ等［６３］在曲面的参数空间中引入了延展因子概念消除或减弱由映射函数引起的畸变，但该方法不适用于内部与边界的畸变状态差别较大的曲面。Ｃｈｅｎ等［６４］用外接椭圆准则替代Ｄｅｌａｕｎａｙ三角化方法中的外接圆准则，保证了参数空间的Ｄｅｌａｕｎａｙ划分结果在反向映射到物理空间后具有良好的几何形态。Ｃｈｅｎ方法对曲面边界和内部的映射畸变给出了统一的计算方法，克服了延展因子的缺陷。熊英等［６５］在Ｃｈｅｎ的基础上提出了新的椭圆构造算法以及椭圆圆心的定位方法，并解决了求解椭圆效率不高的问题。Ｃｕｉｌｌｉｅｒｅ［６６］建立了一套曲

各种算法的适用范围与优缺点，它们都各有千秋，如何实现多种算法的综合运用、扬长避短，一直是近年的研究热点。

（３）网格划分的全自动化。目前网格划分的全自动化已经应用于三维领域，但全自动生成的有限元网格在计算效率、网格质量等方面都存在不足。特别是六面体网格的全自动生成，目前基本没有有限元软件可以自动对复杂区域进行六面体网格划分，网格的自适应性就更难解决了。

（４）网格化分的自适应性。在工程分析中自适应网格可以通过有限元计算结果后的误差分析，重新优化有限元网格。自适应网格生成对于提高有限元分析

２５６ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｒｏｎｔｉｅｒｓｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ计算机科学与探索（３）２００８，２

的精度是非常有效的，随着有限元研究与应用领域的不断扩展，自适应网格生成算法也会不断发展。

（５）人工智能和专家系统的应用。有限元网格划分非常依赖经验，采用专家系统实行知识推理机制和人工智能将会大大提高有限元自动建模的效率和模型的正确性。

［１１］ＷａｎｇＭＱ，ＺｈｕＹＭ，ＬｉｕＷＸ，ｅｔａｌ．Ｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈ

ｏｎｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＭａｃｈｉｎｅｒｙＤｅｓｉｇｎ＆Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ，２００４，１：２２－２４．

［１２］ＨｕａｎｇＺＣ，ＢａｏＺＹ，ＺｈｏｕＴＲ，ｅｔａｌ．Ｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈ

ｏｆｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｃｈａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２５－３１．

［１３］ＬｖＪ，ＷａｎｇＺＪ，ＷａｎｇＺＲ，ｅｔａｌ．Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｏｆｆｉｎｉｔｅ

２００１，２３（４）：

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（１）：２７－３８．２０

ｅｌｅｍｅｎｔｈｅｘａｈｅｄｒａｌｍｅｓｈａｎｄｉｔｓｔｒｅｎｄｏｆｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ［Ｊ］．

（４）：ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨａｒｂｉｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１，３３

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ｍａｔｉｃｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｏｒｓｆｏｒａｄａｐｔｉｖｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙ－ｓｉｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，１９９７，３２

（５）：４７７－４８２．

［１５］ＺｈａｎｇＹＦ，ＺｈｕＹＷ．Ｒｅｖｉｅｗｆｏｒｔｙｐｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｏｆ

ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｓｈａｕｔｏｍａｔｉｃｇｅｎｅｒａｔｉｏｎａｎｄｒｅｓｅａｒｃｈｔｏｐｉｃｓｉｎｆｕｔｕｒｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｅｎｇｉ－

（２）：５４－５９．ｎｅｅｒｉｎｇ，２００５，３８

［１６］ＬｉＹ，ＺｈａｏＷ．Ｎｅｗｍｅｔｈｏｄｆｏｒａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｍｅｓｈｇｅｎｅｒ－

ａｔｉｏｎａｎｄｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｉｎＦＥＡ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｉｃｈｕａｎＵｎｉ－

（３）：１０４－１０６．ｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００３，２２

［５］ＳｈｅｐｈａｒｄＭＳ．Ａｐｐｒｏａｃｈｅｓｔｏｔｈｅａｕｔｏｍａｔｉｃｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ

ａｎｄｃｏｎｔｒｏｌｏｆｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｓｈｅｓ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎ－

（４）：１６９－１８５．ｉｃｓＲｅｖｉｅｗ，１９８８，４１

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ｈｅｘａｈｅｄｒａｌｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤａｌｉａｎＮａｔｉｏｎａｌｉ－

（３）：１－２．ｔｉｅｓＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００３，５

［６］ＳｈｅｐｈａｒｄＭＳ，ＧｒｉｃｅＫＲ，ＬｏＪＡ，ｅｔａｌ．Ｔｒｅｎｄｓｉｎａｕ－

ｔｏｍａｔｉｃｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ＆

（１／２）：４２１－４２９．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９８８，３０

［１８］ＹｕＨＴ，ＳｈａｏＫＲ．ＡｄａｐｔｉｖｅｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｆｏｒＦＥＭ

（５）：４－５．ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＨｉｇｈＶｏｌｔａｇｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００４，３０

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ｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＮｕｍｅｒｉｃａｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９８９，

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ｏｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕａｑｉａｏＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：

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［８］ＧｅｏｒｇｅＰＬ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ，ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏ

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ｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ＆ＣｏｍｐｕｔｅｒＧｒａｐｈｉｃｓ，

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［２０］ＢｌａｃｋｅｒＴ．Ａｕｔｏｍａｔｅｄｃｏｎｆｏｒｍａｌｈｅｘａｈｅｄｒａｌｍｅｓｈｉｎｇｃｏｎ－

ｓｔｒａｉｎｔｓ，ｃｈａｌｌｅｎｇｅｓａｎｄｏｐｐｏｒｔｕｎｉｔｉｅｓ［Ｊ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｗｉｔｈ

（３）：２０１－２１０．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ，２００１，１７

［２１］ＢｒｏｗｎＰＲ．Ａｎｏｎ－ｉｎｔｅｒａｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅａｕｔｏｍａｔｉｃ

ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｏｆｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｓｈｅｓｕｓｉｎｇｔｈｅＳｃｈｗａｒｚ－Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔｅｒＭｅｔｈｏｄｓｉｎＡｐｐｌｉｅｄ

（１）：１０１－１２６．ＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９８１，２５

［１０］ＧｕａｎＺＱ，ＳｏｎｇＣ．Ｒｅｃｅｎｔａｄｖａｎｃｅｓｏｆｒｅｓｅａｒｃｈｏｎｆｉ－

ｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍ－

（１）：ｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ＆ＣｏｍｐｕｔｅｒＧｒａｐｈｉｃｓ，２００３，１５

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ｑｕａｄｒｉｌａｔｅｒａｌｅｌｅｍｅｎｔｓｂｙａｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇ［Ｊ］．Ｅｎｇｉ－

（３）：１８７－１９４．ｎｅｅｒｉｎｇｗｉｔｈＣｏｍｐｕｔｅｒｓ，１９８５，２

１－１４．

古成中等：有限元网格划分及发展趋势

［２３］ＹａｎｇＧＷ，ＥＱ，ＬｉＦＷ．Ｕｓｅｏｆｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇｉｎ

ｇｒｉｄｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｆｏｒｃｏｍｐｌｅｘｔｗｏ－ａｎｄｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

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２５７

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ｐｒｏａｃｈｔｏｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥＣｏｍ－

（１）：３９－４６．ｐｕｔｅｒＧｒａｐｈｉｃｓ＆Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，１９８３，３

３７８－３８５．

［２４］ＴｈｏｍｐｓｏｎＪＦ，ＴｈａｍｅｓＦＣ，ＭａｒｔｉｎＣＷ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃ

ｎｕｍｅｒｉｃａｌｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｏｆｂｏｄｙ－ｆｉｔｔｅｄｃｕｒｖｉｌｉｎｅａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｓｙｓｔｅｍｆｏｒｆｉｅｌｄｃｏｎｔａｉｎｎｉｎｇａｎｙｎｕｍｂｅｒｏｆａｒｂｉｔｒａｒｙｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｂｏｄｉｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙ－ｓｉｃｓ，１９７４，１５：２９９－３１９．

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ｆｉｔｔｅｄｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｓｆｏｒｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ—ａｒｅｖｉｅｗ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ，１９８２，４７：１－１０８．

［２６］ＴｈｏｍｐｓｏｎＪＦ，ＷａｒｓｉＺＵＡ，ＭａｓｔｉｎＣＷ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ

ｇｒｉｄｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ：ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｅｌｓｅｖｉｅｒ，１９８５．

［２７］ＴｈｏｍｐｓｏｎＪＦ．Ａｃｏｍｐｏｓｉｔｅｇｒｉｄｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｃｏｄｅｆｏｒ

ｇｅｎｅｒａｌ３Ｄｒｅｇｉｏｎｓ—ｔｈｅＥＡＧＬＥｃｏｄｅ［Ｊ］．

（３）：２７１－２７２．１９８８，２６

［３６］ＳｈｐｉｔａｌｎｉＭ．Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｖｉｓａｗｉｔｃｈ－

ｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔｉｎＡｎａｌｙｓｉｓ

（２）：１１９－１３０．ａｎｄＤｅｓｉｇｎ，１９８９，５

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ｄｏｍａｉｎｓｆｏｒｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｆｏｒＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９７４，８：６７９－６９６．

［３８］ＳｈａｗＲＤ，ＰｉｔｃｈｅｎＲＧ．ＭｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅＳｕｈａｒａ－

Ｆｕｋｕｄａｍｅｔｈｏｄｏｆｎｅｔｗｏｒｋｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｆｏｒＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９７８，１２：９３－９９．

［３９］ＬｏＳＨ．Ａｎｅｗｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｓｃｈｅｍｅｆｏｒａｒｂｉｔｒａｒｙ

ｐｌａｎａｒｄｏｍａｉｎｓ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｆｏｒＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９８５，２１：１４０３－１４２６．

［４０］ＧｅｏｒｇｅＰＬ，ＨｅｃｈｔＦ，ＳａｌｔｅｌＥ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃｍｅｓｈｇｅｎｅｒ－

ａｔｏｒｗｉｔｈｓｐｅｃｉｆｉｅｄｂｏｕｎｄａｒｙ［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔｅｒＭｅｔｈｏｄｓｉｎ

（３）：２６９－２８８．ＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９１，９２

ＡＩＡＡＪｏｕｒｎａｌ，

［２８］ＨｓｕＫ，ＬｅｅＳＬ．Ａｎｕｍｅｒｉｃａｌｔｅｃｈｎｉｑｕｅｆｏｒｔｗｏ－ｄｉｍｅｎ－

ｓｉｏｎａｌｇｒｉｄｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｗｉｔｈｇｒｉｄｃｏｎｔｒｏｌａｔａｌｌｏｆｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ，１９９１，９６

（２）：４５１－４６９．

［２９］ＳｐｅｋｒｅｉｊｓｅＳＰ．ＥｌｌｉｐｔｉｃｇｒｉｄｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎＬａｐｌａｃｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄａｌｇｅｂｒａｉｃｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍ－

（１）：３８－６１．ｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ，１９９５，１１８

［４１］ＧｅｏｒｇｅＰＬ，ＢｏｒｏｕｃｈａｋｉＨ．Ｄｅｌａｕｎａｙｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎａｎｄ

ｍｅｓｈｉｎｇ：ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｓ［Ｍ］．ｔｉｏｎｓＨＥＲＭＥＳ，１９９８．

［４２］ＷｅａｔｈｅｒｉｌｌＮＰ，ＨａｓｓａｎＯ．Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

Ｄｅｌａｕｎａｙｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎｗｉｔｈａｕｔｏｍａｔｉｃｐｏｉｎｔｃｒｅａｔｉｏｎａｎｄｉｍｐｏｓｅｄｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｓｔｒａｉｎｓ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｆｏｒ

（１２）：２００５－２０３９．ＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９４，３７

Ｐａｒｉｓ：Ｅｄｉ－

［３０］ＧｏｒｄｏｎＷＪ，ＨａｌｌＣＡ．Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｃｕｒｖｉｌｉｎｅａｒｃｏｏｒ－

ｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｆｏｒＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒ－ｉｎｇ，１９７３，７：４６１－４７７．

［３１］ＥｒｉｋｓｓｏｎＬＥ．Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｏｆｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇｇｒｉｄｓ

ａｒｏｕｎｄｗｉｎｇ－ｂｏｄｙｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓｕｓｉｎｇｔｒａｎｓｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｒｐｏ－

（１０）：１３１３－１３２０．ｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＡＩＡＡＪｏｕｒｎａｌ，１９８２，２０

［４３］ＪｏｅＢ．ＧＥＯＭＰＡＣＫ—ａｓｏｆｔｗａｒｅｐａｃｋａｇｅｆｏｒｔｈｅｇｅｎｅｒａ－

ｔｉｏｎｏｆｍｅｓｈｅｓｕｓｉｎｇｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓｉｎ

（１３）：３２５－３３１．ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｏｆｔｗａｒｅ，１９９１，５６

［３２］ＹａｎｇＷＪ，ＢａｏＺＸ，ＦｕＭＦ，ｅｔａｌ．Ｍａｐｐｉｎｇａｐｐｌｉｅｄ

ｆｏｒｈｅｘａｈｅｄｒａｌｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｃｈａｎｇ

（４）：３９－４３．Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１９９９，２１

［４４］ＷｏｒｄｅｎｗｅｂｅｒＢ．Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＣＡＤ，

（５）：２８５－２９１．１９８４，１６

［４５］ＢｙｋａｔＡ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｏｆｔｒｉａｎｇｕｌａｒｇｒｉｄ：Ⅰ—

ｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎｏｆａｇｅｎｅｒａｌｐｏｌｙｇｏｎｉｎｔｏｃｏｎｖｅｘｓｕｂ－ｒｅｇｉｏｎｓ，Ⅱ—ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｖｅｘｐｏｌｙｇｏｎｓ［Ｊ］．ＩｎｔＪＮｕｍｅｒＭｅｔｈＥｎｇ，１９７６，１０：１３２９－１３４２．

［４６］ＢｙｋａｔＡ．Ｄｅｓｉｇｎｏｆａｒｅｃｕｒｓｉｖｅｓｈａｐｅｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｍｅｓｈ

［３３］ＫａｄｉｖａｒＭＨ，ＳｈａｒｉｆｉＨ．Ｄｏｕｂｌｅｍａｐｐｉｎｇｏｆｉｓｏｐａｒａ－

ｍｅｔｒｉｃｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，１９９６，

（３）：４７１－４７７．５９

［３４］ＴｈａｃｋｅｒＷＣ．Ａｍｅｔｈｏｄｆｏｒａｕｔｏｍａｔｉｎｇｔｈｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ

２５８ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｒｏｎｔｉｅｒｓｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ计算机科学与探索（３）２００８，２

ｇｅｎｅｒａｔｏｒ［Ｊ］．ＩｎｔＪＮｕｍｅｒＭｅｔｈＥｎｇ，１９８３，１９：１３７５－１３９０．［４７］ＬｏＳＨ．Ｖｏｌｕｍｅｄｉｓｃｒｅｔｉｚａｔｉｏｎｉｎｔｏｔｅｔｒａｈｅｄｒａｌ—ＩＩ，３Ｄ

ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎｂｙａｄｖａｎｃｉｎｇｆｒｏｎｔａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ

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古成中（１９８１－），男，安徽省无为县人，博士研究生，海军工程大学船舶与动力学院机械设计教研室，主要研究方向：ＣＡＤ／ＣＡＥ技术研究，发表学术论文４篇。

ＷＵＸｉｎｙｕｅｗａｓｂｏｒｎｉｎ１９６２．ＨｅｒｅｃｅｉｖｅｄｔｈｅＰｈ．Ｄ．ｄｅｇｒｅｅｉｎＴｕｒｂｉｎｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｆｒｏｍＮａｖａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｉｎ１９９９．ＨｅｉｓａｐｒｏｆｅｓｓｏｒａｎｄｄｏｃｔｏｒａｌｓｕｐｅｒｖｉｓｏｒａｔＮａｖａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．ＨｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｔｅｒｅｓｔｓｉｎｃｌｕｄｅＣＡＤ，ＣＡＥａｎｄｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｍｅｃｈａｎｉｓｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｅｔｃ．Ｈｅｈａｓｐｕｂｌｉｓｈｅｄｍｏｒｅｔｈａｎ５０ｐａｐｅｒｓｉｎｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌａｎｄｄｏｍｅｓｔｉｃｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎｓ．ＨｅｈａｓａｃｑｕｉｒｅｄｓｅｃｏｎｄａｎｄｔｈｉｒｄｐｒｉｚｅｓｉｎＡｄｖａｎｃｅｍｅｎｔｏｆＭｉｌｉｔａｒｙＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．

吴新跃博士生导（１９６２－），男，浙江省松阳人，１９９９年于海军工程大学获博士学位，现任海军工程大学教授、师，主要研究方向：ＣＡＤ／ＣＡＥ技术研究、机械结构动态分析等，发表学术论文５０余篇（国际４篇，国内核心刊物４０余篇），获军队科技进步二等奖２项、军队科技进步三等奖３项。