第21讲 分类与整合思想化归与转化思想

第21讲 分类与整合思想化归与转化思想 [双面作业

]

1. 【答案】2-1

【解析】设公比为q ，则a 1+a 1q 3=9①，a 1q ⋅a 1q 2=8②，由②得q =得a 1=1或者a 1=8。

若a 1=1，得q =2；若a 1=8，解得q =

3

88，代入①得a +=9，解12a 1a 1

1

，数列不是单调递增的。 2

1(1-2n )

=2n -1。 所以a 1=1, q =2，所以S n =

1-2

2. 【答案】(1,2]

【解析】由于x ≤2时，函数的值域为[4,+∞) ，所以只要在x >2时，3+log a x ≥4即可，即log a x ≥1，当01，故只要log a 2≥1，即1

ππ

【解析】即tan x ≤m 对∀x ∈[0,]恒成立，只要m ≥(tanx ) max , x ∈[0,，故m ≥1，实数m 的最小值

44

为1。

4. 【答案】120

1313

【解析】首位排4，则各位只能排0, 2，此时有A 2首位排5，各位可排0,1, 2，此时有A 3A 4=72A 4=48个；个。共有48+72=120个。

131

5. 【答案】-【解析】根据已知和正弦定理得2b =3c ，即b =c ，代入b -c =a ，得a =2c 。

424

根据余弦定理得cos A =-

1。 4

f (b ) -f (a )

b -a m 1m -x (x >0) 成立，等价于函数h (x ) =f (x ) -x =ln x 单调递减，等价于h '(x ) =-2-1≤0在x x x 2

(0,+∞) 上恒成立，等价于m ≥-x +x 在(0,+∞) 上恒成立，等价于m ≥(-x 2+x ) max , x >0。

11

(-x 2+x ) max =，所以m ≥。

44

7. 【答案】30

6. 【答案】[, +∞) 【解析】对任意b >a >0，

2

【解析】(x 2+x +y ) 5=[(x 2+x ) +y ]5，展开式中含y 2的项为C 5(x 2+x ) 3y 2，(x 2+x ) 3=x 3(x +1) 3，255221(x +1) 3的展开式中x 2的系数为C 13，所以(x +x +y ) 的展开式中，x y 的系数为C 5C 3=30. 。

1

4

8. 【答案】45 【解析】方法1. 若x 1+x 2=-3，则只能x 1=-1, y 1=0，此时y 1+y 2=-2, -1,0,1,2，(x 1+x 2, y 1+y 2) 有

5种情况，根据对称性，x 1+x 2=3时，(x 1+x 2, y 1+y 2) 也有5种情况；

若x 1+x 2=-2，此时x 1=-1, 0, 均1可，y 1可以等于0, -1,1，y 1+y 2=-3, -2, -1,0,1,2,3，

(x 1+x 2, y 1+y 2) 有7种情况，根据对称性，x 1+x 2=2时，(x 1+x 2, y 1+y 2) 也有7种情况；

若x 1+x 2=-1，此时x 1=-1,0,1均可，y 1可以等于0, -1,1，y 1+y 2=-3, -2, -1,0,1,2,3，(x 1+x 2, y 1+y 2) 有7种情况，根据对称性，x 1+x 2=1时，(x 1+x 2, y 1+y 2) 也有7种情况； 若x 1+x 2=0，此时x 1=-1,0,1均可，y 1可以等于0, -1,1，y 1+y 2=-3, -2, -1,0,1,2,3，(x 1+x 2, y 1+y 2) 有7种情况。

综上可知，各种不同的情况为2⨯5+2⨯7+2⨯7+7=45。即A ⊕B 中元素的个数为45。

方法2. x 1的取值为-1,0,1，x 2的取值为-2, -1,0,1,2，x 1+x 2的不同取值为：-3, -2, -1,0,1,2,3； 同理y 1+y 2的不同取值为-3, -2, -1,0,1,2,3。故(x 1+x 2, y 1+y 2) 有7⨯7=49种不同的情况，即集合A ⊕B 中有49个元素。

但x 1+x 2=-3时，y 1只能等于零，此时y 1+y 2≠±3，多出2个，同理，x 1+x 2=3时，y 1只能等于零，此时y 1+y 2≠±3，多出2个。共多出4个。所以A ⊕B 中元素的个数为49-4=45。

考点1 分类整合思想 分类 →分类求解问题 ↓ 整合

例1. （1）【2015湖北卷，理10】设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得，则正整数n 的最大值是 [t ]=1,[t 2]=2, ,[t n =]n 同时成立．．．．A. 3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B

【解析】若[t ]=1，则1≤t

4

≤t 4

综上可知，若有[t ]=1,[t 2]=2,[t 3]=3,[t 4]=4，则t 5==6，此时[t 5]=6≠5，故不存在实数t 能够使[t 5]=5。 故正整数n 的最大值为4。

x

⎧⎪2-a , x

（2）【2015北京卷，理14】设函数f (x )=⎨

⎪⎩4(x -a )(x -2a ), x ≥1.

（1）若a =1，则f (x )的最小值为 ；

（2）若

f (x )恰有两个零点，则实数a 的取值范围是 .

12

【答案】-1；[,1) [2,+∞)

2x

【解析】（1）a =1。当x

3

214

即y ∈[-1, +∞) ，故f (x ) 的最小值为-1。

（2）若a ≤0，可知y =2x -a >0无零点，y =4(x -a )(x -2a ) 在定义域内无零点，故此时f (x ) 无零点； 若0

1x

，y =2-a 在(-∞,1) 有一个零点，但y =4(x -a )(x -2a ) 在定义域内无零点，此时f (x ) 只2

有一个零点；

1

≤a

此时f (x ) 有两个零点；

x

若1≤a

若

若a ≥2，则y =2-a 在(-∞,1) 有无零点，y =4(x -a )(x -2a ) 在定义域内有两个零点x =a , 2a ，此时f (x ) 有两个零点。 综上可知，当

x

11

≤a

2

小结：从2015年高考看，在部分选择题、填空题中也需要分类讨论才能解决问题，高考中的分类与整合

思想的考查已经不仅仅局限在函数导数、概率的解答题中。

【变式题】 （1）【2015陕西卷，理12】对二次函数f (x ) =ax +bx +c （a 为非零整数），四位同学分别给出了下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是

A. -1是f (x ) 的零点 B. 1是f (x ) 的极值点 C. 3是f (x ) 的极值 D. 点(2,8)在曲线y =f (x ) 上 【答案】A

【解析】前三个选项中的结论正确，则a -b +c =0、-

b 3

=1、a +b +c =3，解得a =-，与a 为非2a 4

零整数矛盾，故错误的结论一定在前三个选项，选项D 中的结论一定正确；若选项A 、B 正确，则有

b 8

=1、4a +2b +c =8，解得a =-，与a 为非零整数矛盾，故错误结论一定在选项2a 3

A 、B 中，即选项C 、D 的结论正确；若选项A 正确，在a -b +c =0、a +b +c =3、4a +2b +c =8，

7

解得a =-，与a 为非零整数矛盾，故错误的只能是选项A 中的结论。

6

（2）【2015广东卷，文10】若集合E ={(p , q , r , s ) |0≤p ≤s ≤4,0≤q ≤s ≤4,0≤r ≤s ≤4且p , q , r , s ∈N }，

F ={(t , u , v , w ) |0≤t

A. 200 B. 150 C. 100 D. 50 a -b +c =0、-

【答案】A

【解析】集合E 中：

（1）若s =1，则p =q =r =0，1种情况；

（2）若s =2，则p , q , r 各有取值0,1，(p , q , r ) 共8种可能；

, , q ) r 共27种可能； （3）若s =3，则p , q , r 各有取值0,1, 2，，(p , , q ) r 共64种可能. （4））若s =4，则p , q , r 各有取值0,1, 2,3，，(p

所以card (E ) =1+8+27+64=100。

集合F ：

（1）对(t , u ) 可知，u =1, t =0; u =2, t =0,1; u =3, t =0,1,2; t =4, u =0,1,2,3，共10种可能；同理，对

(v , w ) 也有10种可能。

（2）对(t , u , v , w ) 前两个元素和后两个元素各有10种可能，所以(t , u , v , w ) 共有10⨯10=100种可能。 所以card (F ) =100。

所以card (E ) +card (F ) =100+100=200。

考点2 化归与转化思想

化归 →通过化归把未知问题化为可解问题。 ↓

等价转化 →等价转化为另一类容易解决的问题。

x

2

例2. （1）【2015四川卷，理15】已知函数f (x ) =2，g (x ) =x +ax （其中a ∈R ）。对于不相等的实数x 1, x 2，设m =

f (x 1) -f (x 2) g (x 1) -g (x 2)

，n =，

x 1-x 2x 1-x 2

现有如下命题：

①对于任意不相等的实数x 1, x 2，都有m >0；

②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1, x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1, x 2，使得m =n ；

④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1, x 2，使得m =-n 。 其中的真命题有（写出所有真命题的序号）。 【答案】①④

【解析】由于f (x ) 在(-∞, +∞) 单调递增，因此对于任意两个不等的实数x 1, x 2，x 1-x 2与f (x 1) -f (x 2) 同号，所以m >0，命题①为真命题；

由于函数g (x ) 在定义域内部单调，故命题②不是真命题；

若m =n ，则f (1x ) -f (2x =) g 1(-x ) ，即) f (1g (x x ) -2g (1x =) f 2(x -) ，构) 造函数g (x 2

h (x ) =f (x ) -g (x ) =2x -x 2-ax ，对于任意的a ，存在不相等的实数x 1, x 2，使得m =n ，等价于h (x ) 对任意的a 存在，存在直线y =b 使其函数h (x ) 的图象有两个不同的交点，等价于对任意的a h (x ) 存在极值点，等价于h '(x ) =2x ln 2-2x -a 存在变号零点，作出y =2x ln 2, y =2x +a 的图象可知，并不是对任意实数a 两个函数图象都有交点，因此并不是对任意实数a ，h '(x ) 都有变号零点，因此并不是对任意实数a ，存在不相等的实数x 1, x 2，使得m =n ，命题③不是真命题； 若m =-n ，同样构造函数ϕ(x ) =f (x ) +g (x ) ，类似③，，等价于存在直线y =b 使其函数ϕ(x ) 的图象有两个不同的交点，等价于对任意的a ，ϕ(x ) 存在极值点，等价于ϕ'(x ) =2x ln 2+2x +a 存在变号零点，

作出y =2x ln 2, y =-2x -a 的图象，可知对任意a 两函数图象都存在交点，因此，对任意实数a ，存在不相等的实数x 1, x 2，使得m =-n ，命题④是真命题。

（2）【2015全国卷Ⅰ，理16】在平面四边形ABCD 中∠A =∠B =∠C =75︒，BC =2，则AB 的取值范围是 。

【答案】

【解析】如图，在平面四边形ABCD 中，连结AC ，设∠BAC =α，则∠BCA =105︒-α，根据平面四边形，可知α

AB 2

=，

sin(105︒-α) sin α

2sin(105︒-α) cos αcos α

=2sin105︒⨯-2cos105︒=2sin 75︒⨯+2cos 75︒。 得AB =

sin αsin αsin αcos α1cos 75︒cos30︒

令t =，则t =，在30︒

单调递减，所以

sin αtan αsin 75︒sin 30︒

cos 75︒

+2cos 75︒

所以2sin 75︒⨯

sin 75︒

即4cos75︒

在∆ABC 中，根据正弦定理，

sin 75︒=

，所以4cos75︒，

75︒+2cos75︒=+=。

22

的取值范围是。

因为cos75︒=

A

B

C

小结：化归转化啊啊思想的实质是把问题化为更容易解决的问题，如把数的问题转化为形的问题、把空间问题转化为平面问题、把立体几何问题转化为空间向量问题等，在数学方法中，换元法、割补法、坐标法等都是化归转化思想的具体体现。

3π)

π【变式题】（1）【2015重庆卷，理9】若tan α=2tan ，则=

5

sin(α-)

5

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

cos(α-

【答案】C

3ππ3π4π4ππ) =sin[-(α-)]=sin(-α) =sin[π-(-α)]=sin(α+) 。 10210555

3πππππππππ

cos(α-) sin(α+) sin αcos +cos αsin tan αcos +sin 2tan cos +sin

==== sin(α-) sin(α-) sin αcos -cos αsin tan αcos -sin 2tan cos +sin

555555555ππ2sin +sin

=3。 =

2sin -sin

55

22

y 的最小值|（2）【2015浙江卷，理13】若实数x , y 满足x +y ≤1，则|2x +y -2|+|6-x -3

【解析】cos(α-是 。

【答案】3

【解析】在x +y ≤1下，6-x -3y >0，故z =|2x +y -2|+6-x -3y 。

2

2

⎧x 2+y 2≤1,

①当2x +y -2≥0时，约束条件即⎨其表示的平面区域如图（1），目标函数即

⎩2x +y -2≥0.

z =2x +y -2+6-x -3y =x -2y +4，

11

约束条件表示的区域如图所示，令m =x -2y ，则y =x -m ，m 的几何意义是直线m =x -2y 在y

22

轴截距的-2倍，目标函数最小，应使直线m =x -2y 在y 轴上的截距最大，此时m 在图中的点A 处取得⎧x 2+y 2=1, 34

最大值，由⎨解得A (, ) ，此时m min =-1，所以z min =-1+4=-3。

55⎩2x +y -2=0.

⎧x 2+y 2≤1,

②当2x +y -2

2x +y -2

31

z =-2x -y +2+6-x -3y =-3x -4y +8。令m =-3x -4y ，y =-x -m ，m 的几何意义是直线

44

m =-3x -4y 在y 轴上截距的-4被，m 最小，应使直线m =-3x -4y 在y 轴上的截距最大，即直线过区域内的点A 时m 最小，但点A 不在区域内，此时m 无最小值，即z 无最小值。 综上可知z 的最小值为3。

图1 图2

教师备用例题

例1. 【配例1使用重点是分类整合的方法】已知函数f (x ) =x -单调性.

2

+a (2-ln x ),(a >0) ，讨论f (x ) 的x

2a x 2-ax +2

. 【解析】f (x ) 的定义域是(0,+∞), f '(x ) =1+2-=

x x x 2

2

设g (x ) =x 2-ax +2, 二次方程g (x ) =0的判别式∆=a -8.

2

① 当∆=a -8

0，即00都有f '(x ) >0, 此时f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数。

② 当∆=a -8=0,

即a =

x =在(0,+∞) 上也是增函数。

2

③ 当∆=a -8>

0，即a >

2

f '(x ) =0, 对其余的x >0都有f '(x ) >0, 此时f (x )

a

a +方程g (x ) =

0有两个不同的实根x 1=, x 2=, 0

x 2.

上单调递减, 在222

+∞) 上单调递增.

例2. 【综合使用，重点是其中隐含的等价转化思想、分类整合思想】已知数列{a n }满足a 1=10，

1

a n =6a n -1-⨯4n ，n ≥2, n ∈Z .

2

（1）求数列{a n }的通项公式；

11111+++ +

（3）证明：数列{a n }中的任意三项不可能成为等差数列。

1n

【解析】（1）由a n =6a n -1-⨯4 ，可得 a n -4n =6(a n -1-4n -1) ，又a 1=10, a 1-4=6，

2

从而数列 {a n -4n }是以a 1-4=6为首项，公比为6的等比数列，

（2）证明：

所以a n -4n =6.6n -1 ，即a n =6n +4n . （2）先证明6+4≥2⋅5。

当n =1时，左右两端均为10，不等式成立。 由于n ≥2, n ∈Z ，所以

0n 1n -12n -2n -1n

， 6n =(5+1) n =C n 5+C n 5+C n 5+ C n 5+C n

0n 1n -12n -2n -1n

4n =(5-1) n =C n 5-C n 5+C n 5+ +C n 5(-1) n -1+C n (-1) n

0n 2n -2n -22n 0n 当n 为偶数时，6n +4n =2(C n 5+C n 5+ +C n 5+C n ) >2C n 5=2⋅5n 。 0n 2n -2n -10n 当n 为奇数时，6n +4n =2(C n 5+C n 5+ +C n 5) >2C n 5=2⋅5n 。

n

n

n

所以当n ∈N 时，6+4≥2⋅5。 所以

*n n n

111

， =n ≤

a n 6+4n 2⋅5n

11(1-n )

11111111=1(1-1)

5

（3）假设存在a m , a p , a n ，m , p , n ∈N *成等差数列，因为{a n }为递增数列，

不妨设a m

n -1n -1n -1n -1n n

由于p ≤n -1，所以a p ≤a n -1=6+4， , 2a p ≤2a n -1=2⋅6+2⋅4

2a p

专题训练二十一【分类与整合思想、化归与转化思想】

基础演练

1. 已知命题p :∃x ∈R ,sin x >a ，若⌝p 是真命题，则实数a 的取值范围为 A. a

【解析】⌝p 为：∀x ∈R ,sin x ≤a 为真，等价于a ≥[sin x ]max =1。

2. 【2015湖北黄冈中学等八校二联，文1】已知集合A ={，B ={4}，1， 3 , zi }（其中i 为虚数单位）

A B =A ，则复数z 的共轭复数为 A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i

【答案】D

【解析】由A B =A ，等价于B ⊆A ，即得zi =4，z =-4i ，z 的共轭复数为4i , 故选D ． 3. 【2015黑龙江省大庆市二模，理3】已知tan α=2，则A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C

sin 2α

的值为

cos 2α

【解析】

sin 2α2sin αcos α

==2tan α=4。

cos 2αcos 2α

4. 【2015湖北黄冈中学等八校二联】已知α为钝角，且cos(【答案】-

π3

+α) =-，则sin 2α 25

24

25π33424

【解析】 cos(+α) =-，即sin α=，又α为钝角，cos α=-，sin 2α=2sin αcos α=-．

255525

5. 已知函数f (x ) 为奇函数，当x >0时，f (x ) =log 2x ，则满足不等式f (x ) >0的x 的取值范围

是 ． 【答案】(-1,0) (1,+∞)

【解析】当x >0时，由log 2x >0可得x >1；根据函数f (x ) 是偶函数、其图象关于坐标原点对称可得当x 0的解为(-1,0) 。所以x 的取值范围是(-1,0) (1,+∞) 。 能力检测

y -3⎧⎫

=3⎬, N ={(x , y ) |ax +2y +a =0}且M I N =∅，则a = x -2⎩⎭

A ．-6或-2 B ．-6 C ．2或-6 D ．-2

6. 已知M =⎨(x , y ) |【答案】A

【解析】直线ax +2y +a =0的斜率为3且不与直线y -3=3(x -2) 重合，此时-者直线ax +2y +a =0过点(2,3)，即2a +6+a =0，解得a =-2。

7. 【2015浙江温州高三第二次适应性考试，理7】在V ABC 中，BC =5，G ，O 分别为V ABC 的重心

uuu r uu u r

和外心，且OG ⋅BC =5，则V ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形

C ．直角三角形 D ．上述三种情况都有可能 【知识点】平面向量的数量积及应用F3 【答案】B

【解析】以BC 所在的边为x 轴建立坐标系，设A 的坐标为（a,b ）B(0,0) ，C （5,0），G(

a

=3，即a =-6，或2

5a +5 b 5a +51则BC =（5,0）, OG =(-，m-), 由OG ⋅BC =5得（-）.5=5，a=-,

233232

则BC ⋅AB 为负值，所以为钝角三角形。

⎧x 2-1,0≤x ≤2

8. 已知g (x ) =ax +a , f (x ) =⎨2，对∀x 1∈[-2,2],∃x 2∈[-2,2]，使g (x 1) =f (x 2) 成立，

⎩-x +1, -2≤x

则a 的取值范围是

A. [-1, +∞) B. [-1,1] C. (0,1] D. (-∞,1]

【答案】B

【解析】问题等价于函数g (x ) 的值域是函数f (x ) 值域的子集。函数f (x ) 的值域为[-3,3]。

当a >0时，函数g (x ) 在[-2, 2]上的值域为[-a ,3a ]，由[-a ,3a ]⊆[-3,3]，得-a ≥-4且3≤3a ，得

5,m) 2

a ≤1，此时0

⎧x +4y ≥0⎪x +y ≤4⎪

9. 【2015湖北省高三一轮检测，理10】给定区域D :⎨，令点集

⎪x +y ≥2⎪⎩x ≥0

T ={(x 0, y 0) ∈D |x 0, y 0∈Z ,(x 0, y ) 是z =x +y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点最多能

确定三角形的个数为

A ．15 B ．25 C ．28 D ．32 【答案】B ．

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示， 因为直线z =x +y 与直线x +y =4，直线x +y =2平行，所以 直线z =x +y 过直线x +y =4上的整数点：(4,0)，(3,1)，(2,2) ， (1,3)，(0,4) 时，直线的纵截距最大，即z 最大；直线z =x +y 过

直线x +y =2上的整数点：(0,2) ，(1,1)时，直线的纵截距最小，即z 最小．所以满足条件的点共有7个，

33

则T 中的点最多能确定三角形的个数为C 7．故选B ． -C 5=35-10=25（个）

10. 【2015河南郑州市二次质量预测，理10】在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin

（B 十A ）＋sin （B －A ）＝3sin2A

，且c =C =

π

3

，则△ABC 的面积是

【答案】D

2π2π-A , B -A =-2A ,

333

⎛2π⎫

-2A ⎪=2sin 2A , sin (B +A )+sin (B -A )=2sin 2A , ∴sin C +sin ⎝3⎭

【解析】在△ABC 中，C =

π

, ∴B =

π⎫1⎛⎛2ππ⎫⎛∴sin 2A -=A ∈, 又 2A -⎪=sin C = ⎪ 0, 6⎭26⎭⎝⎝3⎝

ππc ,

当A =时, B =

, tan C ===

解得a =

62a a 3

11; ac =⨯=

2236ππ; 故选D. 当A =, B =,

同理可得S ABC =

264

所以S ABC =

ππ⎫

A =, 解得或, ⎪

62⎭

ax 2+2y 2

11. 若当x ∈[1,2]，y ∈[2,3]时，-1>0恒成立，则a 的取值范围是 .

xy

【答案】(-1, +∞)

y ax 2+2y 2⎛y ⎫y

【解析】不等式-1>0⇔ax 2>xy -2y 2⇔a >-2 ⎪+。令t =∈[1, 3]，则

x xy x x ⎝⎭

2

⎛y ⎫y

。a >-2 ⎪+恒成立，等价于a >[g (t )]max =-1。所以a 的取值范围

是g (t ) =-2t +t ≤-1

⎝x ⎭x

2

2

(-1, +∞) 。

12. 【2015山西名校联盟考前检测，理15】

【答案】8π 9

【解析】

13. 【2015浙江温州高三第二次适应性考试，理14】若实数x , y 满足4x +2x +y +y =0，则2x +y 的范围是 ．

【答案】[-2, 0]

22

2x+y=πcosθ+sinθ-1=sin（θ+）-1[-2，0]，故x+y的范围是[-2，0]， 422

14. 【2015山东聊城二模，理18】如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC，∠ADC =90o PA =PD =AD =2BC =2，CD PB Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，且PM=3MC.

（1）求证：平面PAD ⊥底面ABCD ；

（2）求二面角M -BQ -C 的大小.

【解析】

15. 【2015辽宁省沈阳市三校协作体高三下学期一联，理20】如图，抛物线C 1：y 2px 与椭圆C 2：2

x 2y 286. +=1在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，∆OAB 的面积为16123

（1）求抛物线C 1的方程；

（2）过A 点作直线l 交C 1于C 、D 两点，射线OC 、OD 分别交C 2于E 、F 两点，记∆OEF 和∆OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1:S 2=3:77？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）因为∆OAB 的面积为

代入椭圆方程得B (,

8646, 所以y B =， 33446) ， 33

2抛物线的方程是：y =8x

(2) 存在直线l : x ±11y -4=0符合条件

显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为x =my +4，

与y =8x 联立得y -8my -32=0.

设C (x 1, y 1), D (x 2, y 2) , 则y 1+y 2=8m , y 1⋅y 2=-32

22

1OC OD sin ∠COD OC OD y y 32S 2∴===12=. 1y E y F S 1OE OF y E y F OE OF sin ∠EOF 2

由直线OC 的斜率为

y 18x 2y 28=, 故直线OC 的方程为y =+=1联立得 x ，与x 1y 11612y 1

y y 112y E (1+) =1，同理y F (2+) =1， 64⋅161264⋅1612

22y 1y 21122所以y E ⋅y F (+)(+) =1 64⋅161264⋅1612

36⨯256可得y E 2⋅y F 2= 121+48m 2

2S 277322(121+48m 2) ⎛77⎫=要使，只需= ⎪ S 1336⨯256⎝3⎭222

即121+48m 2=49⨯121

解得m =±11，

所以存在直线l : x ±11y -4=0符合条件

16. 【2015河南商丘二模，理21】已知函数f (x ) =1n (x +1) +ax 2-x (a ∈R ) ．

1时，求函数y =f (x ) 的单调区间； 4

（2）若对任意实数b ∈(1,2)，当x ∈(-1, b ]时，函数f (x ) 的最大值为f (b ) ，求a 的取值范围．

112【解析】（1）当a =时，f (x ) =ln(x +1) +x -x ， 44

11x (x -1) 则f '(x ) =+x -1=(x >-1) ， x +122(x +1)

令f '(x ) >0，得-11；令f '(x )

∴函数f (x ) 的单调递增区间为(-1,0) 和(1,+∞) ，单调递减区间为(0,1).

x [2ax -(1-2a )](x >-1) ， （2）由题意f '(x ) =(x +1)

①当a ≤0时，函数f (x ) 在(-1,0) 上单调递增，在(0,+∞) 上单调递减，此时，不存在实 数b ∈(1,2)，使得当x ∈(-1, b ]时，函数f (x ) 的最大值为f (b ) .

1-1， ②当a >0时，令f '(x ) =0，有x 1=0，x 2=2a

1当a =时，函数f (x ) 在(-1, +∞) 上单调递增，显然符合题意. ； 2

111-1>0即0

1-1) 上单调递减，f (x ) 在x =0处取得极大值，且f (0)=0， 在(0,2a

要使对任意实数b ∈(1,2)，当x ∈(-1, b ]时，函数f (x ) 的最大值为f (b ) ，

1只需f (1)≥0，解得a ≥1-ln 2，又0

1所以此时实数a 的取值范围是1-ln 2≤a

111-1时，函数f (x ) 在(-1, -1) 和(0,+∞) 上单调递增， 当2a 22a

1-1,0) 上单调递减，要存在实数b ∈(1,2)，使得当x ∈(-1, b ]时， 在(2a

1-1) ≤f (1)， 函数f (x ) 的最大值为f (b ) ，需f (2a

1+ln 2-1≥0，① 代入化简得ln 2a +4a

1111+ln 2-1(a >) ，因为g '(a ) =(1-) >0恒成立， 令g (a ) =ln 2a +4a 2a 4a

111故恒有g (a ) >g () =ln 2->0，所以a >时，①式恒成立， 222

综上，实数a 的取值范围是[1-ln 2, +∞) . （1）当a =