相对误差椭圆
§6-5 相对误差椭圆
0.5学时
一、利用点位误差椭圆评定精度存在的问题
在工程应用中,有时并不需要研究待定点相对于起始点的精度,往往关心的是任意两个待定点之间相对位置的精度。在平面控制网中,两个待定点 之间相对位置的精度可以用两个待定点之间的边长相对中误差以及方位角中误差或相对点位误差来衡量。
在§6-3中曾举例说明如何利用点位误差曲线从图上量出已知点与待定点之间的边长中误差,以及与该边相垂直的横向误差,从而求出方位角误差。在§6-4中又阐述论证了用点位误差椭圆可以代替误差曲线。但是它们都只能确定待定点与任一已知点之间的边长中误差或方位角中误差,但不能确定待定点与待定点之间的边长中误差或方位角中误差,这是因为这些待定点的坐标是相关的。举例说明
2两个待定点。设两待定点的坐标为未知数,用间接平差法进1和P例[6-4] 在某三角网中有P
,未知数的协因数阵为 行平差。算出两点的坐标方位角为960341.6
0.142200.13160.06790.0170
0.24440.03610.02970.1316
QXˆXˆ
0.06790.03610.08410.0045
0.01700.02970.00450.0838
分米2
)
ˆ00.332点的点位误差椭圆并说明用点1和P单位为秒。单位权中误差,试求P
(
位误差椭圆不能够求出两点之间的相对精度。
解:
1点的误差椭圆参数的计算。 (1) P
Qx1x1Qy1y10.14220.24440.3866
Qx1x1Qy1y10.14220.24440.1022Qx1y10.1316
2Qx1y1
Qx1x1Qy1y1
H(Qx1x1Qy1y1)24Q2x1y1(0.14220.2444)24(0.1316)20.2823
tg20
2(0.1316)
2.5753
0.1022
206846或24846;03423或12423
因为
Qx1y10.13160
,所以
12423
E
。
因此
1212
ˆ0(Qx1x1Qy1y1H)0.332(0.38660.2823)0.0364E1221212
ˆ0(Qx1x1Qy1y1H)0.332(0.38660.2823)0.0057F122
E10.19dm,F10.08dm
2点的误差椭圆参数的计算。 (2) P
2点的误差椭圆参数 按照下式计算P
Qx2x2Qy2y20.08410.08380.1679Qx2x2Qy2y20.08410.08380.0003Qx1y10.0045
HQx2x2Qy2y2)24Q2x2y2
tg20
2Qx2y2
Qx2x2Qy2y2
0.0003240.004520.0090
20.0045
30
0.0003
因为 所以
Qx2y20.00450
208805或26805;04405或13405
;
4405
E
E2F2
因此
2
2
121
ˆ0(Qx2x2Qy2y2H)0.332(0.16790.0090)0.009622121
ˆ0(Qx2x2Qy2y2H)0.332(0.16790.0090)0.008622
E20.10dm,F20.09dm
2点的点位误差椭圆 1和P(3)绘制P
按照1:2的比例绘出两点的点位误差椭圆,见图6-12
(4)说明用点位误差椭圆不能够求出两点之间的相对精度。
a b
图解法
1P2边垂直,其垂足点为a和b,2两点误差椭圆的切线并与P1和P在图6-12上分别作P
1aP2b,但是,从图6-如果利用点位误差椭圆可以图解两未知点之间的边长中误差,则应有P1aP2b。 12中明显可以看出,P
计算法
1212E196031242328201P2方向上的1点来说,P对于P
2
ˆψE12cos2ψ12F12sin2ψ120.192cos2(2820)0.082sin2(2820)0.0294
12
则
ˆ0.17dm
12
2P1方向上 2点来说,P对于P
2121E9603180440523158
2
则
22ˆψE2cos2ψ21F22sin2ψ210.102cos2(23158)0.082sin2(23158)0.0082
21
ˆ0.09dm
21
。
ˆˆ
12
21
通过上面的例子可以看出,利用点位误差椭圆不能确定任意两个待定点之间相对位置的精度,要解决这个问题,需要用下面介绍的相对点位误差椭圆。
二、相对点位误差椭圆 设两个待定点为
Pi
和
Pk
,这两点的相对位置可通过其坐标差来表示,即
xikxkxi
yikykyi
根据协因数传播律可得
(6-5-1)
QxxQxkxkQxixi2QxkxiQyyQykykQyiyi
如果
Pi
QxyQxkykQxiyi
2Qykyi
QxkyiQxiyk
(6-5-2)
Pi
和
Pk
两点中有一个点(例如点)为不带误差的已知点,则从(6-5-2)式可以得出
QxxQxkxk
QyyQykyk
QxyQxkyk
因此,两点之间坐标差的协因数就等于待定点坐标的协因数。而在前几节中,所有的讨论都是以此为基础的。由此可见,这样作出的点位误差曲线都是待定点相对于已知点而言的。
k点间的相对误差椭圆的三个参数的公式: i和P利用这些协因数,可得到计算P
1222
ˆ0(QxxQyy(QxxQyy)4Qxy)E2
12
ˆ0(QxxQyy(QxxQyy)24Q2xy)F22
2Qxy
tg20
QxxQyy
2
(6-5-3)
2两个待定点。设用间接平差法平差该网。待定点坐标近似1和P例[6-5] 在某三角网中插入P
ˆ1ˆ1ˆ2、yˆ2(以分米为单位)。其法方程如下。试求P、y、x2点的点位误1和P值的改正数为x
2点间的相对误差椭圆元素。 1和P差椭圆元素以及P
ˆ1107.07yˆ1426.42xˆ2172.17yˆ294.230906.91x
ˆ1486.22yˆ1177.64xˆ2142.65yˆ241.400107.07x
ˆ1177.64yˆ1716.39xˆ260.25yˆ252.780426.42x
ˆˆˆˆ172.17x1142.65y160.25x2444.60y21.060
解:
经平差计算,得单位权中误差为
ˆ00.8
。令
Nbb
表示法方程式系数,则未知参数的协因数为
QXˆXˆNbb
1
0.0016
0.0002
0.0010
0.0005
0.00020.00240.00060.0008
0.00100.00060.00210.0003
0.0005
0.00080.0003
0.0027
1点的误差椭圆参数的计算。 (1) P
1点的误差椭圆参数 按照下式计算P
122
ˆ0(Qx1x1Qy1y1(Qx1x1Qy1y1)24Q2x1y1)E12 122
ˆ0(Qx1x1Qy1y1(Qx1x1Qy1y1)24Q2x1y1)F12 tg2E
2Qx1y1Qx1x1Qy1y1
将有关数据代入,可求得
E10.040dm,F10.032dm,E17645
2点的误差椭圆参数的计算。 (2) P
2点的误差椭圆参数 按照下式计算P
122
ˆ0(Qx2x2Qy2y2(Qx2x2Qy2y2)24Q2x2y2)E22122
ˆ0(Qx2x2Qy2y2(Qx2x2Qy2y2)24Q2x2y2)F22
tg2E
2Qx2y2Qx2x2Qy2y2
将有关数据代入,可求得
E20.042dm,F20.036dm,E26730
2点间相对误差椭圆参数的计算。 1和P (3)P
按(6-5-2)、 (6-5-3) 式,将有关数据代入,可求得
QxxQx1x1Qx2x22Qx1x20.00160.002120.00100.0017QyyQy1y1Qy2y2QxyQx1y1Qx2y2
2Qy1y20.00240.002720.00080.0035
Qx1y2Qx2y10.00020.00030.00050.00060.0006
2QxyQxxQyy
2(0.0006)
0.6667
0.00170.0035
tg20
则
tg203341或21341;01650或10650;Qxy0.00060,E
因为在第二、四象限,所以
E10650,F1650
。
E2
12
0.82(0.00170.0035(0.00170.0035)24(0.0006))0.002356212
F20.82(0.00170.0035(0.00170.0035)24(0.0006))0.000972
2
E0.049dm,F0.031dm
(4)误差椭圆的绘制
1、P1、2两点的点位误差椭圆元素以及相对误差椭圆的元素,即可绘出P根据以上算得的P
P1和P1、2两点的点位误差椭圆以及P2点间的相对误差椭圆,相对误差椭圆一般绘制在PP2两点连线的中间部分。如图6-13所示:
有了
P1、P2两点的相对误差椭圆,就可以用图解法量取所需要的任意方向上的位差大小。例如,
SP1P2
的中误差,则可作P1P2的垂线,并使垂线与相对误差椭圆相切,
1P2连线相垂直方向Of的垂足g,。同样,也可以量出与P
要确定P1、P2两点间的边长
则垂足e至中心O的长度Oe即为
ˆSPP12
1P2边的横向位差,进而可以求出P1P2边的方位角误差。 则Og就是P
在测量工作中,特别是在一些特殊测量工程中,如贯通工程、水利工程的大坝、精密施工放样工程中,最关心的是某一个方向的测量精度,因此在控制网设计阶段,往往利用误差椭圆对布网方案进行精度估计和分析,不断地对观测设计方案和网形进行改进,直至估算的结果符合工程建设对控制网所提出的精度要求;或者,设计多种不同的方案,考虑到各种因素,例如,建网的经费开支,施测工期的长短,布网的难易程度等等,在满足精度要求的前提下,从中选择最优的布网方案。