函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用
一、选择题
1.设f (x ) 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
A .f (x ) f (-x ) 是奇函数
B .f (x )|f (-x )|是奇函数
C .f (x ) -f (-x ) 是偶函数
D .f (x ) +f (-x ) 是偶函数
2.设函数f (x ) =ax 3+bx +c 的图象如图所示,则f (a ) +f (-
a )( )
A .大于0
C .小于0 B .等于0 D .以上结论都不对
3.已知函数f (x ) 在区间[-5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且f (3)<f (1),则( )
A .f (-1) <f (-3)
C .f (-1) <f (1) B .f (0)>f (-1) D .f (-3) >f (-5)
4.若h (x ) ,g (x ) 都是奇函数,f (x ) =ah (x ) +bg (x ) +2在(0,+∞) 上有最大值5,则f (x ) 在(-∞,0) 上有( )
A .最小值-5
C .最小值-1
二、填空题
5.函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且它是减函数,若实数a ,b 满足f (a ) +f (b ) >0,则a +b ________0(填“>”、“<”或“=”) .
16.设函数f (x )(x ∈R ) 为奇函数,f (1)=f (x +2) =f (x ) +f (2),则f (5)等于________. 2
7.(2011·安阳高一检测) 已知函数f (x ) =x +ax +bx -8,且f (-2) =10,那么f (2)=________.
8.已知f (x ) 是R 上的奇函数,当x ∈(0,+∞) 时,f (x ) =x 2+x -1,则f (x ) =________.
三、解答题
9.(2011·厦门高一检测) 设函数f (x ) 在R 上是偶函数,在区间(-∞,0) 上递增,且f (2a +a +1) <f (2a 2-2a +3) ,求a 的取值范围.
253 B .最大值-5 D .最大值-3
10.设函数f (x ) 对任意实数x ,y 都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,且x >0时,f (x ) <0,f (1)=-2.
(1)求证:f (x ) 是奇函数;
(2)求f (x ) 在[-3,3]上的最大值与最小值.
详解答案
1.选D 由函数奇、偶性的定义知D 项正确.
2.选B 由图象可知,函数f (x ) 为奇函数,故f (a ) +f (-a ) =0.
3.选A 函数f (x ) 在区间[0,5]上是单调函数,又3>1,且f (3)<f (1),故此函数在区间[0,5]上是减函数.
由已知条件及奇函数性质知函数f (x ) 在区间[-5,5]上是减函数.在选项A 中,-3<-1,故f (-3) >f (-1) ,选项A 正确.在选项B 中,0>-1,故f (0)<f (-1) ,选项B 错.同理选项C 、D 也错.
4.选C h (x ) 、g (x ) 都是奇函数,∴f (x ) -2=ah (x ) +bg (x ) 为奇函数.又f (x ) 有最大值5, ∴f (x ) -2在(0,+∞) 上有最大值3.
∴f (x ) -2在(-∞,0) 上有最小值-3,
∴f (x ) 在(-∞,0) 上有最小值-1.
5.解析:∵f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且为减函数
由f (a ) +f (b ) >0,得f (a ) >-f (b ) ,
即f (a ) >f (-b ) ∴a <-b
∴a +b <0.
答案:<
6.解析:令x =-1,,则f (1)=f (-1) +f (2),
得f (2)=1,
5∴f (5)=f (3)+f (2)=f (1)+2f (2)2
5答案:2
7.解析:∵f (2)+f (-2) =-16
又f (-2) =10,∴f (2)=-26.
答案:-26
8.解析:当x ∈(-∞,0) 时,-x ∈(0,+∞)
则f (-x ) =(-x ) 2-x -1=x 2-x -1
∵f (-x ) =-f (x ) ∴f (x ) =-x 2+x +1
当x =0时f (x ) =0
⎧x +x -1 (x >0)⎪∴f (x ) =⎨0 (x =0)
2⎪⎩-x +x +1 (x <0)
⎧x +x -1 (x >0)⎪答案:⎨0 (x =0)
2⎪⎩-x +x +1 (x <0)
9.解:由f (x ) 在R 上是偶函数,在区间(-∞,0) 上递增, 可知f (x ) 在(0,+∞) 上递减.
17∵2a 2+a +1=2(a 2+0, 48
152a 2-2a +3=2(a ) 2+0, 22
且f (2a 2+a +1) <f (2a 2-2a +3) ,
∴2a 2+a +1>2a 2-2a +3,
2即3a -2>0,解得a . 3
10.解:(1)证明:令x =y =0,
得f (0)+f (0)=f (0),∴f (0)=0. 又令y =-x ,
得f (0)=f (x ) +f (-x ) =0,
∴f (-x ) =-f (x ) ,∴f (x ) 是奇函数.
(2)设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,
于是f (x 2) -f (x 1) =f (x 2) +f (-x 1)
=f (x 2-x 1) <0,
∴f (x 1) >f (x 2) ,∴f (x ) 在R 上是减函数,
∴f (x ) 的最大值为f (-3) =-f (3)=-3f (1)=6,
最小值为f (3)=-f (-3) =-6. 22