数学模型在金融市场中的应用数学专业毕业论文

学长论文，留存参考

毕 业 论 文

题目： 数学模型在

金融市场中的应用

1

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明

原创性声明

本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。

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使用授权说明

本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。

作者签名： 日 期：

河南城建学院

毕业论文 任 务 书

题 目

数学模型在金融市场中的应用

系 别 班 级 学生姓名 发放日期

数理系 1714081 杨永光

专 业 学 号 指导教师 2012年2月20日

数学与应用数学

171408156

胡素敏

河南城建学院本科毕业论文任务书

一、 主要任务与目标：

主要任务：本文主要是研究金融市场的发展过程、数学模型如何应用到金融市

场中、及数学模型在金融市场中的运用情况及发展方向。

主要目标：

1. 收集相关金融市场资料，了解金融市场运营模式。探讨数学模型是怎样结合到金融市场中的。

2. 对金融数学模型进行系统学习，研究几种重要数学模型在金融市场中的应用方式。

3. 分析几个重要数学模型在金融市场中应用的典型案例。应用数学模型进行实际操作。

4. 探讨数学模型在金融市场中应用的发展前景。

注：任务书必须由指导教师和学生互相交流后，由指导老师下达并交教研室主任审核后发给学生，最后同学生毕业论文等其它材料一起存档。

毕业论文成绩评定

答辩小组评定意见

一、评语（根据学生答辩情况及其论文质量综合评定）。

二、评分（按下表要求评定）

答辩小组成员签字

年 月 日

毕业答辩说明

1、答辩前，答辩小组成员应详细审阅每个答辩学生的毕业设计（论文），为答辩做好准备，并根据毕业设计（论文）质量标准给出实际得分。 2、严肃认真组织答辩，公平、公正地给出答辩成绩。

3、指导教师应参加所指导学生的答辩，但在评定其成绩时宜回避。 4、答辩中要有专人作好答辩记录。

指导教师评定意见

一、对毕业论文的学术评语（应具体、准确、实事求是）：

签字： 年 月 日

二、对毕业论文评分[按下表要求综合评定]。

（1）理工科评分表

（2）文科评分表

指导教师签字： 年 月

河南城建学院本科毕业论文 摘要

摘 要

数学模型，即数学公式。它能把现实中许多现象和结论浓缩在简洁的符号之中。利用数学方法解决实际问题，首先要把实际事物之间的联系抽象为数学形式，这就是建立数学模型。

在现代金融市场中，对所研究的对象进行量化，建立适当的数学模型，进而应用现代数学理论知识研究金融资产及其衍生资产定价、复杂投资技术与公司的金融政策，已经成为现代金融分析的主要发展趋势。

数学模型对于金融市场中的交易者有着非常重要的作用, 数学模型应用于金融市场研究的重大突破是证券组合投资模型和金融衍生工具定价模型的出现, 资本资产定价模型是由此发展起来的具有重大应用价值的金融数学模型。这些模型的发展和应用仍是当今金融领域的研究热点问题。

本文先系统地介绍金融市场的发展及数学模型应用于金融市场的历史背景。从基础性的简单数学模型单利和复利模型着手，概括性地介绍一些模型和利用它们分析各种金融产品（证券、期权）的价格，探讨投资最优化理论，从理论上引导市场化解、防范金融风险。最后对一些最新金融理论做简单介绍，展望金融数学模型的发展前景。

关键词：金融数学模型，证券组合，资产定价，金融衍生工具定价，金融风险

I

Abstract

Mathematical model, also called mathematical formula ，can turn many phenomena and conclusions concentrated on concise symbols. Using mathematical methods to solve the actual problem, first of all you need to abstract the actual connections between things into a mathematical form, which is the establishment of mathematical model.

In the modern financial markets, the research object is quantified, the establishment of an appropriate mathematical model, and then the application of modern mathematics theory on financial assets and derivative pricing, complex investment technology and the company's financial policies, has become the main development trend of modern financial analysis.

Mathematical model for financial market traders have a very important function, the major breakthrough of Mathematics model application in the financial market research is the appear of securities portfolio investment model and financial derivatives pricing model, the emergence of the capital asset pricing model is developed which has important application value of financial mathematics model. Development and application of these models is a hot issue in the field of modern financial.

This paper firstly introduces the development of financial market and the historical background of the application of mathematical model in the financial market. From the foundation of simple mathematical models of simple interest and compound interest model to proceed, briefly introduce some models and use them to analyze various financial products (securities, options) price, discusses investment optimization theory, from the theory to guide the market to resolve, to guard against financial risks. At the end do a brief introduction of some the latest financial theory, prospect the development foreground of financial mathematic model.

Key words: financial mathematics model, portfolio, asset pricing, financial derivatives pricing, financial risk

II

目录

摘 要.............................................................................................................................. I Abstract ......................................................................................................................... II

1数学模型与金融市场................................................................................................. 1

2金融市场中应用的几个重要数学模型..................................................................... 2

2.1金融领域中最基础的模型............................................................................... 2

2.1.1单利与复利............................................................................................. 2

2.1.2名义利率与实际利率............................................................................. 3

2.1.3现值理论................................................................................................. 3

2.1.4证券价格的评估模型............................................................................. 4

2.1.5债券价格的评估模型............................................................................. 6

2.2证券投资组合模型........................................................................................... 7

2.2.1期望方差模型......................................................................................... 7

2.2.2一些其它证券组合选择模型................................................................. 9

2.3资产定价模型................................................................................................. 11

2.3.1资本资产定价模型(CAPM)................................................................. 11

2.3.2套利定价模型(APT) ............................................................................ 12

2.4期权定价模型................................................................................................. 13

2.4.1Black —Scholes 模型 . ............................................................................ 13

2.4.2期权价值的二叉树模型....................................................................... 15

2.5对冲................................................................................................................. 17

3金融数学研究的最新进展....................................................................................... 19

3. 1随机最优控制理论........................................................................................ 19

3. 2鞍理论............................................................................................................ 19

3. 3微分对策理论................................................................................................ 19

3. 4最优停时理论................................................................................................ 20

3. 5智能优化........................................................................................................ 20

4金融数学研究面临的问题与前景........................................................................... 21

4. 1美式期权问题................................................................................................ 21

4. 2利率的期限结构问题.................................................................................... 21

4. 3市场价格波动问题........................................................................................ 21

4. 4突发事件问题................................................................................................ 21

5结束语....................................................................................................................... 23

参考文献...................................................................................................................... 24

致 谢............................................................................................................................ 25

1数学模型与金融市场

数学模型在金融市场中具有重要作用，金融数学作为一门边缘学科，应用大量的数学理论和方法研究，解决金融中一些重大理论问题，实际应用问题和一些金融创新的定价问题等，由于金融问题的复杂性，所用到的数学知识，除基础知识外，大量的运用现代数学理论和方法(有的运用现有的数学方法也解决不了) 。

金融数学模型的最初出现可以追溯到1900年Louis Bachelier（路易·巴舍利耶）的投机理论, 这一理论的出现标志着连续时间的随机过程和连续时间的期权定价理论的诞生。然而, 在其后的半个世纪中, 尽管Macaulay （麦考利）于1938年建立了对债券交易市场上的发行者和投机商非常有用的债券价格对利率的敏感性分析模型等，但这些模型在实际中并没有得到很好的重视，五十年代末和六十年代初，投资分析和资本市场的金融数学建模有了大的突破, 开始了现代金融理论研究的新纪元。Markowitz （马柯维茨ci ）于1959年提出的期望方差模型是这一时期最有代表性及影响力的工作。因而理论界称之为二十世纪发生在华尔街的第一次金融革命，这一模型的提出吸引了一大批的数学家和经济学家开展这一领域的研究，从而使得这一模型得到了不断的完善，伴随地出现了一些新的证券组合选择模型。

金融理论的另一次革命性的成果是Black 和Scholes 于1973年提出了基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足一组微分方程。之后，金融衍生工具的定价理论不断出现新的成果，并在九十年代形成了一门崭新的金融学科——金融工程。

随着国际金融业的不断发展，数学在金融市场中的应用也越来越广泛。人们越来越深刻地认识到数学模型的研究已经成为金融学研究中的关键技术。数学模型正在不断推动着金融实践的发展。因此，数学模型在金融市场中具有广泛的应用前景。

2金融市场中应用的几个重要数学模型

2.1金融领域中最基础的模型

2.1.1单利与复利

利息是资金的时间价值的一种表现形式百分比，，是使用资金应付出的代价。利率是利息所占本金的百分比，即：

利率=利息⨯100% 本金

商业银行的利率分存款利率与贷款利率。存款利率高，对投资者有利，但是银行因为负债成本高，为了获利，它必须以更高的贷款利率贷出。而企业可能因为利息太高借不起钱，银行获利机会相应减少。因此，过高的银行利率不利于经济的发展。利率是宏观控制信贷的重要手段，中央银行的放款利率若增加（或减少）一个百分点，都会对社会发展产生重大影响。

计算利息的方式有两种：单利与复利。

（1）单利仅按本金计算利息，利息本身不再支付利息的计算方式。一般地，设本金为p ，年利率为r ，n 年后的本利和A 为：p ⋅(1+n ⋅r ) 。即单利模型：A = p ⋅(1+n ⋅r )

单利计算方便，但不能反应资金周转的规律与扩大再生产的现实。在国外很少使用，一般仅用来与复利进行对比。

（2）复利：即本金要逐年计息，利息也要逐年生息。它具有重复计利的效应，因此俗称“利滚利”。复利是现值理论中一个非常重要的概念。假定本金为p ，利率为r ，计算n 年后的本利和F 。

即复利公式：F=p⋅(1+r)n

连续复利公式：假定本金为p ，年利率为r ，每满1/m年计息一次，按复利计算，求n 年后的本利和。

分析：一年计m 次利息，n 年共计息mn 次，年息为r ，则每次计息为r/m，

r mn p 1+）按基本复利公式，n 年后的本利和为：（ m

又假定m 无限增大，即在也越来越短的时间内将利息计入本金，其极限情况意味着随时将利息计入本金里。则满n 年后的本利和为：

r m n n r （p 1+）=p e p n =l i m m →∞m

1n （1+）以上计算利用了极限基本公式：lim =1 n →∞n

2.1.2名义利率与实际利率

贷款不仅可以具有固定的年利率，也可以在一年中具有月利率，按月进行复利计算，这样一年就要进行几次复利计算，这种投资过程称为具有复利频率的投资。

特别指出，对于具有复利频率的贷款活动或投资活动，有两种年利率，即名义利率和实际年利率。一般来说，若求复利的频率m 以及名义年利率r 为已知，则实际年利率i 由下式决定：

r (1+) m =1+i m

故

r ) - 1 i =(1m

m

上式说明名义利率与实际利率之间的关系。一般实际年利率大于名义年利率。

2.1.3现值理论

现值理论讨论的是资金的现在价值，终值及折现，它是价格理论的基础。设p 表示本金（现值），利率为r ，n 年后的本利和（终值）记为F 。有复利公式F=p⋅(1+r)n 可得：p =F 1，本公式即为现值公式。其中F 表示终值，称(1+r)n (1+r)n 为折现系数，记为(P /F , r , n ) 。现值公式可记为p =F (P /F , r , n ) 。

市场经济时代，银行为了搞活业务，企业为了促进产品推销，纷纷推出各种各样的银行按揭。如商品房银行按揭，购车银行按揭等，他们的共同特点是：以客户的信誉作担保，或以一定的资产作抵押，先在银行贷款，然后在分期等额偿还。银行为了方便客户查询，一般制成一张按揭表，客户可以查表计算，选择按揭期限与方式。

银行按揭可归结为数学问题:贷款P 元，年利率为r ，分n 期等额偿还，每期应偿还多少？

考虑资金的时间价值，不能简单地平均处理。应该考虑偿还数值的折现。一般以一个月为一期，月末偿还，年息为r ，月息为i=r/12，设每期偿还A 元，则n 期还款折现为现在价值的总和应等于贷款总额（不考虑手续费及中间交易税等项）。

有现值公式可知：

A 第一期还款A 的折现值为 1+i

第二期还款A 的折现值为A 2(1+i)

第n 期还款A 的折现值为A n (1+i)

所以 p =A 1n A A A =[1-() ] ++ +i 1+i1+i(1+i)2(1+i)n

故 A =p ⋅i -n 1-(1+i)

上述公式即银行按揭的数学模型，又称资金还原公式（已知P 求A ）。i

) 1+(i 1--n 称为资金还原系数，常用(A /P , r , n ) 表示，可查复利表计算。

2.1.4证券价格的评估模型

投资可以获利。人们之所以愿意购买证券是因为它能够带来预期收入（差价与利息）。证券一般常指股票、债券等有价证券。证券价格受多种因素的影响，如政治、经济、心理等，但决定因素是股息（债息）及银行利率。而证券价格也有多种形式，大体可分为：理论价格与市场价格。理论价格，又称内在价值。在理性市场中，市场价格总是围绕内在价值上下波动。

人们持有股票，是为了从中获取收益。从理论上说，股票的价格可以看作是股票投资者对未来各期每股预期收益的现值之和，是一种适当利率的贴现。

设第t 期每股预期股息收入为D t ，贴现率为r （或股东要求的实际收益率），n 期后股票的理论价格记为W ，则： W =D n D 1D 2++ + 2n 1+r(1+r)(1+r)

设时刻t-1的股利为D t -1，t 时刻的股利为D t ，从t-1到t 时间内，股利增长∆D =D t -D t -1，股利增长率g t 为：g t =

（1）零增长模型 D t -D t -1 D t -1

假定未来各期预期股息不增长，及各期固定为D ，或D =D 1=D 2 =D n -1 =D n 则：W =D 1n D D D W =[1-() ]++ ++ 。前n 项的和为： n 2n r 1+r1+r(1+r)(1+r)

D r 当投资者持有期很长时，即n →∞，有W =

上述公式即零增长模型。

当贴现率r 为银行利率时，上述公式变为：股票价格=股息 银行利率

上述公式具有非常重要的意义：它表明股价与股息成正比，与银行利息成反比。它反应降息促使股价上扬这种现象。

（2）固定增长模型

假设股利以恒定的增长率g 增长，设第一年股利为D ，则第二年股利为D(1+g)，第三年股利为D (1+g )

股票的价格W 则为各期股利的折现之和，即： 2

D D (1+g ) W =++ +21+r (1+r )

=D 1+g n [1-) +] r -g 1+r -1D (+1n g ) + n (1+r )

（若g>r,当n →∞，W →∞。这不大可能。）在永久持有股票且g

D D gD -=>0 r -g r r (r -g ) 将上式与零增长模型比较：∆W =

这就是前景看好、增长潜力较大的公司股票市价较高的理论依据。∆W 被被称为增长机会现值（Present Valule of Growth Oportunities，PVGO ），根据PVGO

⎧>0⎪的值可将股票分为三种： PVGO ⎨=0

⎪0稳定型股票，g =0 负增型股票，g

可见，股利恒定增长评估模型也适用股利恒定减少的情况，此时g

（3）三阶段模型

股利长期不变，或永久以固定增长模型都是不现实的。任何公司的发展都是阶段性的，很多公司在起步阶段发展快，经过一段时间调整，才进入稳定的发展阶段。为此，我们设想股利变化经过三个阶段。这种模型也许更接近现实。

第一阶段：股利以固定比率g 0增长，持续k 年；

第二阶段：从k+1到n 年，经历一个转换时期，在这一时期，股利增长率以直线形状变化；

第三阶段：进入持续稳定状态，股利以新的比率g n 恒定增长。

如下图1.1

图1.1

第二阶段中的增长率有直线方程决定：g t =g 0-(g 0-g n ) t -k 当t=n时，正n -k

是过渡时期的末尾。由直线方程可知，给定g 0，k ，n ，g n 和最近一年的股利D 0，就可以计算出任何将来时间的股利，然后在给定一个合适的折现率，可以计算出预期股利的现在价值。

其股票价格可由下式估计得到：

n 1+g 0t D (1+g t ) D n +1 W =D 0∑() +∑t -1+t n 1+r(1+r)(1+r)(r -g ) t =1t =k +1n k

其中D 0为最近一年的股利，D n +1=D n (1+g n ) 为第n+1年的股利。三阶段折扣模型的最后一部分，实际上是固定增长模型，即前两阶段退化（n=0）时，三阶段模型变为固定增长模型。

三阶段模型计算比较麻烦。且无法利用模型直接求折现率，为此，有人已提出了改进模型如H 模型，P/E模型等，限于篇幅，其他情况略。

2.1.5债券价格的评估模型

债券价格的评估与股票相似，也以其收益作为该种债券的评估价。债券价格的评估根据付息方式不同有两种情况。

（1）每年支付利息到期还本的债券

记PV 为债券价格，C 为年利息收入，D 为债券面值，n 为债券尚存的偿还期，r i 为各年的贴现率。则：

PV =C C C D ++ ++ (1+r 1) (1+r 2) 2(1+r n ) n (1+r n ) n

= C D +∑i n (1+r n ) i =1(1+r i ) n

若将各年的贴现率近似地用一个平均的贴现率r 代替，则上式可简化为：

C D 1-(1+r ) -n D PV = ∑ +=C +i n n (1+r n ) r (1+r n ) i =1(1+r i ) n

（2）到期一次还本付息的债券

这类债券的评估模型比较简单，如下式所示：

PV = nC +D n (1+r n )

由于债券的面值、期限、发行利率在发行时已经确定，债券价格的高低完全由贴现率决定。如果银行利率上调，贴现率增大，债券的价格就会下跌，甚至跌破面值；相反，贴现率下降，债券价格上升。

2.2证券投资组合模型

证券组合理论是研究怎样在未来不确定的竞争中如何选择分配资源(如股票、债券) 的理论。证券组合问题在许多的决策领域都存在，金融市场上的投资者当然要决定股票和债券及其衍生工具的组合。现代投资组合理论是由美国经济学家马柯威茨提出的。投资组合理论认为投资组合是一个各种资产的集合，组合中的每项资产都有和其相联系的平均收益和收益方差。下面分别介绍资产组合的收益和收益方差的数学模型。

2.2.1期望方差模型

为了分散投资风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用证券组合投资方式，把一笔资金同时投资于若干种不同的证券。投资者最关心的问题有两个，一是预期收益率的高低，二是预期风险的大小。Markowitz 建立的这一模型中，预期收益率是证券组合的收益率的期望值，预期风险指证券投资组合收益率的方差。 在多元证券组合投资条件下，从理论上讲，给定了预期收益率，能有无穷多种证券组合可以实现该预期收益；同样地，给定了预期风险，也可能有无穷多种证券组合可以实现该预期风险。如果以预期收益率为R p 纵坐标，预期风险σ2为横坐标，则任一可行的证券组合唯一地确定平R p -σ2面上的一个点，所有可行的证劵组合就组成了可行集。

Markowitz 假定投资者厌恶风险，理性的投资者总是希望在已知风险的条件下获得最大的期望收益。而在已知期望收益的条件下投资风险达到最小。具有这种性质的证券组合称为有效证券组合，其在R p -σ2平面上确定一要弧线，被称为有效边界。

证券能否卖空和投资者是否可以以无风险利率借贷是证券组合选择中的两个重要问题，证券的卖空(Short Sale)是指投资者无证券而可以预先卖出，相当于

发行证券的情况，数学上表示为x i ≤0。若无风险借贷相对于投资者而言，则贷(Lending)相当于投资于无风险的国库券或进行储蓄；借(Borrowing)是从银行贷款，然后投资于风险证券组合。

令n 表示证券的数目，x i 表示投资在证券组合P 中证券i 的相对投资量，∑x i

i =1n

=1，x =(x 1, , x n ) ；r i 表示第i 种证券的实际收益率，期望收益率, r =r 1, , r n ，t ()t r i =E (r i )，r =(r 1, , r n )；R F 表示无风险借贷利率, ∑表示收益率r 的方差——

协方差矩阵，则证券组合P 的期望收益率为R p =E (r t x )=r t x ；证券组合P 的方差为σ2p =E (r t x -r t x ) 2=x t ∑x。

若考虑卖空和无风险借贷，则可以得到如下四种不同的证券组合模型:

（1）允许卖空和无风险借贷。这种情况下的最优证券组合可通过求解如下的规划问题来确定: t

Max θ=R p -R F

σp s ⋅t ⋅∑x i =1 这一模型可以转化为一线性规划模型。 i =1n

（2）允许卖空，但不允许无风险利率借贷。在这种情况下，不同的无风险利率R F 对应不同的最优证券组合。把R F 作为未知变量可以得到与上面类似的模型。

（3）不允许卖空，但允许无风险的借贷。这种情况下的最优证券组合可由求解如下的二次规划来确定:

Max θ=R p -R F

σp s ⋅t ⋅∑x i =1 x i ≥0 i =1n

（4）既不允许卖空也不允许无风险借贷。这种情况下的最优证券组合可通过求解如下的二次规划来确定:

Minx t ∑x 或 Maxr t x

⋅x s ⋅t ⋅r x=R0 s ⋅t （

n

i t t ∑x ）≤γ i 12∑x =1 ∑x =1

i =1i =1n

x i ≥0 x i ≥0

以上四个模型都是在证券的预期收益率和方差——协方差矩阵已知的情况下进行求解的。而这些数据的获得共需要(n 2+3n +2) /2个估计量。显然当n 很大