行程问题之间隔发车

由李老师收集整理而成、

行程问题之间隔发车问题

2、小明放学回家, 他沿一路电车的路线步行, 他发现每搁六分钟，有一辆一路电车迎

面开来，每搁12分钟，有一辆一路电车从背后开来，已知每辆一路电车速度相同，从终点站与起点站的发车间隔时间也相同，那么一路电车每多少分钟发车一辆？ 同向时

电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程=发车间隔时间*车速

反向时

电车6分钟走的路程+小明6分钟走的路程=发车间隔时间*车速

则:电车6分钟走的路程=小明18分钟走的路程

小明12分钟走的路程=电车4分钟走的路程

电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程

电车12分钟走的路程-电车4分钟走的路

=电车8分钟走的路程

=发车间隔时间*车速

所以, 发车间隔时间为8分钟

3、一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 分析： 要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？

由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。 对于骑车人可作同样的分析. 因此，如果我们把汽车的速度记作V 汽，骑车人的速度为V 自，步行人的速度为V 人（单位都是米/分钟），则：

间隔距离=（V 汽-V 人）×6（米），

间隔距离=（V 汽-V 自）×10（米），

V 自=3V人。

综合上面的三个式子，可得：V 汽=6V人，即V 人=1/6V汽，则：

间隔距离=（V 汽-1/6V汽）×6=5V汽（米）

所以，汽车的发车时间间隔就等于：

间隔距离÷V 汽=5V汽（米）÷V 汽（米/分钟）=5（分钟）。

小峰沿公交车的路线从终点站往起点站走，他出发时恰好有一辆公交车到达终点，在路上，他又遇到了14辆迎面开来的公交车，并于1小时18分后到达起点站，这时候恰好又有一辆公交车从起点开出。已知起点站与终点站相距6000米，公交车的速度为500米/分钟，且每两辆车之间的发车间隔是一定的。求这个发车间隔是几分钟?

解析：

发车间隔为6分钟。

6000÷500=12(分).

(78+12)=90(分).

90÷(16-1)=6(分).

公交车走完全程的时间为6000÷500=12(分) 。

小峰前后一共看见了16辆车，并且第16辆车是他走了1小时18分

即78分钟后在起点站遇上的。

如果我们让小峰站在终点站不动，

他可以在(78+12)=90(分钟) 后看见第16辆车恰好到达终点。

第1辆车和第16辆车中间有(16-1)=15(个) 发车间隔，

所以一个发车间隔为90÷15=6(分).

列车每天18：00由上海站出发，驶往乌鲁木齐，经过50小时到达，每天10：00从乌鲁木齐站有一列火车返回上海，所用时间也为50小时，为保证在上海与乌鲁木齐乘车区间内每天各有一辆火车发往对方站，至少需要准备这种列车多少列？在原题的前提下，正常运行后，每天18：00从上海站开往乌鲁木齐的火车在途中，将会遇到几趟回程车从对面开来？在车速不变的前提下，为了实现有五列车完成这一区段的营运任务，每天两站互发车辆时间间隔至少需要相差多长时间？（假定乘客上下车及火车检修时间为一小时）

解：（1）设上海到乌鲁木齐的车第一天晚18：00出发，到乌鲁木齐为第三天晚20：00，

该车可于第四日早10：00从乌鲁木齐出发，于第六日中午12：00到上海，当日晚18：00可出发往乌鲁木齐。

因此，第六日开始重复是同一辆车，所以至少需要5辆列车。

（2）正常运行后，每天都会有一趟车从乌鲁木齐出发开往上海，在18：00从上海站开往乌鲁木齐的火车到达乌鲁木齐这段时间，

从乌鲁木齐出发的车它都会遇到，共是2辆。

（3）在车速不变的前提下，为了实现有五列车完成这一区段的营运任务，则第一日从乌鲁木齐发出的车需在第六日再从同一个站开出，

设每天上海发车时间比乌鲁木齐晚x(x〉2，

若x

列方程如下： 24*5-1-(48+(24-x)+50)>0

解得：x>3

为便于叙述，现将“发车问题”进行一般化处理：某人以匀速行走在一条公交车线路上，线路的起点站和终点站均每隔相等的时间发一次车。他发现从背后每隔a 分钟驶过一辆公交车，而从迎面每隔b 分钟就有一辆公交车驶来。问：公交车站每隔多少时间发一辆车？（假如公交车的速度不变，而且中间站停车的时间也忽略不计。）

一、把“发车问题”化归为“和差问题”

因为车站每隔相等的时间发一次车，所以同向的、前后的两辆公交车间的距离相等。这个相等的距离也是公交车在发车间隔时间内行驶的路程。我们把这个相等的距离假设为“1”。

根据“同向追及”，我们知道：公交车与行人a 分钟所走的路程差是1，即公交车比行人每分钟多走1/a，1/a就是公交车与行人的速度差。

根据“相向相遇”，我们知道：公交车与行人b 分钟所走的路程和是1，即公交车与行人每分钟一共走1/b，1/b就是公交车和行人的速度和。

这样，我们把“发车问题”化归成了“和差问题”。根据“和差问题”的解法：大数=（和+差）÷2，小数=（和-差）÷2，可以很容易地求出公交车的速度是（1/a+1/b）÷2。又因为公交车在这个“间隔相等的时间”内行驶的路程是1，所以再用“路程÷速度=时间”，我们可以求出问题的答案，即公交车站发车的间隔时间是1÷【（1/a+1/b）÷2】=2÷（1/a+1/b）。

二、把“发车问题”优化为“往返问题”

如果这个行人在起点站停留m 分钟，恰好发现车站发n 辆车，那么我们就可以求出车站发车的间隔时间是m÷n 分钟。但是，如果行人在这段时间内做个“往返运动”也未尝不可，那么他的“往返”决不会影响答案的准确性。

因为从起点站走到终点站，行人用的时间不一定被a 和b 都整除，所以他见到的公交车辆数也不一定是整数。故此，我们不让他从起点站走到终点站再返回。那么让他走到哪再立即返回呢？或者说让他走多长时间再立即返回呢？

取a 和b 的公倍数（如果是具体的数据，最好取最小公倍数），我们这里取ab 。假如刚刚有一辆公交车在起点站发出，我们让行人从起点站开始行走，先走ab 分钟，然后马上返回；这时恰好是从行人背后驶过第b 辆车。当行人再用ab 分钟回到起点站时，恰好又是从迎面驶来第a 辆车。也就是说行人返回起点站时第（a+b）辆公交车正好从车站开出，即起点站2ab 分钟开出了（a+b）辆公交车。

这样，就相当于在2ab 分钟的时间内，行人在起点站原地不动看见车站发出了（a+b）辆车。于是我们求出车站发车的间隔时间也是2ab÷（a+b）=2÷（1/a+1/b）。

这样的往返假设也许更符合“发车问题”的情景，更简明、更严谨，也更易于学生理解和接受。如果用具体的时间代入，则会更加形象，更便于说明问题。

三、请用上述两种方法，试一试，解答下面两题：

1、小红在环形公路上行走，每隔6分钟就可以看见一辆公共汽车迎面开来，每隔9分钟就有一辆公共汽车从背后超过她。如果小红步行的速度和公共汽车的速度各自都保持一定，而汽车站每隔相等的时间向相反的方向各发一辆公共汽车，那么汽车站发车的间隔时间是多少？

2、小明从东城到西城去，一共用了24分钟。两城之间同时并且每隔相等的时间对发一辆公共汽车。他出发时恰好有一辆公共汽车从东城发出，之后他每隔4分钟看见一辆公共汽车迎面开来，每隔6分钟有一辆公共汽车从背后超过。问小明从东城出发与到达西城这段时间内，一共有多少辆公共汽车从东城发出？

四、下面三题也是发车问题，试一试，揭示问题实质。

3、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82千米，每隔10分钟遇上一辆迎面而来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。电车总站每隔__分钟开出一辆电车。

[题说] 1997年小学数学奥林匹克决赛A 卷第12题

答案：11（分钟）

4、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站。全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？

[题说] 第一届“华杯赛”初赛第16题

答案：40（分钟）

5、一条双向铁路上有11个车站。相邻两站都相距7公里。从早晨7点开始，有18列货车由第十一站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时60公里。早晨8点，由第一站发出一列客车，向第十一站驶去，时速是100公里，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站，问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？

[题说] 第三届“华杯赛”决赛二试第6题

答案：在第5个站与第6个站之间，客车与三列货车相遇。

从几个不变来找方法，比如人步行的速度不变．比如车的速度和发车时间间隔不变等等．就会比较容易找到已

知数量与问题之间的关系．从而找到解题方法。

甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使这两班学生在最短的时间内到达，求甲班学生与乙班学生步行的距离之比

设：甲班步行时间为T1，乘车时间为T2。通过题目可以看出甲班步行时间＝乙班乘车时间，甲班乘车时间＝乙班步行时间。又根据距离相同可以得出：

T1*4+T2*48＝T2*3+T1*48

则T1：T2＝45：44

步行距离比为：T1*4：T2*3＝15：11

甲班步行时间＝乙班乘车时间，这个结论是错误的！！！ 因为汽车有空载之时间！！！

设甲班步行了x km，乙班步行了y km，从学校到公园的距离为z km。

当两班同时到达时最快到达，即两班用时相同：

x/4+(z-x)/48=y/3+(z-y)/48；

化简得：15y=11x

即x ：y=15：11。

***********************************************************************************************************************************

总时间相等

乙步行的时间-车行的时间=甲步行的时间-车行的时间

（时间差相等）

速度比：甲：车=4：48=1：12

乙：车=3：48=1：16

（时间差相等）

时间比：甲：车=12：1=180：15

乙：车=16：1=176：11

路程比：甲：车=15：180

乙：车=11：176

甲班学生与乙班学生步行的距离之比：15：11.

速度比：甲：车=4:48

速度比：乙：车=3:48

甲：车=4：（48-4）÷2=4:22=2:11

乙：车=3：（48-3）÷2=3:22.5=2:15

甲班学生与乙班学生步行的距离之比：15：11.

甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的

速度是每小时48

千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使这两班学生在最短的时间内到达，那么，甲班学生与乙班学生需要步行的

距离之比是? 2008-3-12 19:54:00

井低洼集结号

答：15：11

解：1

算术 4：48=1；12

1：（12-1）\2=1：5.5=2：11=30：165

3：48=1：16 1：（16-1）\2=1：7.5=2：15=22：165

30：22=15：11

2. 列方程解的，设了参数。

2008-3-14 1:30:00

喜气临门

甲班行路程的48

÷4－1＝11倍和乙班行的路程的48÷3

－1＝15倍相等。

所以，甲班和乙班步行的路程比是15：11

2008-3-16 3:07:00

井低洼集结号

甲班行路程的48

÷4－1＝11倍和乙班行的路程的48÷3

－1＝15倍相等。

所以，甲班和乙班步行的路程比是15：11

简洁，清晰，易懂。好方法。

2008-3-16 14:28:00

平行四边形

甲班行路程的48÷4－1＝11倍和乙班行的路程的48÷3－1＝15倍相等。

所以，甲班和乙班步行的路程比是15：11