矢量分析与场论
第一章矢量分析与场论课题:矢性函数 章节:补充 课时:2上课时间:2005-2-21 下午 6、7,2005-2-24 上午 3、4 上课班级:通信 02 本两个教学班 重点:矢性函数的微积分 要求:熟悉矢性函数微积分的性质及运算法则 引言: 1、 课程的性质、目的与任务 本课程为必修的专业基础课,主要研究电磁场与电磁波的基本属性、描述方法、运动规律、 与物质的相互作用及其应用。要求学生通过本门课程的学习,能够系统地掌握电磁场与电磁波的 基本概念,基本性质,基本规律以及求解电磁场问题的基本方法,同时能为学生进行科学研究和 实际工作提供适用的理论基础和解决实际问题的方法。 2、 本课程教学重点 1) 以电磁学内容为基础,以麦克斯韦电磁场理论为主线,介绍时变电磁场,平面电磁波; 2) 传输线理论; 3) 微波传输线。 3、 参考书 《电磁场与微波技术》 《微波技术基础》 马冰然编 廖承恩编 华南理工大学出版社 西安电子科技大学出版社 自编 2005 年 1 月 1999 年 9 月 2000 年 1 月 教室:3517 难点:矢性函数的几何意义《电磁场与电磁波学习指导与习题详解》 内容: 一. 矢性函数的概念在矢量代数中,曾研究过模和方向都保持不变的矢量—常矢。如某物体所受的重力。而实际 问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量—变矢。如沿一曲线 l 运动的质点 M 的速度矢量 v 。1
§1.4矢量场的通量及散度如果变矢是随着某一数性变量按某一规律变化的,则称之为该数性变量的矢性函数。 [定义] 设 t 是一数性变量, A 为变矢如果对于某一区间 G[a,b]内的每一个数值 t, A 都以一个确 定的矢量 A (t)与之对应,则称 A 为数性变量 t 的矢性函数。记为A = A (t)而 G 为 A 的定义域(1.1-1)分别为 Ax(t),Ay(t),Az(t)。 矢性函数 A (t)在直角坐标系中的三个坐标(或投影)都是变量 t 的函数, 则矢性函数也可用其坐标表示为:A = Ax (t )i + Ay (t ) j + Az (t )k其中 i , j , k 分别为 x, y, z 轴正向单位矢。 二.矢性函数的极限和连续性 1、极限(1.1-2)若对于任意给定的正数ε,都存在一个正数δ, [定义] 设矢性函数 A (t)在 t0 的某个邻域内有定义, 使得当|t-t0|
第一章矢量分析与场论4° lim[ A(t ) B (t )] = lim A(t ) lim B (t )t →t0 t →t0 t →t 0(1.1-4d)5° lim[ A(t ) × B (t )] = lim A(t ) × lim B (t )t →t0 t →t 0 t →t 0(1.1-4e)设矢性函数 A = Ax (t )i + Ay (t ) j + Az (t ) k ,则由 1°、2°、3°得t →t0lim A(t ) = lim Ax (t )i + lim Ay (t ) j + lim Az (t )kt →t0 t →t0 t →t0(1.1-5)2、连续性 [定义] 设 A(t ) 在 t0 的某个邻域内有定义,且t →t0lim A(t ) = A(t 0 )(1.1-6)则称 A (t)在 t0 处连续。 ]定理] 矢性函数 A(t ) 在 t0 处连续的充要条件是其三个坐标函数均在 t0 处连续。 证明:充分性:若 Ax (t ) , Ay (t ) , Az (t ) 均在 t0 处连续,则有t →t0lim Ax (t ) = Ax (t 0 ), lim A y (t ) = Ay (t 0 ), lim Az (t ) = Az (t 0 )t →t0 t →t0则 lim A(t ) = lim Ax (t )i + lim Ay (t ) j + lim Az (t ) kt →t0 t →t0 t →t0 t →t0= Ax (t 0 )i + A y (t 0 ) j + Az (t 0 )k = A(t 0 )必要性:若 lim A(t ) = A(t 0 )t →t 0左= lim Ax (t )i + lim A y (t ) j + lim Az (t ) kt →t 0 t →t 0 t →t 0右= Ax (t 0 )i + Ay (t 0 ) j + Az (t 0 ) k ∴ lim Ax (t ) = Ax (t 0 ), lim A y (t ) = Ay (t 0 ), lim Az (t ) = Az (t 0 )t →t0 t →t0 t →t0证毕。3
§1.4矢量场的通量及散度若矢性函数 A(t ) 在某一区间内的每一点处均连续,则称它在该区间内连续。 三. 矢性函数的导数与微分 1.矢性函数的导数 设 A(t ) 是 t 的矢性函数,根据矢量代数中的规定,如果两个矢量大小和方向相同,则不论它 们的起点如何,都认为是相等的。因此,这里假设对于任何的 t, A(t ) 的起点都在原点,当数性 变量 t 在其定义域内从 t 变到 t+△t(△t≠0)时,对应的矢量从 A(t ) 变化到 A(t + t ) ,则称A = A(t + t ) A(t ) 为 A(t ) 从 t 变到 t+△t 时对应的增量。与数性函数类似,定义矢性函数的导数如下: [定义]设矢性函数在点 t 的某个邻域内有定义, 并设 t+△t 也在此邻域内。如果A A(t + t ) A(t ) = 在△t→0 时的极限存 t t在, 则称 A(t ) 在点 t 可导, 并称此极限为 A(t ) 在点 t 的导数(或导矢),记作dA 或 A′(t ) dt即A dA A(t + t ) A(t ) = lim = lim dt t →0 t t →0 t(1.1-7)下面讨论矢性函数的导数的求法。 且函数 Ax (t ), A y (t ), Az (t ) 矢性函数可用其三个坐标表示为 A = Ax (t )i + A y (t ) j + Az (t ) k , 在 t 处均可导,则有:Ay (t ) A (t ) A (t ) A dA j + lim z k = lim = lim x i + lim t →0 t t →0 t dt t →0 t t →0 t这样就把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函数的导数的计算。 [例 1.1-1]: 设二矢性函数(1.1-8)e ( ) = cos i + sin j , e1 ( ) = sin i + cos j′ 求证: e ′( ) = e1 ( ), e1 ( ) = e ( )且e ( ) ⊥ e1 ( )4
第一章矢量分析与场论y证明: e ′( ) = (cos ) ′i + (sin ) ′ je1 ( ) = e ( + 90 )= sin i + cos j = e1 ( )e1′( ) = ( sin )′i + (cos )′ je ( )x= cos i sin j = e ( )∵ e ( ) e1 ( ) = cos ( sin ) + sin cos = 0 ∴ e ( ) ⊥ e1 ( ) 图 1.1-2 例 1.1-1 图e ( )和e1 ( ) 都是单位矢量,其端点描绘出的图形都是单位圆。故又称它们为圆函数。显然 e1 ( ) = e ( + 90°) 2.矢性函数的微分 与标量函数类似, A(t ) 在 t 处的微分定义为dA(t ) = A′(t )dt显然 dA(t ) 是一个矢量,由定义可以将其用各分量的微分表示出来:(1.1-9)′ ′ dA = A′(t )dt = Ax (t ) i + A′ (t ) j + Az (t ) k dt = dAx i + dA y j + dAz k y[例 1.1-2]:矢性函数 r (θ ) = a cosθ i + b sin θ j ,求 dr 。 解: dr = d ( a cosθ )i + d (b sin θ ) j = a sin θdθ i + b cosθ dθ j[](1.1-10)= (a sin θ i + b cosθ j )dθ3.导数的运算法则 设 A = A(t ), B = B (t ), u = u (t ) 在区间[a,b]内可导则在该区间内:1°d c =0 dt(c - -常矢量)(1.1-11a)2°d dA dB ( A ± B) = ± dt dt dt d dA (kA) = k dt dt (k 常数)(1.1-11b)3°(1.1-11c)5
§1.4矢量场的通量及散度4°d du dA A+u (uA) = dt dt dt d dA dB ( A B) = B + A dt dt dt d dA dB ( A × B) = × B + A× dt dt dt(1.1-11d)5°(1.1-11e)6°(1.1-11f)7° 复合函数 A = A(u ), u = u (t ) ,则dA dA du = dt du dt(1.1-11g)[例 1.1-3] (1).设 a (t ), b (t ), c (t ) 均为 t 的可微函数,计算d a × (b × c ) ; dt[](2).若 a (t ) 三阶可导,证明d da d 2 a da d 3 a a × = a × 3 dt dt dt 2 dt dt 解:(1)d da d a × (b × c ) = × (b × c ) + a × (b × c ) dt dt dt= db da dc × (b × c ) + a × × c + b × dt dt dt[]=da db dc × (b × c ) + a × ×c + a×b × dt dt dt(2)d da d 2 a da da d 2 a d da d 2 a × a × = +a × 2 dt dt dt 2 dt dt dt 2 dt dt dt da d 3 a d 2 a d 2 a da d 3 a = 0 + a × + × = a × 3 dt dt dt 2 dt 2 dt dt 3 [例 1.1-4] 证明矢性函数 A(t ) 模不变的充要条件是 A 6dA =0 dt
第一章2矢量分析与场论证明:必要性:设 A = 常数 ,则 A = A A = 常数 ,两边对 t 求导,由导数的运算法则得AdA =0 dt充分性:若 A dA =0 dt则有dA dA d 2 d A = ( A A) = A + A = 0, dt dt dt dt2所以 A = 常数 ,即 A = 常数 本例可以简单地概括为:定长矢量与其导矢相互垂直。特别地,对于单位矢量 A0 (t ) ,总有A0 ⊥dA0 ,如[例 1.1-1]中, e ( ) ⊥ e1 ( ) dt四. 矢性函数的积分 1. 不定积分 [定义] 若在 t 的某个区间[a,b]上, B′(t ) = A(t ) ,则称 B (t ) 为 A(t ) 在该区间上的一个原函数, 而 A(t ) 的全体原函数 B (t ) 称为 A(t ) 在该区间上的不定积分。记为∫ A(t )dt因为常矢量的导数等于零,而且容易证明,任意两个原函数之间仅相差一个常矢量,所以,如果B (t ) 为 A(t ) 的一个原函数,则其全体原函数可表示为 B(t ) + C 其中 C 是任意常矢量。所以∫ A(t )dt = B(t ) + C不定积分类似的性质: 设 A(t ) , B (t ) 是矢性函数,k 是常数, a 是常矢量,则 1° 2°(1.1-13)这一定义与数性函数不定积分的定义是完全类似的,因此,矢性函数的不定积分具有与数性函数∫ kA(t )dt = k ∫ A(t )dt ∫ [ A(t ) ± B(t )]dt = ∫ A(t )dt ± ∫ B(t )dt(1.1-14a) (1.1-14b)7
§1.4矢量场的通量及散度 (1.1-14c) (1.1-14d) (1.1-14e)3° 4° 5°∫ u(t )adt = a ∫ u(t )dt ∫ a A(t )dt = a ∫ A(t )dt ∫ a × A(t )dt = a × ∫ A(t )dt6°换元积分法:设 A(u ) 具有原函数 B (u ) , u = v(t ) 可导,则 B (v(t )) 为 A(v(t ))v′(t ) 的原函数, 即∫ A[v(t )]v′(t )dt = B[v(t )] + C7°分部积分法:(1.1-14f) A(t ) B ′(t )dt = A(t ) B(t ) A′(t ) B(t )dt ∫ ∫ ∫ A(t ) × B ′(t )dt = A(t ) × B(t ) ∫ A′(t ) × B(t )dt 例[1.1-5] 计算(1.1-14g)∫ 2e ( 2 + 1)d ,其中 e ( ) = cos i + sin + 1)d = u ′e (u )d = e (u )du2j。解:令 u = 2 + 1 ,则∫ 2e (2. 定积分2∫∫= e1 (u ) + C = e1 ( + 1) + C = sin( 2 + 1)i cos( 2 + 1) j + C其中 e1 ( ) = sin i + cos j[定义] 若 A(t ) 在区间[T1,T2]上连续, 则极限 limn →∞ max ti → 0∑ A(ξ )ti =1 ini称为 A(t ) 在区间[T1,T2]上的定积分,记为∫TT21A(t )dt ,其中 T1 = t0
第一章矢量分析与场论∫02 e1 ( )d = e ( 2 ) e (0)2 = i + j = (cosπππi + sinπ2j ) (cos 0i + sin 0 j )另外,也可象不定积分一样把矢性函数的定积分转化为三个数性函数的定积分,即:∫例如:T2T1A(t )dt = i ∫ Ax (t )dt + j ∫ Ay (t )dt + k ∫ Az (t )dtT1 T1 T1T2T2T2(1.1-16)∫2 e ( ) d 0 1π= ∫ 2 ( sin i + cos j )d0π= i ∫ sin d + j ∫ 2 cos d = i + j2 0 0ππ课题:场的基本概念 章节:§1.1 场的概念 课时:1上课时间:2005-2-21 下午 8,2005-2-24 上午 5 上课班级:通信 02 本两个教学班 重点:数量场的等值面,矢量场的矢量线 难点:矢量线方程 要求:理解场的基本概念,熟悉数量场的等值面及矢量场的矢量线 内容: 一. 场的概念 某种物理量在某一空间区域的分布情况和变化规律可以用场来表示。 [定义] 如果在某一空间区域内的每一点,都对应着某个物理量的一个确定的值,则称在此区域 内确定了该物理量的一个场。 如:教室中每一点都对应着一个确定的温度,因此在教室范围内确定了一个温度场;地球9教室:3517
§1.4矢量场的通量及散度周围空间每一点都对应着一个重力加速度值,在地球周围就确定了一个重力场。 按照所研究的物理量是数量还是矢量,可以把场分为数量场和矢量场。如温度场是是数量 场, 力场是矢量场。 按照物理量是否随时间变化, 又可以分为时变场(不稳定场)和恒定场(稳定场)。 本章只讨论恒定场,所得结论也适用于时变场的任一特定时刻。 二. 数量场的等值面 数量场中每点 M 处的数量是点的位置的函数 u = u (M ) , 在直角坐标系中即为点的坐标(x, y, z) 的函数,即u = u ( x, y , z )(1.2-1)就是说, 一个数量场可以用所在区域内的一个数性函数来表示。此后,若不做特别声明,总假定这个函数是单值、连续且一阶 连续可导的。在数量场中,为了直观地研究数量 u 在场中的分布情况,引入等值面的概念。 所谓等值面, 是指由场中使函数 u 取相同数值的所有点所组成的曲面。 如温度场中的等值面, 就是由温度相同的点所组成的等温面(见三维动画) 。显然,数量场 u 的等值面方程为u ( x, y , z ) = cc 为常数(1.2-2)由隐函数的存在定理知,在函数 u 为单值,且各连续偏导数u′ ,u′y,u ′ 不全为零时,等值面一定存在。 x z在(1.2-2)式中给定常数 c 以不同的数值,就得到不同的等值 面。如图(1.2-1)所示。当 c 取遍所有可能的值时,这组等值面 就充满数量场所在的空间,而且两两互不相交。这是因为在 数量场中每一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 都有一个等值面u ( x, y, z ) = u ( x0 , y0 , z0 )通过;而且由于函数 u 是单值的,一个点只能在一个等值面上。(1.2-3)例如: 数量场 u = ( x + y ) 2 z 通过点 M(1,0,1)的等值面方程是 ( x + y ) 2 z = (1 + 0) 2 1 = 0 即 z = ( x + y ) 2 ,与三维数量场的等值面对应,在函数 u(x, y)所表示的平面数量场中,具有相同数 值的所有点所连成的曲线称为此平面数量场的等值线。其方程为10
第一章矢量分析与场论u ( x, y ) = c如地形图上的等高线、 地面气象图上的等压线等都是平面 数量场等值线的例子。用数量场的等值面或等值线,可以帮助 我们直观地了解数量场中物理量的分布状况和变化快慢。 例如 根据地形图上的等高线及所标出的海拔高度, (见三维动画)(1.2-4)如图(1.2-2)所示,我们就可了解每点地势的高低情况,而且还可以根据等高线分布的疏密程度大 致判断出各方向的陡度。 三. 矢量场的矢量线 和数量场一样,矢量场中分布在各点的矢量,是场中点的位置的函数,当取定了直角坐标系 以后,它就成为 x, y, z 的函数,即 A = A( x, y, z ) 或A = Ax ( x, y, z )i + Ay ( x, y, z ) j + Az ( x, y, z )k其中 Ax , Ay , Az 为矢量 A 的三个坐标,以后若无特别申明,一般都假定它们为单值,连续且有一 阶连续偏导数。为了直观地描述矢量场的分布情况,引入矢量线的概念: 在其上每一点处,它都与该点的场矢量 A 相切的曲线,称为该矢量场的矢量线。 ................. ................ 如静电场中的电力线、磁场中的磁力线以及流速场中的流线等都是矢量线的例子。 下面讨论对于已知的矢量场 A = A( x, y, z ) ,如何求其矢量线方程。 设 M(x, y, z)为矢量线上的任一点,其矢径为 r = x i + y j + z k ,则其微分d r = dx i + dy j + dz k ,按其几何意义,它为矢量线在 M 点的切线方向上的矢量,根据矢量线的定义, 它必与 M 点处的场矢量 A = Ax i + Ay j + Az k 共线 (方 向相同) ,因此有dx dy dz = = Ax Ay Az(1.2-5)图(1.2-3) 矢量场的矢量线这就是矢量线所满足的微分方程, 解之可得矢量线族。 A ≠ 0 若 时,由微分方程的存在定理知,当函数 Ax,Ay,Az 为单值、连续且有一阶连续偏导数时,矢量 线必存在,而且充满矢量场所在空间,并两两互不相交。对于场中任意一条非矢量线的曲线 C,11
§1.4矢量场的通量及散度在其上每一点有且仅有一条矢量线通过,这些矢量线的全体构成一张通过曲线 C 的曲面,称为矢 量面。特别地,当 C 为封闭曲线时,构成一管形曲面,称为矢量管。如图(1.2-4)所示。 C图(1.2-4)矢量线和矢量管[例 1.2-1] 求矢量场 A = xy 2 i + x 2 y j + zy 2 k 的矢量线方程。 解:矢量线所满足的微分方程为dx dy dz = = 2 2y xy x zy 2dx dy = 2 xy x2 y 从而有 dx = dz xy 2 zy 2解之即得矢量线方程为 z = C1 x x 2 y 2 = C2作业:P19 1-2,1-3课外讨论:1) 、飞机的飞行轨迹是不是飞机飞行时速度的矢量线 2) 、河流中水的流速每一点都不同,存在一个流速场,由该流速场画出的矢量线即流 线族是否为唯一。12
第一章矢量分析与场论课题:数量场的方向导数和梯度 章节:§1.3 数量场的方向导数和梯度 上课时间:2005-2-28 下午 6,2005-3-2 上午 3 上课班级:通信 02 本两个教学班 重点:梯度的概念 难点:梯度定义的理解 要求:理解方向导数的定义,掌握梯度的概念 内容: 一. 方向导数 在数量场中,数量 u=u(M)的分布情况可以借助于等值面或等值线来了解,但这只能大致地了 解数量 u 在场中的整体分布情况。 而要详细地研究数量场, 还必须对它的局部性态进行深入了解, 即要考察数量 u 在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此,引入方向导数的概念。 [定义] 设 M0 是数量场 u=u(M) 中的一点,从 M0 出发沿某一方向引一条射线 l ,在 l 上 M0 的邻 近取一动点 M, M 0 M = 教室:3517 课时:1ρ ,如图(1.3-1) ,若当 M→M0(即ρ→0)时uρ=u(M ) u(M 0 )ρ的极限存在,则称此极限为函数 u(M)在点 M0 处沿 l 方向的方向导数。 记为u l,即M0u l= limM0u(M ) u(M 0 )M →M 0ρ(1.3-1)可见,方向导数u l是函数 u(M)在点 M0 处沿 l 方向对距离的变化率。当M0u > 0 时,表示在 lM0 处 u 沿 l 方向是增加的,反之就是减小的。 在直角坐标系中,方向导数有以下定理所述的计算公式:13
§1.4矢量场的通量及散度[定理 1].若函数 u=u(x,y,z)在点 M0(x0,y0,z0)处可微, cos α , cos β , cos γ 为 l 方向的方向余弦,则 u 在 M0 处沿 l 方向的方向导数必存在,且u u u u = cos α + cos β + cos γ y z l x(1.3-2)证明: M 坐标为 ( x0 + x, y0 + y, z0 + z ) ,因为 u 在 M0 可微,故u = u ( M ) u ( M 0 ) =u u u x + y + z + ωρ z x yω是比ρ高阶的无穷小。两边除以ρ得uρ= u x u y u z u u u + + +ω = cos α + cos β + cos γ + ω x y z x ρ y ρ z ρ两边取 ρ → 0 时的极限得u u u u = cos α + cos β + cos γ y z l x[例 1.3-1] 求数量场 u =x2 + y2 在点 M (1, 1, 2) 处沿 l = i + 2 j + 2k 方向的方向导数。 z 1 2 2 , cosβ = , cosγ = 3 3 3解: l 方向的方向余弦为 cos α = u 2x u 2 y u x2 + y2 = , = , = z x z y z z2所以 u 1 2x 2 2 y 2 x 2 + y 2 = + l 3 z 3 z 3 z2u l=M在点 M 处1 2 2 1 2 1 + 1 = 3 3 3 2 314
第一章矢量分析与场论二. 梯度 1. 梯度的概念 方向导数可以描述数量场中某点处数量沿某方向的变化率。但从场中任一点出发有无穷多个 方向,一般不必要更不可能研究所有方向的变化率,通常只关心沿哪一个方向变化率最大,此变 化率为多少。下面从方向导数的计算公式出发来计论这个问题。已知u u u u = cos α + cos β + cos γ ,因为 cos α , cosβ , cos γ 为 l 方向的方向余 l x y z弦,所以 l 方向的单位矢量可表示为l 0 = cos α i + cos β j + cos γ k如果把u u u 看成是某矢量 G 的三个分量,即 , , x y zG=u u u i+ j+ k x y z(1.3-3)则u = G l 0 = G cos(G , l 0 ) l(1.3-4)矢量 G 在给定点处为一常矢量,由上式显然可见,当 l 与 G 的方向一致,即 cos(G , l 0 ) = 1 时, 方向导数最大,或者说沿矢量 G 方向的方向导数最大,此最大值为u l=Gmax(1.3-5)这样就找到了一个矢量 G ,其方向为 u(M)变化率最大的方向,其模即为最大的变化率。 [定义] 在数量场 u(M)中的一点 M 处,其方向为函数 u(M)在 M 点处变化率最大的方向,其模又恰 好等于此最大变化率的矢量 G ,称为数量场 u(M)在 M 点处的梯度。记作 gradu(M)。需要指出, 梯度与所采用的坐标系无关,它由数量场 u(M)的分布所决定。式(1.3-3)已给出梯度在直角坐标系 中的表达式:15
§1.4矢量场的通量及散度gradu =2. 梯度的性质u u u i+ j+ k x y z(1.3-6)1°在某点 M 处沿任一方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影,如式(1.3-4)所示。 2°数量场 u(M)中每一点 M 处的梯度垂直于过该点的等值面,且指向函数 u(M)增大的一方。 这一点是因为点 M 处的梯度的坐标u u u 恰为过 M 点的等值面 u ( x, y, z ) = c 的法线 , , x y z方向数,即梯度为其法矢量,因此梯度垂直于该等值面。又因为 u(M)沿 gradu 方向的方向导数u = gradu > 0 ,即 u(M)沿 gradu 方向是增加的,或者说 gradu 指向 u(M)增加的一方。 l等值面和方向导数均与梯度存在一种比较特殊的关系,这使得梯度成为研究数量场的一个极 为重要的矢量。 [例 1.3-2] 设数性函数 r 是动点 M(x, y, z)的矢径 r = x i + y j + z k 的模,即 r = 证明: gradr =x2 + y2 + z 2 ,r = r0 r x =证:r = xgradr =x +y +z2 22r y r z x ,同理 = , = r y r z rx y z 1 r i + j + k = ( xi + yj + zk ) = = r 0 r r r r r[例 1.3-3] 求 r 在 M(x,y,z)处沿 l = i + 2 j + 2k 方向的方向导数。 解:本题当然可以利用式(1.3-2)直接求解,这里通过梯度与方向导数的关系求解。求得r x r y r z = , = , = x r y r z r在 M (1 , 0 , 1) 处16r r r 1 1 0 = , = , = x 2 y 2 z 2
第一章矢量分析与场论所以 M 处gradr =1 1 i + k 2 2 1 2 2 = i + j+ k 3 3 3 l l又l0 =所以1 2 2 1 u + 0 + = = gradr l 0 = l 3 3 2 3 2 23. 梯度的运算法则1° gradc = 0 2° grad (cu) = cgradu 3° grad (u ± v ) = gradu ± gradv 4° grad (uv ) = vgradu + ugradv u 1 5° grad( ) = 2 (vgradu ugradv ) v v 6° grad[ f (u)] = f ′(u)gradu(1.3-7a) (1.3-7b) (1.3-7c) (1.3-7d)(1.3-7e)(1.3-7f)[ 例 1.3-4] 已 知 位 于 原 点 处 的 点 电 荷 q 在 点 M(x, y, z) 产 生 的 电 位 为 =q 4πε r,其中r = x i + y j + z k ,且已知电场强度 E = grad ,求 E 。解:根据式(1.3-7f) 可得:grad =q r q d q gradr = gradr = = r 2 2 dr 4πε r 4πε r r 4πε r 3 q 4πε r 3所以E = grad =r17
§1.4矢量场的通量及散度课题:通量和散度 章节:§1.4 矢量场的通量和散度 上课时间:2005-2-28 下午 7,2005-3-2 上午 4 上课班级:通信 02 本两个教学班 重点:散度的概念 难点:散度定义的理解 要求:理解通量的定义,掌握散度的概念 内容: 一. 通量 为了说明通量的概念,先介绍两个术语: (1) 简单曲线:设曲线的参数方程为 教室:3517 课时:1x = (t ) , y = ψ (t ) , z = ω (t )若曲线上的每一点都只对应唯一个参数值 t(在闭合曲线的情形,闭合点是例外) ,则这样的 曲线称为简单曲线。可见,简单曲线是一条没有重点的连续曲线。 (2) 简单曲面:设曲面的参数方程是x = (u, v) , y = ψ (u, v) , z = ω (u , v)若曲面上的每一点都只对应唯一组参数值(u,v)(在闭合曲面的情形,闭合点是例外) ,则这样 的曲面称为简单曲面。可见,简单曲面是一条没有重点的连续曲面。以后如不做特别声明,都认 为所讲到的曲线是分段光滑的简单曲线;所讲到的曲面也是分片光滑的简单曲面。 为了区分曲面的两侧,常规定其一侧为曲面的正侧,另一面为其负侧。这种取定了正侧的曲 面称为有向曲面。对于封闭曲面,习惯上总是取其外侧为正侧。在研究实际问题时,常规定有向 曲面的法向矢量 n 恒指向研究问题时所取的一侧。 下面通过例子导出通量定义:s 为流速场中一有向曲面,考虑单位时间流体向正侧穿过 s 的 流量 Q。在 s 上取 ds, M ∈ ds ,因 ds 甚小,可认为 v 和 n 在 ds 上均不变,分别与 M 处 v 和 n 相 同。则流速场在单位时间内穿过 ds 的流量为 d Q = vn d s = v d s = v n d s 。018
第一章矢量分析与场论其中 n 0 = nn为 M 处单位法矢。则单位时间内沿正向穿过 s 的总流量为Q = ∫∫ dQ = ∫∫ vn ds = ∫∫ v dss s s数学上把这种形式的曲面积分称为通量。 .. [定义]:设 A(M ) 为一矢量场,,沿其中有向曲面 s 正(负)侧的曲面积分φ = ∫∫ An ds = ∫∫ A dss s(1.4-1)称为矢量场 A 向 s 正(负)侧穿过曲面 s 的通量。 如:电位移矢量为 D 的电场中,穿过 s 的电通量为 磁感应强度为 B 的磁场中,穿过 s 的磁通量为φe = ∫∫ Dn ds = ∫∫ D dss sφ m = ∫∫ Bn ds = ∫∫ B dss s若某一矢量场是由两个以上的矢量场迭加而成,则总场穿过某曲面的通量等于每个矢量场穿 过该曲面的通量之和。即若 A = A1 ++ Am = ∑ Ai ,则i =1 mmφ = ∫∫ A ds = ∑ ∫∫ Ai ds = ∑ φis i =1 s i =1m(1.4-2)下面讨论通量的计算: 在 直 角 坐 标 系 中 , 若 A 可 表 示 为 A = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x, y , z ) k 而d s = n 0 d s = i d s cos α + j d s cos β + k d s cos γ , 其 中cos α , cos β , cos γ为n的方向余弦。则d s = i d y d z + j d x d z + k d x d y ,所以∫∫ A d s = ∫∫ P d y d z + Q d x d z + R d x d ys s(1.4-3)[例 1.4-1] 已知矢量场 r = xi + yj + zk ,求由内向外穿过由圆锥面 x 2 + y 2 = z 2 与平面 z=H 所围 封闭曲面 s 的通量。19
§1.4矢量场的通量及散度解:φ = ∫∫ r ds = ∫∫ r ds + ∫∫ r dss s1 s2因为在圆锥侧面上处处有 r ⊥ ds 所以φ = ∫∫ r ds = ∫∫ xdydz + ∫∫ ydxdz + ∫∫ zdxdys1 s1 s1 s1= ∫∫ Hdxdy = H ∫∫ dxdy = H πH 2 = πH 3σ σ若 s 为上半球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (z>0) ,则φ = ∫∫ r ds = ∫∫ rds = R ∫∫ ds = R 2πR 2 = 2πR 3s s s通量为正、为负、为零的物理意义:仍以流速场 v (M ) 为例: 流体向正侧穿过面元 ds 的流量 dQ = v ds , 可正、 dQ 可负, (v , n ) 当 .. 为锐角时,dQ>0,向正侧穿过 ds 的流量为正(如图(1.4-3)所示);当 (v , n ) 为钝角时,dQ0 时表示向正侧流量多于向负侧流量;Q 0 时,表明流出大于流入,此时 s 内必定有产生流体的源泉;当 φ
第一章矢量分析与场论[例 1.4-2]:原点处点电荷 q 在周围产生的电场中,任一点处的电位移矢量为D=q r0 4π r 2r (r = xi + yj + zk , r = r , r 0 = ) r求穿过以原点为球心、R 为半径的球面的电通量。解:φ e = ∫∫ D ds =sq 4πR 2∫∫sr 0 ds=q 4πR 2∫∫sds = 4πR 2 4πR 2 = qq可见,s 内产生电通量的源即为电荷 q,q 为正电荷时,φe > 0 ,表明 q 为正源;反之,q 为负源。 二. 散度 根据穿出闭合面的通量φ的正负,可判断出该曲面内有正源或负源,但源在 S 内的分布情况 和强弱却是通量无法说明的。为此,引入矢量场的散度。 [定义] 设 M 是矢量场 A(M ) 中的一点, M 的某个邻域内取一包含 M 在内的任一闭合曲面△S, 在 其所包含区域△Ω的体积为△V,以 φ 表示△S 穿出的通量。若当△Ω以任意方式缩向 M 点时φ = V∫∫A ds sV的极限存在,则称之为矢量场 A 在点 M 处的散度。记作: A = divA = lim → Mφ = lim V →M∫∫A ds sV(1.4-5)divA 为一数量, 它表示场中一点处的通量对体积的变化率, 即该点处穿出包围单位体积的闭合曲面的通量。称为该点处源的强度。 divA >0 时表示该点有正源; divA
§1.4矢量场的通量及散度[定理] 在直角坐标系中,矢量场 A = P ( x, y, z )i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z ) k 在任一点处的散度为div A =证明: φ = P Q R + + x y z(1.4-6)∫∫s A ds = ∫∫s Pdydz + Qdxdz + Rdxdy ,由奥氏公式可得:φ =∫∫∫( P Q R + + ) dV x y z P Q R 均连续, 内必存在一点 M 使得 , , x y z由中值定理知,因为 P Q R φ = + + V x y z M所以divA = lim→ Mφ P Q R = lim [ + + ] V →M x y z M因为 M → M ,故 A = divA = P Q R ,从此可看出 = i 。 + + +k +j z y x x y z此定理不仅告诉我们如何计算 divA ,也可由此得出以下推论 [推论 1] 奥氏公式可以简洁地用矢量表示为:∫∫ A ds = ∫∫∫ divAdVs [推论 2] 由推论 1 可得,若在封闭曲面内处处有 divA =0,则 φ =∫∫s A ds = 0[推论 3] 在矢量场 A 中,若某些点(或区域)上有 divA ≠0 或不存在,而其它点上都有 divA =0, 则穿出包围这些点(或区域)的任一闭曲面的通量都相等。 证:设 divA ≠0 或不存在的点在区域 R 内,任作两个包围 R 但互不相交的封闭面 s1 , s2 ,外 法向矢量 n1 , n2 ,两曲面之间的区域为 。 因为 内处处有 divA = 0 ,所以s1 + s2∫∫A ds =s1 + s2∫∫ A nds = 0其中 n 是区域 表面的外法线单位矢量,在 s1 上 n 与 n1 相同,在 s 2 上 n 与 n2 相反。22
第一章矢量分析与场论所以∫∫s A ds + ∫∫s A ds = 0 ,即 ∫∫s1 21A ds1 ∫∫ A ds2 = 0 ,也就是 ∫∫ A ds1 = ∫∫ A ds2s2 s1 s2n1 或 ns1 s2Ωn Rn2[例 1.4-3] 原点处的点电荷 q 产生的电位移为 D =q r ,其中 r = r , r = xi + yj + zk ,求 4π r 3divD 。解: D =y z q x ( i+ j + k) 3 3 4π r y r3 qx 4π r 3 Dy = qy 4π r 3 Dz = qz 4π r 3Dx = Dx q r 2 3 y 2 Dz q r 2 3z 2 q r 2 3x 2 D y = = = , , 4π 4π 4π x y z r5 r5 r5所以 divD = Dx D y Dz q 3r 2 3( x 2 + y 2 + z 2 ) + + = =0 4π x y z r5在 r = 0 以外, div D = 0 ,故在 r = 0 以外为无源场,由推论 3 和例 1.4-2 知,穿过任一包围q 的封闭面的电通量φe = ∫∫ D ds = qs根据通量的可迭加性,对于 m 个点电荷,穿过任一包含它们的封闭曲面 s 的通量为φe = ∑ φi = ∑ qi = Qi =1 i =1mm23
§1.4矢量场的通量及散度[散度的运算法则]: 1° div(cA) = cdivA (c—常数) (1.4-7a) (1.4-7b) (1.4-7c)2° div( A ± B ) = divA ± divB 3° div( uA) = gradu A + udivA [例 1.4-4] 已知 r = x i + y j + z k , r = r ,求: (1) 使 div[ f (r ) r ] = 0 的 f (r ) (2) 使 div[gradf (r )] = 0 的 f (r )解:(1). div[ f ( r ) r ] = gradf ( r ) r + f ( r ) divr = f ′( r ) gradr r + 3 f ( r )= f ′(r )r 0 r + 3 f (r ) = rf ′(r ) + 3 f (r ) = 0求得 rf ′(r ) = 3 f (r )即f ′(r ) 3 = f (r ) r3 3两边对 r 积分得 lnf (r ) = 3lnr + c0 = lncr ,所以 f ( r ) = cr (2) div[gradf ( r )] = div[ f ′( r ) ] = gradf ′( r ) r rr r + f ′(r )div( ) r rr 2 2 = f ′′(r )gradr + f ′(r ) = f ′′(r ) + f ′(r ) = 0 r r r令 r = et ,则 f ′′(t ) + f ′(t ) = 0 即f (t ) = c1e t + c2 ,所以 f (r ) = c1r 1 + c2作业:P191-7,1-1024
第一章矢量分析与场论课题:环量和旋度 章节:§1.4 矢量场的环量和旋度 上课时间:2005-2-28 下午 8,2005-3-2 上午 5 上课班级:通信 02 本两个教学班 重点:旋度的概念 难点:环量面密度的理解 要求:理解环量面密度的定义,掌握旋度的概念 内容: 一. 环量 1. 环量的概念 [定义] 设有矢量场 A(M ) ,则沿场中某一封闭的有向曲线 l 的曲线积分 教室:3517 课时:1Γ = ∫ A dll(1.5-1)称为此矢量场按积分所取方向沿曲线 l 的的环量。如:当 A 为力场 F 时,环量表示在 F 作用下, 质点沿曲线 l 运动一周时,场力 F 对它所做的功。 又如:当 A 为磁场强度 H 时, H dl 表示沿与积分路线方向成右手螺旋关系的方向通过以 l 为边界的曲面的总电流(安培环路定律)。 环量的计算:在直角坐标系中 A = P ( x , y , z )i + Q( x , y. z ) j + R ( x , y , z ) k 又 d l = i d l cos α + j d l cos β + k d l cos γ = i d x + j d y + k d z 其中 cos α , cos β , cos γ为 d l 的方向余弦,则:∫lΓ = ∫ A dl = ∫ Pdx + Qdy + Rdzl l(1.5-2)[例 1.5-1] 求 A = yi + xj + ck ,(c 是常数)沿曲线 ( x 2) 2 + y 2 = R 2 , z = 0 的环量。 解:因为在 l 上 z=0,所以 dz=0Γ = ∫ A dl = ∫ ydx + xdy + cdz = ∫ ydx + xdyl l l= R sin θ d(2 + R cos θ ) + (2 + R cos θ ) d( R sin θ )0∫2π25
§1.4矢量场的通量及散度=∫2π0R 2 sin 2 θdθ + (2 + R cosθ ) R cosθdθ= ∫ ( R 2 + 2 R cosθ )dθ = 2πR 202π环量的计算通常利用曲线的参数方程。 2. 环量面密度及旋度 以磁场 H 为例, H 的环量为通过磁场中以 l 为边界的曲面 s 的总电流强度。这还不足以了解 磁场中任一点 M 处沿着某一方向 n 的电流密度,为研究此,引入环量面密度。 [定义] 设 M 为矢量场 A 中一点, n 为从 M 出发的一射线,在 M 处取一小面元与 n 垂直,取其 周界之正向与 n 成右手螺旋关系。当 n 沿之正向的环量ΔΓ与面积Δs 之比在Δs 无限缩向 M 点 时的极限存在,则称之为矢量场 A 在 M 处沿 n 的环量面密度。记为 n 。即 n = lims → MΓ = lim s s → M∫l A dls(1.5-3)下面给出环量面密度的计算公式。在直角坐标系中:A = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x, y , z ) kΓ = ∫ A dl = ∫ Pdx + Qdy + Rdzl l由斯托克斯公式 Γ =∫∫s(R Q P R Q P )dydz + ( )dxdz + ( )dxdy y z z x x y=∫∫s[(R Q P R Q P ) cos α + ( ) cos β + ( ) cos γ ]ds z x x y y z由中值定理,当上式中的被积函数为连续时,必存在一点 M * 使得Γ = [(R Q P R Q P ) cos α + ( ) cos β + ( ) cos γ ]M * s y z z x x y n = ( R Q P R Q P ) cos α + ( ) cos β + ( ) cos γ 由 y z z x x y因为当 s → M 时, M * → M26
第一章矢量分析与场论环量面密度的计算公式: n = ( R y Qz ) cos α + ( Pz Rx ) cos β + (Qx Py ) cos γ取R = ( R y Qz )i + ( Pz Rx ) j + (Qx Py )k则 n = R nn 是 n 方向单位矢。即在任一给定点处,矢量 R 在任一方向 n 上的投影等于沿该方向的环量面密度。 R 的方向为 n 最大方向,且 nmax =R ,这正是我们希望找到的矢量。[定义] 在矢量场 A 中的一点 M 处,其方向为 M 处 A 的环量面密度最大的方向,其模恰等于此最 大环量面密度的矢量称为矢场 A 在 M 点处的旋度。记作 rotA 或 × A 。上面已得出 rotA 的计算 公式:rotA = ( R y Qz )i + ( Pz Rx ) j + (Qx Py )k或(1.5-5)rotA = xPi yQj zRk(1.5-6)性质:旋度在任一矢量方向的投影等于该方向上的环量面密度。 [ 例 1.5-2] 求 矢 量 场 A = x( z y )i + y ( x z ) j + z ( y x) k 在 点 M (1,0,1) 处 的 旋 度 及 沿n = 2i + 6 j + 3k 方向的环量面密度。解: rotA =x( z y ) xiy ( x z ) z ( y x) yj zk= ( z + y )i + ( x + z ) j + ( y + x ) krotA M = i + 2 j + k因为 n =2 6 3 2 6 3 17 i + j + k ,所以 n = rotA n = + 2 + = 7 7 7 7 7 7 727
§1.4矢量场的通量及散度[运算法则]:1° rot (cA) = crotA(c —常数)(1.5-7a) (1.5-7b) (1.5-7c) (1.5-7d) (1.5-7e) (1.5-7f)2° rot( A ± B) = rotA ± rotB 3° rot(uA) = urotA + gradu × A 4° div( A × B) = rotA B A rotB 5° rot (gradu) = 0 6° div(rotA) = 0下面仅对 4°加以证明:设 A = Ax i + Ay j + Az k , B = B x i + B y j + Bz k则 A × B = ( Ay Bz Az B y )i + ( Az Bx Ax Bz ) j + ( Ax B y Ay B x ) kdiv( A × B) =+Ay B y B A Bz + Ay z z B y Az x x x xB A Az B Bx + Az x x B y Ax z y y y y B y Ay A B + x B y + Ax Bx Ay x z z z z=(Ay Ax A A Az Ay ) Bx + ( x z ) B y + ) Bz x y y z z x B y B z B B y B B ( + ) Ax ( z + x ) Ay ( x + ) Az z y x z y x= rotA B A rotB例 1.5-3]:设矢量场 A 的旋度 rotA ≠0,若存在非零函数 ( x, y, z ) 使 A 为某数量场 φ ( x, y, z ) 的 梯度,即 A = gradφ ,试证明 A ⊥ rotA 证明:因为 A = gradφ , rot ( A) = 0 , A ( rotA + grad × A) = 0所以A rotA + A (grad × A) = 0 , A rotA = 0 ,由于 ≠ 0,故A⊥rotA作业:P19281-14,1-18(2,3)