高中数学-极限
回归课本 极限
一．考试内容：
教学归纳法. 数学归纳法应用.
数列的极限.
函数的极限. 根限的四则运算. 函数的连续性.
二．考试要求：
(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念.
(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.
(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 三．基础知识:
1. 特殊数列的极限
⎧|q |
⎪0
n →∞
q =⎨1
q =1.
⎪⎩
不存在|q |
⎧0(k
k n +a k -1n + +a 0⎪a n →∞b t n t +b =⎨t
(k =t ) .
t -1n t -1+ +b 0⎪b k
⎪⎩
不存在 (k >t ) （3）S =lim
a 1(
1-q n
)n -1n →∞
1-q
=
a 11-q
（S 无穷等比数列
{a 1
q } (|q |
和）.
2. 函数的极限定理
x lim →x f (x ) =a ⇔x lim 0
→x -f (x ) =lim +f (x ) =a .
x →x 0
3. 函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ;
（2）lim x →x g (x ) =a , lim h (x ) =a （常数）,
x →x 0
则lim x →x f (x ) =a . 本定理对于单侧极限和x →∞的情况仍然成立.
4. 几个常用极限
（1）1
n lim →∞n =0，lim n →∞
a n =0（|a |
00，lim x →x =.
0x x 0
5. 两个重要的极限 （1）lim
sin x
x →0x
=1；
（2）lim ⎛1⎫
x
x →∞
⎝1+x ⎪⎭
=e (e=2.718281845…).
6. 函数极限的四则运算法则
若lim x →x f (x ) =a ，lim g (x ) =b ，则
x →x 0
(1)lim ⎡⎣f (x )±g (x )⎤⎦=a ±b ；
x →x 0(2)x lim →x ⎡x )⋅g (x )⎤0
⎣f (⎦=a ⋅b ; (3)lim
f (x )x →x 0
g x =a
b
(b ≠0). 7. 数列极限的四则运算法则 若lim n →∞
a n =a , n lim →∞
b n =b ，则
(1)lim n →∞(a n ±b n )=a ±b ；
(2)n lim →∞
(a n ⋅b n )=a ⋅b ； (3)lim
a n n →∞b =a
(b ≠0)
n
b (4)n lim →∞
(c ⋅a n )=n lim →∞
c ⋅n lim →∞
a n =c ⋅a ( c是常数).
四．基本方法和数学思想
1. 与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k≥n 0) 时成立；(2)假设n=k时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。数学归纳法是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论；
2. 数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{bn }的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或
1lim C =C （C 为常数）积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：；lim =0，
n →∞
n →∞
n
（a
n
1-q
（0
3. 函数的极限：
（1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =a
n →+∞
n →-∞
f (x ) =lim f (x ) =a : （2）当x →x 0时函数的极限为a ⇔lim -+
x →x 0
x →x 0
（3）掌握函数极限的四则运算法则；
4. 函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x0处及其附近有定义，而且还有lim f (x ) =f (x 0) ，就说函数f(x)在点x 0处连续；（2）若f(x)与g(x)
x →x 0
都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),
f (x )
(g(x)≠0) 也在点x 0处连续；g (x )
（3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x0) 处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；
5. 初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数, 基本初等函数在定义域内每一点处都连续; ②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数, 都是初等函数. 初等函数在定义域内每一点处都连续; ③连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么lim f (x ) =f (x 0) ；
x →x 0