车灯线光源的优化设计

《数学模型》课程结业论文

车灯线光源的优化设计

任 务 书

[要求]

1、将所给的问题翻译成汉语；

2、给论文起个题目（名字或标题） 3、根据任务来完成数学模型论文；

4、论文书写格式要求按给定要求书写；

5、态度要认真，要独立思考，独立完成任务；

6、论文上交时间：6月1日前（要求交纸质论文和电子文档）。 7、严禁抄袭行为，若发现抄袭，则成绩记为“不及格”。

[任务]

车灯线光源的优化设计

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。 请解决下列问题：

（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

（3）讨论该设计规范的合理性。

评语：

成绩

任课教师签字 年 月 日

成 绩 评 定 单

摘 要

该论文建立了一个单目标非线性规划模型来进行车灯线光源的优化设计.由于建模环境比较复杂.为克服用微积分处理不规则物体解析方程的高度复杂性,本文采用光线跟踪算法进行模型求解.经过计算机的仿真数值计算得到，当光照度额定值为1勒克斯时，满足约束条件的线光源最小发光功率为72瓦，此时线光源长度为5.65毫米，测试屏上反射光的光照度分布图象如下.借助此模型的求解结果，根据评价设计规范的实用性原则，该文进一步分析了此设计规范的合理性并作出一定补充.最后根据实际情况对车灯模型作出两方面深入考虑，较全面地讨论了车灯线光源的优化设计问题.

线光源功率最小时测试屏上反射光的光照度分布图

关键词：车灯光源；

目 录

1 第1级标题 ..................................................................................... 错误！未定义书签。 1.1 第2级标题 .............................................................................. 错误！未定义书签。 1.1.1 第3级标题 ........................................................................ 错误！未定义书签。 1.1.2 第3级标题 ........................................................................ 错误！未定义书签。 1.2 第2级标题 .............................................................................. 错误！未定义书签。 1.2.1 第3级标题 ........................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.2 第3级标题 ........................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.3 第3级标题 ........................................................................ 错误！未定义书签。 1.3 第2级标题 .............................................................................. 错误！未定义书签。 参考文献 ............................................................................................................................. 10 附录Ⅰ程序清单 ................................................................................. 错误！未定义书签。

论文正文：

一、标题：车灯线光源的优化设计 二、问题重述：

安装在汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米.经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源.要求在下述设计规范标准下确定线光源的长度.

该设计规范简化后描述如下.在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光.在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米.要求C点的光强度IC不小于某一额定值（可取为一个单位），B点的光强度IB不小于I0的两倍（只须考虑一次反射）. 问题：

1. 在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小； 2. 对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区； 3. 讨论该设计规范的合理性.

三、模型假设

1. 该车灯反射面可视为标准的旋转抛物面； 2. 线光源为一无体积的线段；

3. 不考虑热损耗等其他损失，认为线光源功率就是线光源所发出的总辐射通量；

4. 题目中所述的“光强度”即为“光照度”；

5. 简化灯光的频率分布，参考普通汽车前照灯功率与其光通量关系,可设定此线光源

发出的光光通量为30流明时，其发光功率约为1瓦.

四、模型的建立

1. 讨论对象的物理抽象:

如图一所示,现实中大部分线光源上各发光点发出的平行于横向垂直面上的光照度相同,可均记为I,但平行于各纵向平面光并不相同,近似与平行于横向垂直面上的光照度满足如下函数关系:

I'=I∙sinα,α为某点向某方向发出的光与纵轴的夹角.

这样,从线光源总体来看,与纵轴夹角越小的方向所发出的光照度越小.

② 车灯及反射光测试系统:

方向为z轴.

车灯反射面可以等效为一个内表面为反射面的标准旋转抛物面.经计算，易得其方程为x2+y2=2pz，p＝30mm.此抛物线焦距f=15mm.

测试屏平面方程为：z=25.015m.

图二所标各点坐标为：

F(0, 0, 15mm), A(0, 0, 25.015m), B(-1.3m, 0, 25.015m), C(-2.6m, 0, 25.015m)

③反射光路：

严格的数学推导可以得到，当入射光的方向矢量为V1（|V1|=1），法线方向矢量为N1（|N1|=1），则反射光的方向矢量V2=V1-2⋅N⋅(V1⋅N)（证明见附录）.于是，当给出线光源上发出的某条光束的方程时，我们就能求得它与旋转抛物面的交点.得到交点后，使用多元函数微分法可以很快求得交点处的法线矢量N1,并根据上式求得反射光方向矢量

，从而得到该光束在测试屏上的坐标.

图三

2. 约束条件:

由光照度分布约束得到： IB≥2I0，IC≥I0； 由抛物面几何形状得到：0

3. 目标函数:

显然，线光源长度d不同时，使B、C点光照度满足约束条件的最低φe值是不尽相同的.在这些φe值中必然存在一个最小值minφe.我们的目标就是找到minφe所对应的d.故目标函数为即为minφe (d).

综上讨论，建立单目标非线性规划模型如下：

minΦe(d),

d∈(0,60mm)

s.t.

IB(d)≥2I0IC(d)≥I0

五、模型求解

1、解析分析法:

根据旋转抛物面的几何性质可知，从焦点F发出的光经反射面反射后均平行z轴射出，这会在测试屏上留下一个半径36mm的圆斑，圆斑外没有来自F的反射光.但是当在F放置一线光源（如图二）时，线光源上的发光点并不都处于焦点，其向某方向发出的光线被反射后可能会聚，也可能发散，这就使圆斑形状发生变化.理论上用微积分可以精确算出测试屏上的光强分布，但由于可能需要计算任意不过交点的光束经抛物面反射后的传播方向，并对这些光束在测试屏上照射的光照度进行积分，不仅计算复杂，并且各解析式也会异常庞大，故不宜采用解析计算的模型求解方法.

2、模拟搜索:

为解决不规则图形解析式微分和积分带来的困难，使用计算机模拟计算是必要的.我们使用光线跟踪法来模拟线光源发出的光在测试屏上的光照度分布，下面分步进行.

① 讨论对象的数字化:

A、线光源：

线光源的长度同抛物面焦距相比是不能忽略的，这就需要计算线光源上所有点的发光情况.但一条线段上有无穷个点，计算机是无法把它们的发光情况一一计算的，这就需要将其简化为众有限个数的发光点，然后就能用计算机算出这些发光点发出的光投射在测试屏上的光照度分布.当这些有限个数的发光点足够多时，它们在测试屏上的光照度分布是可以近似为线光源发出的光投射在测试屏上的光照度分布. 我们将此线光源分割为n段，每段等效为一个点光源,其位置在此段中心.根据光强的距离平方根定律 ,当线光源上两点相距0.05mm时，分别发出的两条平行光经所给旋转抛物面反射后投射在测试屏上相距不超过0.08m，对比AB=1.3m,AC=2.6m,此简化方法产生的B点和C点的光照度误差不超过3％，是一个较好的近似. 于是分段情况表达为：d=n*0.05mm. B、 点光源：

同理，线光源简化后得到的各点光源向空间中各方向发光也是连续的，计算机不可能跟踪每一个方向，同样要将无数个发光方向简化为有限个发光方向，即有限条光线.当这些光线足够多时，它们在测试屏上的光照度分布是可以近似为此点光源发出的光反射后在测试屏上的光照度分布.根据光强的距离平方根定律 ,当点光源发出的两条光线夹角小于0.2︒时，经所给旋转抛物面反射后投射在测试屏上相距不超过0.08m，对比AB=1.3m,AC=2.6m,此简化方法产生的B点和C点的光照度误差同样不超过3％.

根据误差分析，我们将一点光源视为球体，并将其均匀分割为m个正三角锥，其顶点为球心，侧边过球心且相邻侧边两两夹角均为0.2︒（由于在某些交接处不能构成正三角锥，所以有不超过2‰的各向异性）.此点光源发出的所有光线即为所有正三角锥的侧边.并且点光源发出的光通量都集中到各光线上.物理推导容易得到，

2. 3

另外，根据对线光源进行的物理抽象，其发光照度是各向异性的，那么简化后的各点光源发光照度也要求各向异性 ,发出的光线与x轴夹角α越小，照度也越弱，每条光线所携带的光通量ω是对应正三角锥发出的光通量的同样满足正弦关系.令点光源发出的平行yz面的光线携带光通量ω0，则有

ω＝ω0sinα.

线光源发出的总辐射通量确定后，根据以上公式就能确定每条光线携带的光通量.

C、 接收屏：

根据线光源的误差讨论，我们我们设定接收屏为8m×8m的正方形，A点在其中心，并将此正方形分为若干个边长a=0.1m的网格，用其接收的光通量分布来表示屏上连续的光照度分布.由于数据点数目庞大，这些离散的光通量二维分布拟合成的连续光照度分布就可近似看作线光源发出的光投射在测试屏上的光照度分布.

D、 算法:

根据以上论述，算法的任务就是统计接收屏上每个网格接收的光通量，也就是计算每条光线投射到测试屏的位置和每条光线携带的光通量.

由能量守恒原理易得，线光源长度一定时,其发出的总光通量Φ与IB和IC成正比，记为IB＝rΦ≥2I0，IC=sΦ≥I0.则min(r,s)越大,满足约束条件的Φ越小.由于Φ与φe成正比，那么当min(r,s)最大时,满足约束条件的Φ最小，φe也最小.

根据以上论证，算法如下：

step1:设定线光源长度初值为d，发射的总光通量Φ初值为ψ＝1流明，I0＝1勒克II斯，求出B,C)； 2I0I0

IIstep2:以步长0.05mm改变d,求出d所有可行范围内的B,C)； 2I0I0

⎧I⎫Istep3:求出max⎨min(B,C)⎬和此时的d值,则 2I0I0⎭⎩

minΦ=ψ

⎧II⎫max⎨B,C)⎬2I0I0⎭⎩.同时作出测试屏上的光照分布图.

六、 结果:

采用上述算法可以得到d和φe的关系曲线如下图：

图四 φe－d关系曲线图 故得到：当d=5.65mm时φe取得最小值72W. CB点光（图中白色区域为亮区）

图六 线光源功率最小时测试屏上反射光等光照度线图

（图线上所标数值为该线上的光照度，单位是勒克斯）

七、结果分析和检验

在实际产品的制造中，线光源中心不一定精确地放在焦点，也不一定精确地垂直旋转抛物面的转轴.此误差对线光源长度选择的影响也是需要研究的.

我们考虑了线光源长度为5.65mm、发光功率为72W时其中心在z轴上微弱地偏离焦点时引起B点和C点光照度的变化情况.同样采用光线跟踪法得到线光源中心与焦点偏离∆x（中心远离圆心时∆x为正）时B点和C点光照度变化情况，如

从上表可以看出，当线光源中心与焦点重合时 ,B点和C点光照值最大.并且可以明显看出,装配过程中光源的细微错位也会导致结果的巨大差异.此结果表明车灯制造工艺的精密水平似乎是决定车灯性能更加关键的因素.

八、优缺点及改进方向

该模型是一个单目标非线性规划模型，并且建模环境比较复杂.为克服用微积分处理不规则物体解析方程的高度复杂性,采用光线跟踪算法进行模型求解.经过计算机的仿真数值计算，得到了满足约束条件的线光源最小发光功率，同时得到此时足够精确的线光源长度和此时测试屏上反射光的光照度分布图象.借助此模型的求解结果，根据评价设计规范的实用性原则，分析了此设计规范的合理性并作出了一定改进.最后根据实际情况讨论了模型的两项改进，较全面地分析了车灯线光源的优化设计问题.

附录

求证: 对于镜面反射,入射光的方向矢量为V1（|V1|=1），法线方向矢量为N1（|N1|=1）),

=1时, V2=V1-2⋅N(V1⋅).

证明:

如图,根据矢量的点乘积公式有

NV1=cos(180︒-θ)=N⋅V2=θ 根据矢量的叉乘积公式有:

=180︒-θ)=V2=θ

由于|V1|=1, |N1|=1, |V2 -⋅V1=⋅V2

⨯V1=⨯V2

将以上两式联解即得: V2=V1-2⋅N(V1⋅).

证毕.

参考文献

【1】李士贤 安连生 崔桂华. 应用光学. 北京理工大学出版社. 1994.11.

【2】同济大学应用数学系. 微积分. 高等教育出版社. 2000.5.

【3】傅景礼. 旋转二次曲面的成像公式. >. 1998.2.