经济数学(专科)第一学期期末试题

专科经济数学期末考试试卷（A 卷）

一、填空题（ 满分15分，每小题 3 分）

1.

设f (x ) =

1

1+ln x

+ . 2. 当x →0时，若ln(1-ax 2) 与x sin x 是等价无穷小量，则常数a = ． 3. 设f '(x f (x 0) -f (x 0-2h )

0) =A ，则lim

h →0

h

=4. 设f (x ) 在(-∞, +∞) 上的一个原函数为sin 2x ，则f '(x ) = . 5. 设f (x ) 为连续函数，且f (x ) =x +2

⎰

10

f (t ) dt ，则f (x ) = ．

二、选择题：（ 满分15分，每小题 3 分）

⎧sin 6．设f (x )=⎪

x

⎨x

x ≠0，则在x =0处，f (x ) （ ）

⎪⎩

1x =0

（A ）．连续 （B ）．左、右极限存在但不相等 （C ）．极限存在但不连续 （D ）．左、右极限不存在

x 27. 设f (x ) =-x sin πx

，则函数f (x ) （ ）

（A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有1个可去间断点； （C ）有2个跳跃间断点； （D ）有3个可去间断点． 8．若点(1,4) 是曲线y =ax 2+bx 3的拐点，则 ( )

（A ）a =6, b =-2； （B ）a =-2, b =6； （C ）a =b =1； （D ）a =b =-2．9. 下列各式中正确的是（ ） （A ）．(

⎰

b a

f (x ) dx ) '=f (x ) （B ）

．df (x ) =f '(x ) dx （C ）．d (⎰f (x ) dx ) =f (x ) （D ）．(⎰x

a

f (t ) dt ) '=f (t )

10．某种产品的市场需求规律为Q =800-5p ，则价格p =120时的需求弹性ηd =（ （A ）．4 （B ）．3 （C ）．4 % （D ）．3 %

三、计算题（ 每小题5 分，共20分）:

11．求极限：lim(

x x →1

1-x +1ln x

) ）

12．设lim(

x →∞

x +a x

) =8，求常数a 的值. x -a

13．设y =x sin x ，求dy |x =π

⎧x =2cos t d 2y 14．设⎨，求2

dx ⎩y =3sin t

四、计算题（10分）

15．设f (x ) =⎨

⎧sin x , x ≤0

．

ax +b , x >0⎩

（1）确定常数a , b 的值，使f (x ) 在x =0处可导； （2）求f '(x ) ；

（3）问f '(x ) 在x =0处是否连续．

五、计算题（满分10分）

1

⎰1+e -x dx +∞ln x

dx 17．求广义积分：⎰21x

16．求不定积分：六、应用题（ 满分20分）

18．过原点作曲线y =ln x 的切线，求该切线与曲线y =ln x 及x 轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积。

19．设生产某产品的固定成本为10万元，产量为x 吨时的边际收入函数为R '(x ) =10x +32，边际成本为C '(x ) =-40-20x +3x 。求

（1）总利润函数； （2）产量为多少时，总利润最大？

七、（ 满分10分，每小题 5 分）证明题:

x ⎧1

f (t ) dt , a

20．设f (x ) 在[a , b ]上连续且单调递增，证明F (x ) =⎨x -a ⎰a 在区间

⎪x =a ⎩f (a ),

2

[a , b ]上也单调递增.

21．设f (x ) 在[0,

π

]上可导，f () =0，证明存在ξ∈(0,) ，使得

222

ππ

f (ξ) +tan ξ⋅f '(ξ) =0

一、1. (0,e -1) ⋃(e -1, +∞) ；

二、6．（B ）； 7. （D ）；

答案及评分标准

-1； 3. 2A ； 4. ．（A ）； 9. （B ）；-4sin 2x ； 5. 10．（B ）． x -1． 2. 8

三、11．【解】lim(

x →1

x 1x ln x +1-x

........................ （2分） +) =lim

x →1(1-x )ln x 1-x ln x

=lim

ln x +1-11

=lim =-............ （5分）

x →11-x x →1112-ln x +--2

x x x

x -a 2ax

2ax

1

lim x +a x 2a 2a x -a

x →∞x -a

12．【解】因为lim(=e =e 2a ............ （3分） ) =lim(1+)

x →∞x -a x →∞x -a

故e

2a

3

=8，因此a =ln 2............................................ （5分）

2

sin x ln x

13．【解】因dy =d (e

) =e sin x ln x d (sinx ln x ) ............................... （2分）

sin x ln x

=e 所以dy |x =π=e 14．【解】

sin πln π

(cosx ln x +

sin x

) dx ..................... （4分） x

(cosπln π+

sin π

π

) dx =-ln πdx ........................ （5分）

dy y '(t ) 3cos t 3===-cot t .................................... （2分） dx x '(t ) -2sin t 23

(-cot t ) '

d y d dy 3-csc 2t 33=() ==-⋅=-csc t ............ （5分） dx 2dx dx x '(t ) 2-2sin t 4

2

x 2y 2dy 9x

+=1，两边对x 求导，得=-【另解】函数的隐函数方程为............ （2分） 49dx 4y

9x dy y -x (-) y -x

d 2y d dy 99814y =-⋅=() =-⋅=-............ （5分） 2223dx dx dx 4y 4y 4y

四、15．【解】（1）由f (x ) 在x =0处可导，知f (x ) 在x =0处连续且f '(0)存在，因此

f (0)=lim f (x ) ，f +'(0)=f -'(0)

x →0

f (x ) =lim (ax +b ) =b ，f (0)=sin 0=0，故b =0 因lim f (x ) =lim ++

x →0

x →0

x →0

又 f +'(0)=lim +

x →0

f (x ) -f (0)ax f (x ) -f (0)sin x

'=lim =a f (0)=lim =lim =1 ，-

x →0+x x →0-x →0-x x x

'(0)=f -'(0)=1，且 故a =1，f '(0)=f +

f (x ) =⎨

⎧sin x , ⎩x ,

x ≤0

.................................... （4分） x >0

（2）当x

因此，f '(x ) =⎨（3）因为

⎧cos x , ⎩1,

x

。........................................... （7分） x ≥0

f '(x ) =lim cos x =1，lim f '(x ) =lim 1=1，f '(0)=1 lim --++

x →0

x →0

x →0

x →0

所以，lim f '(x ) =f '(0)，即f '(x ) 在x =0处是否连续．..................... （10分）

x →0

1e x 1dx =dx =d (1+e x ) =ln(1+e x ) +C ............. （5分）五、16．【解】⎰ -x x x ⎰⎰1+e 1+e 1+e

+∞+∞ln x 1ln x +∞11

dx =ln xd (-) =-|-(-17． ⎰1⎰1⎰1x ) ⋅x dx ............ （3分） 1x 2x x

1

ln x 1+∞1

=lim --|1=lim (-) -(lim -1) =1............ （5分）

x →+∞x →+∞x →+∞x x x 1

+∞

六、18．【解】设切点为(x 0,ln x 0) ，则由y '=

11

得切线的斜率为k =，切线方程为 x x 0

y -ln x 0=

1

(x -x 0) （1） x 0

因切线过原点，将x =0，y =0代入（1）式，解得x 0=e ，故切点为(e ,1) ，切线方程为 y -ln e =

11

(x -e ) 即 y =x ............ （4分） e e

该切线与曲线y =ln x 及x 轴所围成的平面图形的面积为

e 1e e e

A =⨯e ⨯1-⎰ln xdx =-x (lnx -1) |1=-1............ （7分）

1222

所求旋转体的体积为 V =

e 1πe e e

π⨯12⨯e -⎰πln 2xdx =-πx (ln2x -2ln x +2) |1=2π(1-) ...... （10分）

1333

19．【解】由题设。有

C (x ) =C (0)+

⎰

x 0

C '(t ) dt =10+⎰(-40-20t +3t 2) dt =10-40x -10x 2+x 3

x

R (x ) =R (0)+⎰R '(t ) dt =0+⎰(10t +32) dt =5x 2+32x

x x

（1）总利润函数为

L (x ) =R (x ) -C (x ) =(5x 2+32x ) -(10-40x -10x 2+x 3) =-10+72x +15x -x

（2）L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) =(10x +32) -(-40-20x +3x 2) =-3x 2+30x +72 L ''(x ) =-6x +30

令L '(x ) =0，得x =12（x =-2不合题意，舍去），L ''(12)=-6⨯12+30=-42

2

3

⎰七、20．【证明】因为f (x ) 在[a , b ]上连续，所以F (x ) =

⎰ lim F (x ) =lim

x →a +

x →a +

x a

x a

f (t ) dt

x -a

在(a , b ]上连续，又

f (t ) dt

x -a

=lim +

x →a

f (x )

=f (a ) =F (a ) 1

故F (x ) 在[a , b ]上连续。..................... （2分） 当a

⎰F '(x ) =[

x a

f (t ) dt

x -a

]'=

(x -a ) f (x ) -⎰f (t ) dt

(x -a )

a

2

x

⎰=

x a

[f (x ) -f (t )]dt (x -a )

2

>0

因此F (x ) 在区间[a , b ]上也单调递增. .....................（5分）

21．【证明】令F (x ) =sin x ⋅f (x ) ，x ∈[0,

π

]，则F (x ) 在[0,]上连续，且

22

π

F '(x ) =cos x ⋅f (x ) +sin x ⋅f '(x ) ，x ∈(0,又F (0)=sin 0⋅f (0)=0F () =sin

π

2

) ............... （2分）

ππ

2

⋅f () =0，故由Rolle 定理知，存在ξ∈(0,) ，使得

222

ππ

F '(ξ) =cos ξ⋅f (ξ) +sin ξ⋅f '(ξ) =0 两边同除以cos ξ，得

f (ξ) +tan ξ⋅f '(ξ) =0..................... （5分）