宏观和微观
【例1】 （20分）对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内
在联系，从而更加深刻地理解其物理本质。
⑴一段横截面积为S、长为l的直导线，单位体积内有n个自由电子，电子电量为e。该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为v。 (a)求导线中的电流I；
(b)将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度B，导线所受安培力大小为F安，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F，推导F安=F。
⑵正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量。为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系（重力忽略不计，不计粒子间的相互作用）。
（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）
【例2】 （20分）
M 导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识．如图所示，固定与水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度υ做匀速运动，速度υ与恒力F方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合回路．已知导线MN电阻为R，其长度l恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B．忽略摩擦阻力和导线框的电阻．
（1）通过公式推导验证：在Δt时间内，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能W电，也等于导线MN中产生的焦耳热Q；
（2）若导线MN的质量m=8.0g，长度L=0.10m，感应电流I=1.0A，假设一个原子贡献1个自由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率υe(下表中列出一些你可能会用到的数据)；
（3）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子(即金属原子失去电子后的剩余部分)的碰撞．展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型；在此基础上，求出导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力f的表达式．
【例3】 如图19所示，PQ和MN是固定于水平面内的
M d
平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻可忽略不计。金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直，且接触良好。金属棒ab、cd的质量均为m，长度均为L。两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，它们与轨道形成闭
图19
合回路。金属棒ab的电阻为2R，金属棒cd的电阻为R。整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。
（1）若保持金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直的水平恒力F作用下，沿轨道以速度v做匀速
E电
运动。已知电源电动势等于电源提供的电能与通过电源的电荷量的比值，即E=q。试从能量的角
度推导论证：金属棒cd的感应电动势E=BLv；
（2）导体内部自由电子的定向运动形成电流，当电流不变时，宏观上可以认为导体内的自由电子的定向运动是匀速率的。设电子的电荷量为e，求金属棒cd中自由电子沿导线长度方向受到的平均阻力f；
【例4】 （20分）
b
M
（1）如图1所示，固定于水平面上的金属框架abcd，处在竖直向下的匀强磁场中。金属棒MN沿框架以速度v向右做匀速运动。框架的ab与dc平行，bc与ab、dc垂直。MN与bc的长度均为l，在运动过程中MN始终与bc平行，且与框架保持良好接触。磁场的磁感应强度为B。
E=
∆Φ
∆t，推导金属棒MN中的感应电
c
图1
a. 请根据法拉第电磁感应定律动势E；
b. 在上述情景中，金属棒MN相当于一个电源，这时的非静电力与棒中自由电子所受洛伦兹力有关。请根据电动势的定义，推导金属棒MN中的感应电动势E。
（2）为进一步研究导线做切割磁感线运动产生感应电动势的过程，现构建如下情景：
如图2所示，在垂直于纸面向里的匀强磁场中，一内壁光滑长为l的绝缘细管MN，沿纸面以速
度v向右做匀速运动。在管的N端固定一个电量为q的带正电小球（可看做质点）。某时刻将小球释放，小球将会沿管运动。已知磁感应强度大小为B，小球的重力可忽略。在小球沿管从N运动到M的过程中，求小球所受各力分别对小球做的功。
B
图2
【例5】 一段横截面积为S的直金属导线，单位体积内有n个自由电子，电子的质量为m，电子
的电荷量为e。该导线通有电流时，电子定向运动的平均速度用v表示。 (1)求导线中的电流I。
(2)按照经典理论，电子在金属中运动的情形是这样的：在外加电场(可通过加电压实现)的作用下，自由电子发生定向运动，便产生了电流。电子在运动的过程中要不断地与金属离子发生碰
撞，将动能交给金属离子(微观上使其热运动更加剧烈，宏观上产生了焦耳热)，而自己的动能降为零，然后在电场的作用下重新开始加速运动（为简化问题，我们假定：电子沿电流方向做匀加速直线运动），经加速运动一段距离后，再与金属离子发生碰撞。电子在两次碰撞之间走的平均距离叫自由程，用L表示。请从宏观和微观相联系的角度，结合能量转化的相关规律，求金属导体的电阻率。
【例6】 按照经典的电磁理论，电子在金属中运动的情形是这样的：在
外加电场的作用下，自由电子发生定向运动，便产生了电流。电子在运动的过程中要不断地与金属离子发生碰撞，将动能交给金属离子，而自己的动能降为零，然后在电场的作用下重新开始加速运动（可看作匀加速运动），经加速运动一段距离后，再与金属离子发生碰撞。电
子在两次碰撞之间走的平均距离叫自由程，用l表示。电子运动的平均速度用表示，导体单位体积内自由电子的数量为n，电子的质量为m，电子的电荷量为e，电流的表达式I=nes。请证
2mv
明金属导体的电阻率 =ne2
l
。
证明：导体中电流强度的微观表达式为：I=nes
ρlS
根据电阻定律：R =
U
根据欧姆定律：R =I
1mv2
自由程内，电子在加速电场作用下，速度从0增加到v，由动能定理：eU =2
v=
2mv0+v
2
2，可得出电阻率ρ的表达式为：ρ=nel
又由于
【例7】 下面请根据以下微观模型来研究焦耳热，设有一段横截面积为S，长为l的直导线，单位
体积内自由电子数为n，每个电子电量为e，质量为m。在导线两端加电压U时，电子定向运动，在运动过程中与金属离子碰撞，将动能全部传递给离子，就这样将由电场得到的能量变为相撞时产生的内能。“金属经典电子论”认为，电子定向运动是一段一段加速运动的接替，各段加速都是从定向速度为零开始。根据统计理论知，若平均一个电子从某一次碰撞后到下一次碰撞前经过的时间为t，一秒钟内一个电子经历的平均碰撞次数为导体发热的功率P。
t
，请利用以上叙述中出现的各量表示这段
【例8】 (20分）超导现象是20世纪人类重大发现之一，日前我国己研制出世界传输电流最大的
高温超导电缆并成功示范运行。
（l）超导体在温度特别低时电阻可以降到几乎为零，这种性质可以通过实验研究。将一个闭合超导金属圈环水平放置在匀强磁场中，磁感线垂直于圈环平面向上，逐渐降低温度使环发生由正常态到超导态的转变后突然撤去磁场，若此后环中的电流不随时间变化，则表明其电阻为零。请指出自上往下看环中电流方向，并说明理由。
（2）为探究该圆环在超导状态的电阻率上限ρ，研究人员测得撤去磁场后环中电流为I，并经一年以
II，当电流的变上的时间t未检测出电流变化。实际上仪器只能检测出大于ΔI的电流变化，其中 《
化小于ΔI时，仪器检测不出电流的变化，研究人员便认为电流没有变化。设环的横截面积为S，环中定向移动电子的平均速率为v，电子质量为m、电荷量为e．试用上述给出的各物理量，推导出ρ的表达式。
（3）若仍使用上述测量仪器，实验持续时间依旧为t，为使实验获得的该圆环在超导状态的电阻率上限ρ的准确程度更高，请提出你的建议，并简要说明实现方法。
【解析】(1) 逆时针方向。
撤去磁场瞬间。环所围面积的磁通量突变为零，由楞次定律可知，环中电流的磁场方向应与原磁场方向相同，即向上。由右手螺旋定则可知，环中电流的方向是沿逆时针方向。 (2)设圆环周长为l、电阻为R，由电阻定律得
R=ρ
l
S ①
设t时间内环中电流释放焦耳热而损失的能量为∆E，由焦耳定律得
2
∆E=IR t ②
设环中单位体积内定向移动电子数为n，则
I=nev S ③
式中n、e、S不变，只有定向移动电子的平均速率的变化才会引起环中电流的变化，电流变化大小取∆I时，相应定向移动电子的平均速率的变化得大小为∆v，则 ∆I=neS∆ v ④ 设环中定向移动电子减少的动能总和为∆Ek，则
1⎡1⎤∆Ek=nlS⎢mv2-m(v-∆v)2⎥
2⎣2⎦ ⑤ 由于∆I
I，可得
∆Ek=
lmv
∆Ie ⑥
根据能量守恒定律，得
∆E=∆Ek ⑦
联立上述各式，得
ρ=
mvS∆I
etI2 ⑧
(3)由
ρ=
mvS∆I
etI2看出，在题设条件限制下，适当增大超导电流，可以使实验获得ρ的准确
程度更高，通过增大穿过该环的磁通量变化率可实现增大超导电流。