微积分题目
⎛2+e sin x ⎫⎪. lim +1． 求 4x →0 x ⎪1+e ⎝⎭（）微积分0P24
2π⎡π⎤sin sin ⎢sin π⎥n n ++⋅⋅⋅+2．lim ⎢⎥（微积分P4） n ←∞n +111⎢n +n +⎥⎢2n ⎥⎣⎦
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3．设f (x ) 连续，ϕ(x ) =⎰f (xt ) dt ，且lim
0x →0f (x ) ‘=A (A 为常数) ，求ϕ并讨论（x ）x
‘在x =0处的连续性。 ϕ（x ）
4．设f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且0
使f ' (ξ) =a +b ' f (η). 微积分0P48 2η
5．设函数f(x)连续且恒大于零，
⎰⎰⎰
F (t ) =Ω(t ) f (x 2+y 2+z 2) dv
2
D (t ) ⎰⎰f (x +y ) d σ2，G (t ) =D (t ) ⎰⎰f (x 2+y 2) d σ⎰t ， -1f (x ) dx 2
2222222其中Ω(t ) ={(x , y , z ) x +y +z ≤t }，D (t ) ={(x , y ) x +y ≤t }.
(1) 讨论F(t)在区间(0, +∞) 内的单调性.
(2) 证明当t>0时，F (t ) >
22πG (t ). p96 226．设e 4(b -a ) . 2e
7．已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I ）存在ξ∈(0, 1), 使得f (ξ) =1-ξ；
（II ）存在两个不同的点η, ζ∈(0, 1) ，使得f '(η) f '(ζ) =1.
2x 3x
d x . 0p72 8． 求⎰x 9+4x
arctan e x
dx 0p76 9．求⎰2x e
2210．曲面z =x +y 与平面2x +4y -z =0平行的切平面的方程是。
11．计算积分(x +y ) d σ, 其中D 由y 2=2x , x +y =4. x +y =12, 所围成p83 ⎰⎰D
12．）设D ={(x , y ) x +y ≤
最大整数. 计算二重积分
13设在上半平面D=222, x ≥0, y ≥0}，[1+x 2+y 2]表示不超过1+x 2+y 2的2⎰⎰xy [1+x D +y 2]dxdy . t>0都有{(x , y )y >0}内, 数f (x , y )是有连续偏导数, 且对任意的f (tx , ty )=t 2f (x , y ).
证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L, 都有L yf (x , y ) dx -xf (x , y ) dy =0
14．设函数f (x ) 在(-∞, +∞) 内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y >0) 内2的有向分段光滑曲线，其起点为(a , b ) ，终点为(c , d ) 。记I 1x =⎰[1+y 2f (xy )]dx +2[y 2f (xy ) -1]dy y y L
证明曲线积分I 与路径无关；
15．设L 是平面x +y +z =2x +y =1的交线从z 轴正向看去，L 为 逆时针方向。计算：
I =L (y 2-z 2) dx +(2z 2-x 2) dy +(3x 2-y 2) dz
3322x dydz +2y dzdx +3(z -1) dxdy , ⎰⎰∑16．计算曲面积分 I =
其中∑是曲面z =1-x -y (z ≥0) 的上侧.
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