全等三角形专题之垂直模型
垂直模型
考点一：利用垂直证明角相等
1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．
2.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=90, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.
图(1) 图(2) 图(3) (1)试说明: BD=DE+CE.
(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD
(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由.
3.直线CD经过BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA． （1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若BCA90,90，则EFBEAF（填“”，“”或“”号）； ②如图2，若0BCA180，若使①中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是； （2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．
考点2：利用角相等证明垂直
1. 已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系.
B
C
图1
D
A
图2 B D
A
E
C F
图3
D
2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF． (1)求证：CD=BF；
(2)求证：AD⊥CF；
(3)连接AF，试判断△ACF的形状.
变式：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
A
3. 如图1，已知△ADC和△EDG都是等腰直角三角形上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将△EDG绕点D按顺时针方向旋转30°，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
G
E
4.如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC,且ACBC,EFP的边FP也在直线l 上，边EF与边AC重合，且EFFP
（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的 数量关系和位置关系；
（2） 将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接
AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长
线于点Q,连结AP,BQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
图1图2图3