高考模拟题之三角函数的性质

高考模拟题之三角函数的性质

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

ππ⎤1．(2010·重庆) 下列函数中，周期为π，且在⎡⎣42⎦上为减函数的是( )

ππ2x ＋⎫ B ．y ＝cos ⎛2x ＋ A ．y ＝sin ⎛2⎭2⎝⎝

πx ＋ C ．y ＝sin ⎛⎝2 πx ＋ D ．y ＝cos ⎛⎝2πππ2x ＝cos2x 的最小正周期为π，且在⎡⎤上是减函数，故选A. 解析：由于y ＝sin ⎛2⎝⎣42⎦

答案：A

2．(2010·陕西) 函数f (x ) ＝2sin x cos x 是( )

A ．最小正周期为2π的奇函数

B ．最小正周期为2π的偶函数

C ．最小正周期为π的奇函数

D ．最小正周期为π的偶函数

解析：因为f (x ) ＝2sin x cos x ＝sin2x 是奇函数，T ＝π，所以选C.

答案：C

3．(2010·陕西) 对于函数f (x ) ＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )

ππA ．f (x ) 在⎛⎝4，2上是递增的

B ．f (x ) 的图象关于原点对称

C ．f (x ) 的最小正周期为2π

D ．f (x ) 的最大值为2

ππ解析：f (x ) ＝2sin x cos x ＝sin2x ，故f (x ) 在⎛⎝42上是递减的，A 错；f (x ) 的最小正周期为π，最大值为1，

C 、D 错．故选B.

答案：B

4．在下列关于函数y 3sin2x ＋cos2x 的结论中，正确的是( )

ππ－k π，＋k π⎤(k ∈Z) 上是增函数 A ．在区间⎡6⎣3⎦

πB 2

C ．最大值为1，最小值为－1

D ．是奇函数

答案：A

ππ－，⎤上是增函数，那么( ) 5．ω是正实数，函数f (x ) ＝2sin(ωx) 在⎡⎣34⎦

3A ．0＜ω B ．0＜ω≤2 2

24C ．0＜ω D ．ω≥2 7

ππωπωπππ－，，则ωx∈⎡－. 又y ＝sin x 是⎡－上的单调增函数， 解析：x ∈⎡⎣34⎣34⎣22⎧42则⎨ωππ－－⎩32

答案：A ωππ3⇒0＜ω≤. 2

1－1，⎤，则b －a 的值不可能是( ) 6．已知函数y ＝sin x 定义域为[a ，b ]，值域为⎡2⎦⎣

π2π4πA. B. C ．π D. 333

2π4π解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为33，故选A.

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

π2x －⎫－2sin 2x 的最小正周期是________． 7．(2010·浙江) 函数f (x ) ＝sin ⎛4⎭⎝

π1－cos2x 22222x －⎫－22sin 2x ＝sin2x －cos2x －22×解析：f (x ) ＝sin ⎛＝sin2x ＋cos2x －2＝4⎭⎝22222

π2π2x －2，故该函数的最小正周期为π. sin ⎛4⎝2

答案：π

π0，上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 8．(2010·江苏) 设定义在区间⎛⎝2轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．

⎧y 0＝6cos x 0⎪解析：设P (x 0，y 0) ，则由⎨消去y 0得，6cos x 0＝5tan x 0⇒6cos 2x 0＝5sin x 0，即6sin 2x 0＋5sin x 0⎪⎩y 0＝5tan x 0

322－6＝0，解得sin x 0＝－(舍去) 或，∵PP 1⊥x 轴，且点P 、P 1、P 2共线，∴|P 1P 2|＝sin x 0＝. 233

2答案：3

9．(2010·山东潍坊模拟) 对于函数

⎧⎪sin x ，sin x ≤cos x f (x ) ＝⎨给出下列四个命题： ⎪cos x ，sin x >cosx ⎩

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z) 时，该函数取得最小值是－1；

5π③该函数的图象关于x ＝2k π(k ∈Z) 对称； 4

π2④当且仅当2k π

其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)

答案：③④

10．给出下列五个命题，其中正确命题的序号为______．

π1π2x ＋⎫ ①函数y ＝⎪sin ⎛3⎭3⎪⎝2

3π3πx －⎫在区间⎡π，上单调递减； ②函数y ＝sin ⎛2⎝2⎭⎣

5π5π2x ＋的图象的一条对称轴； ③直线x ＝是函数y ＝sin ⎛2⎝4

4④函数y ＝sin x ＋x ∈(0，π)的最小值是4； sin x

x cos x ⑤函数y ＝tan 的一个对称中心为点(π，0) ． 2sin x

5π⎫3解析：①最小正周期是π，②y 在区间[π，π]上单调递增，③⎛⎝40⎭为对称中心，④sin x ≠2，∴y 的2

最小值不是4.

答案：⑤

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

111．已知函数f (x ) ＝x －cos x ) ． 2

(1)求它的定义域和值域；

(2)判定它的奇偶性；

(3)判定它的周期性，若是周期函数，求出它的最小正周期．

πx >0， 解：(1)由sin x －cos x >0⇒2sin ⎛⎝4π5π2k π2k π＋(k ∈Z) ． ∴定义域为⎛44⎝

π1x －∈(0，2]，∴值域为⎡－，＋∞⎫. ∵2sin ⎛⎝4⎣2⎭(2)∵定义域关于原点不对称，

∴f (x ) 是非奇非偶函数．

1(3)∵f (x ＋2π)＝log x ＋2π)－cos(x ＋2π)] 2

1＝log (sinx －cos x ) ＝f (x ) ， 2

∴已知函数是周期函数，且最小正周期T ＝2π.

1312．求当函数y ＝sin 2x ＋a cos x －－的最大值为1时a 的值． 22

分析：先通过变形化为关于cos x 的二次函数，配方后，根据函数式的特点，对a 进行分类讨论．

a ⎫2a 2a 113a 12⎛解：y ＝1－cos x ＋a cos x a －＝－cos x ＋a cos x －－＝－⎝cos x －2⎭＋－－22224222

设cos x ＝t ，∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤t ≤1.

a a a 1t －2＋，－1≤t ≤1. ∴y ＝－⎛⎝2422

a 33(1)当1，即a ＜－2时，t ＝－1，y 有最大值－a －222335由已知条件可得－a 1，∴a ＝－＞－2(舍去) ． 223

a a a 2a 1(2)当－11时，即－2≤a ≤2时，t ，y 有最大值－－22422

a 2a 1由已知条件可得－＝1，解得a ＝17或a ＝1＋7(舍去) ． 422

a a 3(3)当1，即a ＞2时，t ＝1，y 有最大值－222a 3由已知条件可得＝1，∴a ＝5. 22

综上可得a ＝1－7或a ＝5.

评析：解答此类问题的一般步骤：

(1)化为关于sin x 或cos x 的二次函数；

(2)利用配方法或换元法，转化为闭区间上二次函数的最值问题；

(3)对于字母系数的问题需进行分类讨论．

π13．(2010·广东) 已知函数f (x ) ＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞),0

(1)求f (x ) 的最小正周期； 2

(2)求f (x ) 的解析式；

2π12＋＝sin α. (3)若f ⎛⎝3125

2π解：(1)T 3

π3×＋φ⎫＝1， (2)由题设可知A ＝4且sin ⎛⎝12⎭

πππ则φ＋＋2k π(k ∈Z) ，得φ＝2k π(k ∈Z) ． 424

ππ3x ＋. ∵0

2ππ12＋＝4sin ⎛2α＋＝4cos2α＝， (3)∵f ⎛2⎝312⎝5

3∴cos2α5

115∴sin 2α＝2－cos2α) ＝5∴sin α＝5.