学案15 一次分式函数
学案15 一次分式型函数y =
一、课前准备: 【自主梳理】
1. 一次分函数的定义
我们把形如y =
ax+b
(x∈D) cx+d
cx +d
(a ≠0, ad ≠bc ) 的函数称为一次分函数。 ax +b
2. 一次分函数的图象和性质
y =
cx +d
(a ≠0, ad ≠bc ) ax +b
2.1 图象:其图象如图所示.
2.2定义域:⎨x x ≠-⎬;
⎧⎩b ⎫a ⎭
2.3 值域:⎨y y ≠
⎧⎩c ⎫⎬; a ⎭
2.4 对称中心: -
⎛b c ⎫
, ⎪; a a ⎭⎝
2.5 渐近线方程:x =-
b c
和y =; a a
b
a
b
, +∞) 分别单调递减;当ad
2.6 单调性:当ad>bc时,函数在区间(-∞, -) 和(-数在区间(-∞, -) 和(-【自我检测】 1.函数y =1-
b a b
, +∞) 分别单调递增; a
1
的图象是 . x -1
2.函数f (x ) =3.y =
3x -1
的定义域是 . x +1
1-x
(x ≠0)的值域是. x
2x +1
4.函数f (x ) =的单调增区间是 .
x +32x -1
5.函数f (x ) =的对称中心是 .
x +3
6.函数f (x ) =
x x
是(填“奇”“偶”“非奇非偶”)
二、课堂活动:
【例1】填空题:
2x -1
(x ∈(-2, 5)),则f (x ) 的值域是________. x +32x -1
(2)函数f (x ) =(x ∈(-5, -4)⋃(2, 5) ),则f (x ) 的值域是________.
x +32x +1*
(3)已知函数f (x )=,若∀x ∈N ,f (x )≥f (5)恒成立,则a 的取值范围是.
x -a 2x +1
(4)若函数f (x ) =的图象关于直线y =x 对称,则实数a = .
x +a
(1)函数f (x ) =
【例2】(2004年江苏)设函数f (x ) =-
x
(x ∈R ) ,区间M=[a,b](a
N={y y =f (x ), x ∈M },则使M=N成立的实数对(a,b) 有几个?
【例3】已知函数f (x ) =
ax +2-a
,其中a ∈R 。
x +1
(1)当函数f (x ) 的图象关于点P(-1,3) 成中心对称时,求a 的值及不等式f (x ) >x -1的解集;
(2)若函数f (x ) 在(-1,+∞) 上单调递减,求a 的取值范围.
课堂小结
高考试题对一次分式函数的考查,主要体现在对一次分式函数图象的识别和性质的应用上。因此,抓住了以上七个方面的内容,也就抓住了解决一次分式函数试题的要害,也就能有效地解决一次分式函数问题。
三、课后作业
x +2
的值域 .
3x -4x +2
2.函数y=(x 2)的值域 .
3x -4-x +2
3.函数y=的对称中心是 .
x -4-x +2
4.函数y=的单调增区间是 .
x -4
-x +2*
5.已知函数f (x ) =,若若∀x ∈N ,f (x )≤f (5)恒成立,则a 的取值范围是.
x -a x +1
6.设曲线y =在点(3,2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则.
x -1x -b b
7.若函数y =在区间(a , b +4)(b
x +2x -1
8.若函数f (x ) =,则函数g (x )=f (4x )-x 的零点是______________.
x
1.函数y=
9.记函数f (x ) 的定义域为D ,若存在x 0∈D ,使f (x 0)=x 0成立,则称以(x 0, y 0)为坐标的点是函数f (x ) 的图象上的“稳定点”。若函数f (x )=点”,求实数a 的取值范围。
3x -1
的图象上有且只有两个相异的“稳定x +a
10.已知函数f (x )=
x +1-a
(x ≠a ),
a -x
(1)证明:对定义域内的所有x ,都有f (2a -x )+f (x )+2=0。 (2)当f (x )的定义域为⎢a +
四、纠错分析
⎡⎣1⎤
, a +1⎥时,求f (x )的值域。 2⎦
答案:【自我检测】1. B 2. 4. (-∞, -3), (-3, +∞) 5. (-3,2)
例1. (1) -5, ⎪ (2) , ⎪⋃ (3)5
{x x ≠-1}
3.y y ≠-1
{}
⎛⎝9⎫8⎭⎛39⎫⎝58⎭⎛11⎫
, 9⎪ ⎝2⎭
⎧x -(x ≥0) ⎪x ⎪1+x =⎨例2. 分析:函数f (x )= -
1+x ⎪x
-(x
其图象如右图所示,由图象可知,y=f(x )在R上是连续单调递减函数。而N={y|y=f(x ),x
∈M }表示函数定义域为M=[a ,b ]时其值域为N。由M=N得解得a=b=0,这与a
点评:本题考查了一次分式函数、分段函数的解析式、单调性和函数的定义域、值域与集合等知识。解题过程是由定义域与值域相等的特性建立方程,考查方程的思想和创新能力。其中,函数大致图象的作出起到了关键作用。
ax +2-a
的对称中心为(-1,a) ,与P(-1,3) 比较得a
x +1
3x -13x -13x -1
=3。此时f (x ) =,不等式f (x ) >x -1,即>x -1⇔-(x -1) >0
x +1x +1x +1
x (x -3) ⇔
x +1
ax +2-a
(2)由f (x ) =知x =-1为f (x ) 的一条渐近线,又由一次分函数的性质2.6知,当
x +1
例3 分析:(1)函数f (x ) =
且仅当1⨯(2-a ) >1⨯a ,即a
{}
⎧⎩1⎫⎬ 3⎭
2. (-3, 1)⋃(1, 2) 3. (4,-1)
4. (-∞, 4), (4, +∞) 5. 5
1 1618.
2
7.
9. 解:由题意:方程
3x -1
=x ,即x 2+(a -3)x +1=0有两个不等于-a 的相异实根, x +a
2
⎧1⎪∆=(a -3)-4>0
⇒a >5或a
3⎪⎩(-a )+(a -3)(-a )+1≠0
10. (1)略 (2)f (x )=以f (x )的值域为[-3, -1]。
1x +1-a -1⎡⎤
,f (x )在⎢a +, a +1⎥上单调递增,所=-1+
2a -x x -a ⎣⎦