行程专题6-发车间隔
发车间隔
一、问题简介
发车问题是行程问题里面一种很常见的题型，解决发车问题需要一定的策略和技巧。为便于叙述，现将发车问题进行一般化处理：某人以匀速行走在一条公交车线路上，线路的起点站和终点站均每隔相等的时间发一次车。他发现从背后每隔a 分钟驶过一辆公交车，而从迎面每隔b 分钟就有一辆公交车驶来。问：公交车站每隔多少时间发一辆车？（假如公交车的速度不变，而且中间站停车的时间也忽略不计。）
1、 原型
因为车站每隔相等的时间发一次车，而且车速不变，所以同向的、前后的两辆公交车间的距离相等，这个相等的距离也是公交车在发车间隔时间内行驶的路程。
所以对于紧挨着的两辆车，有以下关系式：发车间隔=发车时间间隔×车速
2、 背后追上，追及问题
由图可以知道，人车行驶方向相同，人所在的位置与前一辆车相同，和下一辆车的距离就是发车间隔，下一辆车想追上人，那么就要比人多走这个发车间隔。
所以，根据“同向追及”，发车间隔=追及路程=（车速-人速）×追及时间。
我们知道：公交车与行人a 分钟所走的路程差是1，即公交车比行人每分钟多走1/a，1/a就是公交车与行人的速度差。即：（车速-人速）=1/a。
3、 迎面开来，相遇问题
由图可以知道，人车行驶方向相反，人所在的位置与前一辆车相同，和下一辆车的距离就是发车间隔，下一辆车和人相遇，那么人车的路程和就是这个发车间隔。
所以，根据“相向相遇”， 发车间隔=相遇距离=（车速+人速）×相遇时间。
我们知道：公交车与行人b 分钟所走的路程和是1，即公交车与行人每分钟一共走1/b，1/b就是公交车与行人的速度和。即：（车速+人速）=1/b。
这样，我们把发车问题化归成了“和差问题”。
根据“和差问题”的解法：大数=（和+差）÷2，小数=（和-差）÷2，可以很容易地求出车速是：(1/a+1/b)÷2=（a+b）/2ab，人速是：(1/b-1/a)÷2=（a-b）/2ab。
又因为公交车在这个“间隔相等的时间”内行驶的路程是1，所以再用公式：路程÷速度=时间，我们可以求出问题的答案，即公交车站发车的间隔时间是：1÷（a+b）/2ab=2ab/（a+b）。
总结：发车问题的难点在于时间的把握上，其实只要知道这个时间从何而起，何时结束，那么发车问题就是一个很简单的相遇、追及问题了！
二、常见题型解析
1、简单的发车问题
这类发车问题都符合我们在“问题简介”里面对发车问题进行的一般化处理，所以大家在碰到这种问题时可以考虑直接运用总结出来的公式，也可以根据相遇、追及问题的情况来解题，当然，之前讲的那五大方法都可以用！
例：某人以匀速在一条公路上行走，公路两端的车站每隔相同的时间开出一辆公共汽车。该
行人发现每隔15分钟就会有一辆公共汽车追上他，而每隔10分钟有一辆公共汽车迎面开来。问：车站每隔多少分钟开出一辆公共汽车？
2、复杂的发车问题
复杂的发车间隔问题表面上看与我们之前归纳的发车问题的一般化有所出入，但是我们解决这类问题的方法还是一样的，同样是将题目中的运动过程分解为同向追及和迎面相遇两部分，转化成行程问题的基本关系来解题！
例：某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出；
在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场，以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场。回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？
例：甲、乙是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车，每辆电车都是每隔4分钟
遇到迎面开来的一辆电车。小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行。小张每隔5分钟遇到一辆电车迎面开来；小王每隔6分钟遇到一辆电车迎面开来。如果电车驶完全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分钟？