15.3 多边形的密铺(1)
15.3《多边形的密铺》导学案(一)
一. 知识框架
1. 感知密铺的概念
2. 探究哪几种多边形可以进行密铺
3. 密铺计算与设计的相关问题
二 . 学习目标
知识目标:1. 让学生认识平面图形的密铺,掌握平面图形密铺的条件。
2. 了解平面图形密铺在生活中的应用,能利用平面图形的密铺进行一定的
图案设计。
能力目标:经历探索平面图形密铺条件的过程,进一步发展学生的动手实践能力、合
情推理能力以及团结合作的意识\
情感目标:1. 经历生活中平面图形密铺的观察、分析、欣赏等过程,感受几何构图的
简单美、和谐美。
2. 在探索性活动中,开发、培养学生的创造性思维,使其感受数学来源于
生活又应用于生活的辩证唯物主义观点。
三. 重难点预见
重点:探索、发现多边形密铺的条件。
难点:运用三角形、四边形、正六边形进行简单的密铺设
四. 导学过程
一、情境导入
1、从生活中“铺地砖”引出密铺(正方形)。
我们教室的地面是由正方形的地砖铺成的,可见正方形能够没有重叠、没有空隙地铺在平面上。
2、教学、理解密铺的概念。
像正方形这样,一种或几种图形,能够没有重叠、没有空隙地铺在平面上,叫做密铺。(强调:密铺中的同一种图形必须是完全相同的图形)
3、列举生活中密铺的现象,展示丰富多彩的密铺的图案。通过密铺形成的图案相当丰富多彩,而且非常美观,奥妙无穷。下面我们就来欣赏几组密铺的图
(3
)
观察这些图案中的拼接图形有哪些特点?
(4)
(第一幅和第二幅图是由大小相同的正方形和正六边形组成。第三幅和第四幅由几种形状、大小相同的图形组合而成, 没有空隙。)
定义:用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙,不重叠地铺成一片,这就是平面图形的密铺(又称做平面图形的镶嵌)。
小组合作讨论平面图形密铺的特点:
(1)用一种或几种全等图形进行拼接。
(2)拼接处不留空隙、不重叠。
(3)连续铺成一片。欣赏
二、探索常见的多边形的密铺问题
1、刚才我们已经知道正方形能够密铺,那么除了正方形能密铺外,还有哪些我们学过的常见的多边形也能密铺呢?
并给出:正三角形、长方形、等腰梯形、正五边形
(1)猜想
先请大家凭你的感觉猜想一下,上面哪几种图形能够密铺?
(2)小组合作,动手操作
下面我们就来验证一下大家的猜想。请同学们以小组为单位,拿出老师课前发给大家的信封,用信封里的多边形拼一拼,并思考:
a 、利用多边形的纸片铺一铺。看看哪些多边形能够密铺;
b 、观察能够密铺的多边形,思考:这些多边形为什么能密铺?
c 、再想一想:能够密铺的规律是什么?
(3)小组反馈,师生探讨、交流
a 、正三角形、长方形、等腰梯形能够密铺
b 、因为用这几种图形各若干个,都能做到围绕某一点拼成360度,从而没有重叠,也没有空隙。
c 、一种或几种图形围绕某一点可以拼成360度,那么这种或这几种图形就能密铺。
(4)小结
a 、板书密铺的规律;
b 、课件展示这四种图形能否密铺(突出解释正五边形不能密铺的理由,加深对密铺规律的理解。)
2、探索任意三角形与四边形都能密铺
刚才我们已经探讨得出正三角形、正方形、正六边形. 长方形与等腰梯形都能密铺,那么下面请大家运用密铺的规律思考一下,任意三角形与四边形能否密铺?
(1)、师生探讨、交流
(2)、小结:因为三角形的内角和是180度,四边形的内角和是360度,用6个这样的三角形,4个这样的四边形,都能围绕某一点拼成360度,说明“任意三角形与任意四边形都能密铺”。
(3)、展示密铺的图形。
3、探索哪些正多边形能够密铺
下面再请大家思考一个问题:在所有的正多边形中,除了我们已经得出的正三角形、正方形能够密铺外,你能否说出所有能密铺的正多边形,并说明你的理由。
(1)、师生探讨、交流;
(2)、小结:因为360在小于180这一范围内的约数,除了正三角形的内角60度,正方形的内角90度外,还有正六边形的内角120度。所以,在所有的正多边形中,能够密铺的只有这三种.
(3)、展示密铺的图形。
4、探索运用多种多边形进行密铺的问题、
(1)用两种正多边形密铺问题
用正三角形和正方形密铺,在一个顶点处各需要多少个?
设需要m个正三角形,n个正方形,则由每个正三角形的内角为
60°,每个正方形的内角为90°,得
60m+90n=360,
整理,得2m+3n=12,
因为m、n为正整数,故满足条件的m,n的值只有m=3,n=2.这图2
表明用正三角形和正方形密铺,在一个顶点处需要正三角形3个,正方形2个,其示意图如图2所示.
(2).用正三角形和正六边形
密铺,在一个顶点处各需多少个?
设需要正三角形m个,正六边
形n个,则
60m+120n=360, 图3
解得m=4,n=1;或m=2,n
=2.此即表明:用正三角形和正六边形密铺,在一个顶点处需正三角形4个,正六边形1个;或正三角形2个,正六边形2个.其示意图如图(1)提出问题:
那么能用三种不同的多边形进行密铺吗?若能,请你选择以上多边形中的三种,列举一个例子,并说出一种密铺的方案。
(提示:可选用正多边形)
展示几种多边形组合成的密铺图案。
5、作品展示,欣赏评价
6、应用设计:
用2分钟的时间独立完成一个密铺设计,看谁设计得漂亮美观!
(完成后展台展示有代表性的作品,启发学生欣赏他人的优秀创作,分析他人设计的思路,提高自己的审美情趣及思维水平,然后展示教师的艺术设计)
三.全课总结
1、能够单独进行密铺的任意多边形有哪些?
2、能够单独进行密铺的多边形有哪些?
3、密铺时应注意哪些问题?
4、介绍有关密铺的历史知识 课件展示
四. 快乐达标
1 下面给出的同一种平面图形,不能进行密铺的是:
(1) 三角形 (2)四边形 (3)正五边形 (4)正六边形
2 .用一种正多边形铺地面时,只有______、______、______三种能铺满地面.
3. 正五边形不能进行密铺的原因是它的每个内角是----度,-----度不是这个度数的整数倍,因此在每一个拼接点处,拼上三个内角不能做到没有----,而拼上四个内角必定有------现象。
4. 下列正多边形中不能进行密铺的是:
(1)正六边形 (2)正八边形 (3)正方边形 (4)正三角形
5. 用几种不同边数的正多边形进行密铺,必须在一个顶点处,所有正多边形的一个内角和为:
(1)360° (2)300° (3)240° (4)180°
五. 能力升级
1. 下列正多边形的组合中,能够铺满地面的是( )
A. 正八边形和正方形 B. 正五边形和正八边形
C. 正六边形和正三角形 D. 正五边形和正六边形
2. 商店出售下列形状的地砖:①正方形;②长方形;③正五边形;④正六边形.若只选购其中一种地砖铺地面,可供选择的地砖共有( )
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
*3. 阳光中学阅览室在装修过程中,准备用边长相等的正方形,正三角形两种地砖镶
嵌地面,在每个顶点的周围,正方形、•正三角形地砖的块数可以分别是( )
A. 2,2 B. 2,3 C. 1,2 D. 2,1
4. 如图,是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分,这种多边形是几边形?为什么?
布置作业:
1、必做题:习题15.3 A组,第1题
2、选做题:用多边形的密铺装饰自己的日记封面(利用本节课所学习的多边形的密铺的知识装饰一下自己的日记封面,做一个简单的知识的应用,培养学生的应用和创造意识。)