整式基本概念及加减运算
整式基本概念及加减运算
例题精讲
板块一 代数式、单项式、多项式
代数式的定义:用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等) 把数或表示数的字母连结而成的式子叫做
代数式.
单独的一个数或字母也是代数式.
列代数式:列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.
列代数式的关键是正确地分析数量关系,要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 少、增加、增加到等数学概念和有关知识. 在列代数式时,应注意以下几点:
(1) 在同一问题中,要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示; (2) 字母与字母相乘时可以省略乘号;
(3) 在所列代数式中,若有相除关系要写成分数形式;
(4) 列代数式时应注意单位,单位名称在代数式后面写出来,如果结果为加减关系,必须用括号将代数式
括起来;
(5) 代数式中不要使用带分数,带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.
123x 2yz 2
单项式: 像-2a ,πr ,-x y ,-abc ,,……这些代数式中,都是数字与字母的积,这样的
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代数式称为单项式. 也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系,特别的单项式的分母中不含未知数. 单独的一个字母或数也叫做单项式,例:a 、-3.
1
单项式的次数:是指单项式中所有字母的指数和. 例如:单项式-ab 2c ,它的指数为1+2+1=4,是四次单
2
项式. 单独的一个数(零除外) ,它们的次数规定为零,叫做零次单项式.
44x 2y
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项数的系数. 例如:我们把叫做单项式的系数.
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同类项: 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.
7
多项式: 几个单项式的和叫做多项式. 例如:x 2-3x +1是多项式.
9
多项式的项: 其中每个单项式都是该多项式的一个项. 多项式中的各项包括它前面的符号. 多项式中不含字母
的项叫做常数项.
多项数的次数:多项式里,次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式: 单项式和多项式统称为整式.
【例1】 指出下列各式,哪些是代数式,哪些不是代数式?
⑴2x +1 ⑵3ab 2 ⑶0 ⑷a ⨯10n ⑸a +b =b +a ⑹3>2 ⑺S =πR 2 ⑻3+4=7 ⑼π
【巩固】 a ,b ,c 都是有理数,试说出下列式子的意义:
① a +b =0; ② abc >0; ③ ab ≠0; ④ ab =-1;
⑤ a 2+|b |=0; ⑥ (a -b )(b -c )(c -a )=0; ⑦ a 2+b 2;⑧ (a +b )
【例2】 讲下列代数式分别填入相应的括号内:
12a 11x -211ab ,x +x 2,m 2n -mn +3n -2,x 2+2-3 2b 333x +y x
单项式( ); 多项式( ); 二项式( ); 二次多项式( ); 整式( )
【巩固】 找出下列各代数式中的单项式,并写出各单项式的系数和次数.
22a mn x xy ;-a ;;+3;25t 7;-3a 2b 3c ;2;- 3bc 2π
【巩固】 下列代数式中那些是单项式?指出这些单项式的系数和次数:
x -12345xy
,2a b ,-,3x +1,abc
3x 3
【巩固】 写出一个系数是2004,且只含x 、y 两个字母的三次单项式是 .
【巩固】 写出下面式子的同类项:
5x 2y πc 11a ⑴ ⑵- ⑶xy 7z 2 ⑷π
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【例3】 下列各对单项式中不是同类项的是( )
23
A .-x 4y 2与(-4x 2y ) B .28x 4y 3与-15y 3x 4
4
C .15a 2b 与0.02ab 2 D .-34与-43
1
【巩固】 单项式-x a +b y a -1与3x 2y 是同类项,求a -b 的值.
3
2
【例4】 已知a b 和-3ab 3是同类项,且A =mx 2-9xy +y 2,B =3x 2-nxy +y 2,求2A -3B -A ⎡⎣+2B (-A
的值
【巩固】 已知关于x ,y 的单项式3x n +3y 3和-y 2m -1x 4是同类项,则m =,n =
【巩固】 若-9a
1
m +23
m 3n 3
{)⎤⎦}
b
22
m -n 55
与a 2b 是同类项,求m ,n 的值.
【巩固】 设m 和n 均不为零,3x y 和-5x
232+2m +n
3m 3-m 2n +3mn 2+9n 3
y 是同类项,则3= 223
5m +3m n -6mn +9n
3
x y
【巩固】 若5a b 2与0.9a 3b 是同类项,求x ,y 的值.
1
【巩固】 若x 4a y 4z b 和7x 8y a -2c 是同类项,求a +b +c 的值.
3
b ,c ,且系数为1的7次单项式共有( )个 【例5】 同时都含有a ,
A .4 B .12 C .15 D .25
【例6】 填空:若单项式(n -2)x 2y -n 是关于x ,y 的三次单项式,则n =
【巩固】 含字母x 和y ,且系数为1的四次单项式是
【例7】 将多项式x 2y -4xy 2+2x 3y -1按x 的降幂排列,并指出是几次,几项式,并指出系数最小的项.
【巩固】 下列各式中,哪些是多项式?并指出它是几次几项式.
4a x +y ⑴x 4+2x 2-1; ⑵2ab +; ⑶a 3+2ab 3+b 3-a 3b ; ⑷. 5b x
【例8】 若多项式x 4-ax 3+x 3-5x 2-bx -3x -1不含x 的奇次项,求a +b 的值
【例9】 若多项式5x 2y m +(n -3)y 2-2是关于x ,y 的四次二项式,求m 2-2mn +n 2的值
2
【巩固】 当m 取什么值时,(m +2) x m -1y 2-3xy 3是五次二项式?
【例10】 设m ,n 表示正整数,多项式x m +y n -4m +n 是几次几项式
【例11】 一个多项式按x 的降幂排列,前几项如下:x 10-2x 9y +3x 8y 2-4x 7y 3+... 试写出它的第七项及最后一
项,这个多项式是几次几项式?
7
【巩固】 已知(2x -1)=a 0+a 1x +a 2x 2+... +a 7x 7对任意x 的值都成立,求下列各式的值:
⑴a 0+a 1+a 2+... +a 7;⑵a 1+a 3+a 5+a 7
【例12】 试分别用两种不同的标准对下列多项式进行分类:3x 2-2x ,ax 2+bxy +cy 2,ab +b +a -2,1-x -x 2
【例13】 如左图,计算四边形AECF 的面积.
【例14】 如右图,用含有x 的代数式表示糟型钢材的体积.
2
【巩固】 如图所示,用x 的代数式表示零件的体积.
2x
【巩固】 如图,一块直径为a +b 的圆形钢板,从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆,求剩下钢板的面积.(φ表
示圆的直径)
板块二 整式加减
合并同类项: 把多项式中同类项合并成一项,叫做合并同类项.
合并同类项时,只需把系数相加,所含字母和字母指数不变.
【例15】 按要求将下列多项式添上括号:将多项式9-4x 2+4xy -y 2中含有字母的项放在前面带有负号的括号
内;
【巩固】 将多项式1-2a +2b -2ab +a 2+2b 2中二次项放在前面带正号的括号内,一次项放在前面带有负号的
括号内
【巩固】 若2a m b 2m +3n 与a 3b 9的和仍是一个单项式,求m 、n 的值.
【巩固】 两个三次多项式相加,和是( )
A .六次多项式 A .三次多项式 A .不超过三次的多项式 A .不超过三次的整式
【例16】 去括号,在合并同类项:2x 3-x 2+2x -4-x 2+3x -10
()()
【巩固】 化简:-x 2-x 2-x 2-x 2
51152
【例17】 化简:a 3b 2-a 2b -2ab +5a 3b 2-++3ab +ba 2
63363
【巩固】 化简:5(x +y ) 2-(y +x ) -2(y +x ) 2+3(x +y ) -(x +y ) 3
【例18】 化简:2(a -b ) 2-(b -a ) +6(b -a ) 2-11(a -b )
【巩固】 化简:(a -b ) 2-3(a -b ) 2-2(b -a ) 2
【例19】 若A =9a 3b 2-5b 3-1,B =-7a 2b 3+8b 3+2. 求:⑴2A +B ;⑵3B -A
【巩固】 求3a 2b -6a 3-b 3与6a 3-7a 2b +3b 2的和
【巩固】 若A =2x 2-5xy -3y 2,B =2x 2+3xy -4y 2,且2A -3B -C =0,求C .
【巩固】 已知A =a 2+a +1,B =a 2-a +1,求A -⎡⎣B -A -(A -2B )⎤⎦
2
【巩固】 化简:3x 2-⎡⎣7x -4(x -3) +x ⎤⎦
【巩固】 化简:4xy 2-3x 2y -{3x 2y +xy 2-[2xy 2-4x 2y +(x 2y -2xy 2)]}
【例20】 第一个多项式是x 2-2xy +2y 2,第二个多项式是第一个多项式的2倍少3 ,第三个多项式是前两个
多项式的和,求这三个多项式的和.
【巩固】 已知多项式A 与x 2+2x -3相加得-2x 2-3x +3,求多项式A
【巩固】 已知两个多项式的和为3x 2-2x +1,差是x 2+4x -5,求这两个多项式
【巩固】 求比多项式5a 2-2a -3ab +b 2少5a 2-ab 的多项式.
【巩固】 从一个多项式减去10ab -2bc +11,由于误认为加上这个式子,结果得到的答案是3bc -3ab . 求出正
确的答案.
【例21】 有这样一道题:“已知A =2a 2+2b 2-3c 2,B =3a 2-b 2-2c 2,C =c 2+2a 2-3b 2,当a =1,b =2,
c =3时,求A -B +C 的值”b =2,c =3是多余的.他的说法有没有道理?为什么?
【巩固】 若A =3x 2y +4xy +x -7,B =x 2y +3xy -3x ,且A -3B 与x 无关,求y 与A -3B 的值.
【例22】 已知A +B =3x 2-5x +1,A -C =-2x +3x 2-5. 当x =2时,求B +C 的值.
【例23】 已知代数式ax 4+bx 3+cx 2+dx +3,当x =2时它的值为20;当x =-2时它的值为16,求x =2时,
代数式ax 4+cx 2+3的值
【巩固】 已知当x =2时,代数式ax 3-bx +2的值是-1,求当x =-2时,这个代数式的值
【巩固】 设A =2x 2-3xy +y 2-x +2y ,B =4x 2-6xy +2y 2-y ,若x -3a +(y +5) 2=0,且B -2A =a ,
求A 的值.
【例24】 先化简,再求值:
1
若a =-3,b =4,c =-,求7a 2bc -8a 2cb -⎡的值. bca 2+(ab -2a 2bc ) ⎤⎣⎦7
{}
2
【巩固】 先化简,在求值:-3x 2-⎡5x -x 2-2x 2-x ⎤,其中x =2
⎣⎦3
()
【巩固】 化简求值:5(x -2y )+(x -2y )-3(x -2y )-(2y -x ),其中x =1,y =
2
2
3
4
ab =-3 【巩固】 化简求值:(3ab -2b )+⎡⎣3a -(5ab -12b -2a )⎤⎦,其中a +2b =-5,
【巩固】 若a =-1,b =-2,c =-3计算:
⑴8a n -(-2a n ) -(+8a n +1) -9a n -a n +1
⑵5a 2b -[3a 2b -(2ab 2-a 2c ) -(-7ab 2+a 2c )]
222
【例25】 已知(a +2) 2+a +b +5=0,求3a 2b -⎡⎣2a b -(2ab -a b ) -4a ⎤⎦-ab .
12
【巩固】 已知a 、b 、c 满足:⑴5(a +3)+2b -2=0;⑵x 2-a y 1+b +c 是7次单项式;
3
求多项式a 2b -⎡a 2b -2abc -a 2c -3a 2b -4a 2c ⎤-abc 的值.
⎣⎦
()
【巩固】 对任意实数x ,试比较下列每组多项式的值的大小:4x 2-5x +2与3x 2-5x -2
【例26】 比较大小:5x 2-2x -1与5x 2-3x +2
【例27】 应用整式知识解答下列各题:
⑴任意写出一个三位数,然后把这个三位数的百位数和个位数交换位置,得到另一个三位数,求证:这两个三位数的差总能被99整除
⑵一个三位数,将它的各位数字分别按从大到小和从小到大的顺序重新排列,把所得到的两个三位数相减,若差等于原来的三位数,则称这个三位数为“克隆数”。求出所有的三位“克隆数”
指出下列各式,哪些是代数式,哪些不是代数式?
① 2x +1 ② 3ab 2 ③ 0 ④ a ⨯10n ⑤ a +b =b +a
⑥ 3>2 ⑦ S =πR 2 ⑧ 3+4=7 ⑨ π 课后练习 1.
2.
3.
若ma m b 3-m 与nab n 是同类项,求(n -m ) 2003的值. 5若-0.11x a +b y a -b 与x a -1y 3是同类项,求a ,b 的值. 9
4.
5. 边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放,求左图中阴影部分的面积. 如果-a m -31m 1b 与ab 4n 是同类项,且m 与n 互为负倒数,求n -mn -3(-4) -m -11值. 443
2a
a
2a a
6.
7.
8.
9.
把下列多项式按x 降幂排列,并指出是几次,几项式,并指出系数最小的项: ⑴13y -2xy -18x 3y -7x 2y 2; ⑵-3xy 2-5x 2y -x 3y +2y -1 113211求x 2-x -与x 2-x -的差. 234345化简:x n -0.5x n +1-0.2x n +x n +1-0.3x n +1 设A =2x 2-3xy +y 2-x ,B =5x 2-8xy +2y 2-3x ,求3A -2B
10.
11.
12. 若a =-2,b =1,求代数式a 4+3ab -6a 2b 2-3ab 2-4ab -6a 2b 2-7a 2b 2-ab 2+2a 4-b 4值. 一个多项式加上2x 2-x 3-5-3x 4得3x 4-5x 3-3,求这个多项式. ()()()1若x -2与(y +) 2互为相反数,求代数式(x 2y -3xy ) -2(3x 2y -2xy ) 的值. 2