高考自主招生--一般物体的平衡条件

专题2 一班物体的平衡条件 只是概要

一、一般物体平衡条件

受任意的平面力系作用下的一般物体平衡的条件提作用于物体的平面力系合力的矢 量和为零，对与力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零，即∑F=o，∑M=o 将力向x、y轴投影，得平衡方程的标量形式： ∑Fx =O，∑Fy =0，∑Mz =0（对任意z轴） 平衡方程的另两种形式：

若在平面内选择两参考点0和0 7，平衡方程也可用一个力系平衡方程和两个 力矩平衡方程表示：

∑Fx =0，∑Mz =0，∑Mz’=0

其中0与0 7的连线不可与z轴垂直，否则方程不独立。 还可以在力的作用平面内选三个参考点O、O’和O”，写出三个力系对Oz、

"

三轴的力矩平衡方程： O'z、Oz

∑Mz =0，∑Mz’,=o，∑Mz" =0

这里O，O’，O”三点不能在同一直线上，否则方程不独立。 二、物体平衡种类 1．稳定平衡

当物体受微小扰动稍微偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它回到平衡位置 这样的平衡叫稳定平衡。特点：处于稳定平衡的物体偏离平衡位置时重心升高。 2．不稳定平衡

当物体受微小扰动稍微偏离平衡位置时，在力或力矩作用下物体偏离平衡位 置增大，这样的平衡叫不稳定平衡。特点：处于不稳定平衡的物体偏离平衡位置 时重心降低。 3．随遇平衡

当物体受微小扰动稍微偏离平衡位置时，物体所受合外力为零，能在新的平衡 位置继续平衡，这样的平衡叫随遇平衡。特点：处于随遇平衡的物体偏离平衡位 置时重心不变。

因此，确定物体平衡的种类，可以看其偏离平衡位置后受力或力矩是否使其回 到平衡位置，或看其重心的变化趋势来判断。 典型例题

例1：如图所示，匀质管子AB长为L，重为G，其A端放在水平面上，而点

C则靠在高h=L/2的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角=45°，处于平衡

时，它与水平面之间的动摩擦因数的最小值。

例2：如图代表某一竖直平面，在其面内有两根均匀细杆AB和BC，质量相 同，长度分别为l1、l2，它们共同接触水平地面，端点记为B，各自的另一端A和C 分别靠在相对的两堵竖直墙上。已知墙间距离为l，且ll1,ll2,l1l2,l1l2l 且系统处处无摩擦，试求两杆平衡时它们与水平地面倾角1，2各多大？

例3：如图所示，方桌重G=100 N，前后腿 与地面的动摩擦因数0.20，桌的宽与高相 等。求：

(1)拉力F、地面对前、后腿的支持力和摩 擦力。

(2)设前、后腿与地面间的静摩擦因数00.60。在方桌的前端用多大水平 力拉桌可使桌子以前腿为轴向前翻倒？

例4：如图所示，均匀细棒的密度为，长度为l，静 挂在细线的下端，线系在定点O上，下方的广口杯中装有 足够深的液体，其密度为0，若将杯子缓慢地竖直上移， 以逐渐增加棒浸入液体的深度，当液面上升到一定高度 时，试讨论棒发生偏斜自行回复竖直的条件。

例5： （2010南大强化）如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均

匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A，与环面 接触点为B。已知两个物体的质量线密度均为，直 杆与地面夹角为，圆环半径为R，所有接触点的摩擦 力足够大。求：

(1)地给圆环的摩擦力。

(2)求A、B两点静摩擦系数的取值范围。

例6：（2010北大） 如图，一个质量M、棱边长为L的立方体放在粗糙的平 面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不 与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及 对应的摩擦因素。设想立方体开始翻转后，施加的外力F 的大小和方向会改变，以维持F始终为最小值。

例5： （2010南大强化）如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均

匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A，与环面 接触点为B。已知两个物体的质量线密度均为，直

杆与地面夹角为，圆环半径为R，所有接触点的摩擦

力足够大。求：

(1)地给圆环的摩擦力。

(2)求A、B两点静摩擦系数的取值范围。

例6：（2010北大） 如图，一个质量M、棱边长为L的立方体放在粗糙的平 面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不

与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及

对应的摩擦因素。设想立方体开始翻转后，施加的外力F

的大小和方向会改变，以维持F始终为最小值。

巩固练习：

1.（2004交大）半径为R的匀质半球体置于水平面上，其重心在球心O正下方C 点处。OC =3R/8，半球质量为m。在半球的平面上放一质量为m/8的物体，它 与半球平面间的动摩擦系数为0.2，如图所示。则物体刚要开始滑动时离球心 的最大距离为 。

答案：0.6R

2．如图，在水平面上垒砖，每块砖都是均匀的，长都是L。每垒一块砖都往同一边 移过L/a距离，a是整数。问最多熊垒几块砖却不倒？

答案：a块

3．一扇门高3.5 m，宽1.5 m，安装在上下两个铰链上，两铰链相距3m，距门的上、 下边各为o．25 m。门重300 N，重心在门的中心。每个铰链承受门的重力的一 半。试求在每个铰链处作用于门的水平分力。

答案：F1xF2x75N

4．（2006交大）两个质量分布均匀的球，半径为r，重为P，置于两端开口的圆筒内， 圆筒半径为R(r

滑，为使圆筒不至于倾倒，圆筒的最小重量Q为多少？如果换成有底的圆筒，情 况又如何？

答案：Q2RrP；若桶有底，则不会翻。 R

5．如图所示，有一块水平放置的等边三角形的均匀钢板，重量为P，甲、乙、丙三人 各提一顶端抬起钢板，问他们各需用多大的力？

答案：都为P/3

6．（2008交大）重为80kg的人沿如图所示的梯子以底部向上攀登，梯子质量为 25 kg，顶角为30°。已知AC和CE都为5m长且用铰链在C点处相连。BD 为一段轻绳，两端固定在梯子高度一半处。设梯子与地面的摩擦可以忽略，求 在人向上攀登过程中轻绳中张力的变化规律。

答案：T125160xtan15N

7．滑轮支承点A和B可以把梁水平“固定”，每一滚轮作用于梁的力不能超过Fo， 否则滚轮将损坏，梁的质量为m，长为L，两滚轮间的水平距离为l，如图所示， 问梁的一端允许悬挂的最大荷载是多少？梁应如何放置？

答案：MF0/gm，荷载离B点xmL/2mM,l无限制。

8．(2009清华)质量为m、长为l的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒

的顶端O重合，底端A、B、C的间距均为l，如图所示。 D

(1)求A棒顶端所受的作用力F的大小。

(2)若有一质量也是m的人（视为质点）坐在A棒的中 点处，三棒仍保持不动，这时A棒顶端所受作用力 F的大小又为多大？

(3)在(2)情况下，地面与棒之间的静摩擦系数至少 答案：1mg

/2;2mg/;322/7