高一下数学期末总结

三角恒等变换

1．基本公式：

（1）两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;

cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ;

tan(α±β)=

tanα±tanβ

1tanαtanβ

对正切的和角公式有其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。 （2）二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α=2sinαcosα.

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

tan2α=

2tanα

1-tan2α

（3）降幂公式：

cos2α=

1+cos2α

cos2α

2

,sin2α=

1-2

。 （4）半角公式：

sinα

2=±-cosα2cosα1+cosα

2=±

2

tanα

-cosαsinα1-cos2=±1+cosα=1+cosα=

α

sinα （5）辅助角公式

asinα+bcosα=a2+b2

sin(α+ϕ) （其中a>0,tanϕ=bππ

a,-2

)

acosα-bsinα=a2+b2cos(α+ϕ) II）∴f(x)≥2,

π

（其中a,b>0,tanϕ=b,0π

∴2sin(2x+a

)

6)+1≥2

必掌握的九个式子：

∴sin(2x+π1

6)≥2

sinα±cosα=2sin(α±

π

π

5π4

) ∴2kπ+

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

6

3sinα±cosα=2sin(α±

π

6

)

∴kπ≤x≤kπ+

π

sinα±cosα=2sin(α±

π

3

(k∈Z)

3

)

∴f(x)≥2的x的取值范围是

cosα-sinα=2cos(α+

π

4

) {x|kπ≤x≤kπ+

π

3

,k∈Z}

cosα-sinα=2cos(α+

π

6

)

cosα-3sinα=2cos(α+

π

解三角形

3

)

一.正弦定理：

例 .已知函数

f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2

x.1.正弦定理：

a

sinA=bsinB=c

sinC

=2R

（其中R是三角形外接圆的半径） （1）求

f(x)的最大值及最小正周期；

2.变形：①a:b:c=sinA:sinB:sinC

（2）求使f(x)≥2的x的取值范围.

②角化边

解

a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC f(x)=sin(2x+

π6

)+sin(2x-

π6

)+2cos2x

③边化角

=sin2xcos

π

π

c

6

+cos2xsin

-cossin2xAsin=aR2cossinb

6

+sin2xcos

π

6

2Bx+=2R

sinC=

2R

如：△ABC6

中，①=3sin2x+cos2x+1

acos

A=bcosB，则△ABC是

等腰三角形或直角三角形 =2sin(2x+

π

6

)+1

∴

②bcos

B，则△ABC是等腰三角形。

当sin(2x+π

A=acos6

)=1f(x)max=2+1=3

3.△ABC中，已知锐角A，边b，则

T=

2π2|ω|=π

2

=π ①a

②a=bsinA或a≥b时，a有一个解；

③bsinA

二.三角形面积 1.S1∆ABC

=

2absinC=12bcsinA=1

2acsinB 2. S∆ABC

=1

2

(a+b+c)r,其中r是三角形内切圆半径. 三.余弦定理 1.余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA)b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab(1+cosC)

2.变形：cosA=b2+c2-a22bc

B=

a2+c2-b2

cos2aca2cosC=

+b2-c2

2ab

注意整体代入，如：

a2+c2-b2=ac⇒cosB=

1

2

3.三角形中线：

△ABC中， D是BC的中点，则

AD=

122

AB2+AC-2BC2

a2+b2=c2

4.三角形的形状

①若a2

+b2>c2时,角C是锐角

②若时,角C是直角

③若a

2

+b2

2

时,角C是钝角

三角形中的三角变换 （1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。

sin

A+BC2=cos2,cosA+B2=sinC

2

； （2）∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。 等差数列

（1）

定义：an+1

-an=d(n≥1,d为常数)

（2）通项公式：an=a1+(n-1)d（3）前n项和公式：

S=n(a1+an)n(n-1)n2=na1+2

d（4）通项公式推广：an=am+(n-m)d 2.等差数列{an}的一些性质

（1）对于任意正整数n，都有

an+1-an=a2-a（2）{an}的通项公式

an=(a2-a1)n+(2a1-a2（3）对于任意的整数

p,q,r,s，如果

p+q=r+s，那么ap+aq=ar+a（4）对于任意的正整数

p,q,r，如果

p+r=2q，则ap+ar=2aq(等差中项)

（5）对于任意的正整数n>1，有

2an=an+1+an-（6）对于任意的非零实数b，数列{ban}是等差数列，则{an}（7）已知{bn}是等差数列，则{an±bn}也是

（8）{a2n},{a2n-1},{a3n},{a3n-1},{a3n-2}（9）Sn是等差数列

{an}的前n项和，则

Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 仍成等差数列，即

S3m=3(S2m-Sm（10）若Sm=Sn(m≠n)，则Sn+n=（11）若Sp=q,Sq=p，则

Sp+q=-(p+q（12）Sn

=an2+bn（13）设数列{an}是等差数列，且公差为d，

若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇

-S偶=nd； ②

S奇aS=n； 偶an+1

若项数为奇数，设共有2n-1项，则①S偶

-S奇=aSn

n=a中；②奇S=-1

。

偶n（14）数列最值

（1）a1

>0，d

a10时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用

二次函数最值的求法（n∈N+）；②若已知an，则Sn最值时n的值（n∈N+）可如下确定

⎧⎨

an≥0⎧an≤0

⎩an+1≤0或⎨⎩an+1

≥0。 （15）等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+等比数列

（1）定义：a

n+1a=q(n≥1,q≠0n

（2）通项公式：an

=an-1q

（3）前n项和公式：

⎧na1

q=1S=⎪

n⎨a1(1-qn)⎪⎩

1-q

q≠（4）通项公式推广：aqn-n=am2.等比数列{an}的一些性质

（1）对于任意的正整数n，均有an+1aa=n1

（2）对于任意的正整数

p,q,r,s,如果

p+q=r+s，则apaq=ara（3）对于任意的正整数

p,q,r，如果

2q=p+r则apar=aq

（4）对于任意的正整数n>1,有

a2

n=an-1an+（5）对于任意的非零实数b，{ban}也是等比（6）已知{bn}是等比数列，则{anbn}也是等（7）如果an

>0，则{logaan}（8）数列{logaan}是等差数列，则{an}是等

（9）{a2n},{a2n-1},{a3n},{a3n-1},{a3n-2}(10)Sn是等比数列

{an}的前n项和，

①当q=－1且k为偶数时，

Sk,S2k-Sk,S3k-S2k不是等比数列.

②当q≠－1或k为奇数时Sk,S2k

-Sk,S3k-S2k

仍成等比（11）等比数列中，

Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmS 数列求和 1重要公式：

1+2+3+ n=

n(n+1)

2

； 12+22+32+ n2=

n(n+1)(2n+1)6

；

13+23+n3=(1+2+3+

n)2=[1

2

n(n+1)]2

裂项法求和an=f(n+1)-f(n)

a111n=

n(n+1)=n-

n+1

递推数列

类型1 an+1

=an+f(n)

解法：把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，

利用累加法(逐差相加法)求解。

类型2 an+1=f(n)an

类型3 an+1

=pan+q（其中p，q均为常数，

(pq(p-1)≠0)）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：

a，其中t=

q

n+1-t=p(an-t)1-p

，再利用换元法转化为等比数列求解。 类型4 an+1

=pan+qn（其中p，q均为常数，

(pq(p-1)(q-1)≠0)）。 （或

an+1=pan+rqn,其中p，q, r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q

n+1

，

得：an+1pan1qn+1=q∙qn+q引入辅助数列{bn}（其

中banp1

n=q

n），得：bn+1=qbn+q再待定系

数法解决。

类型5 递推公式为Sn与an的关系式。(或

Sn=f(an))

解法：这种类型一般利用

a⎧⎨S1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n=1)n=⎩Sn

-Sn-1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(n≥2)与

an=Sn-Sn-1=f(an)-f(an-1)消去Sn (n≥2)或与Sn=f(Sn-Sn-1)(n≥2)消去

an进行求解。

类型6a=par

n+1

n

(p>0,an>0) 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为

an+1=pan+q，再利用待定系数法求解。

空间几何体

1、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）注：长对正 高平齐 2、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y

平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h'

为斜高，l为母线）

S直棱柱侧面积=ch S正棱锥侧面积=12

ch'

S正棱台侧面积=

1

2

(c1+c2)h'S圆柱侧=2πrh S圆锥侧面积

=πrl S圆台侧面积=πrl+πRl

S2

+2πrlS2

圆柱表=2πr圆锥表=πr+πrl S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2)

（3）柱体、锥体、体积公式

V柱=Sh V圆柱=Sh=πr2h V1锥=3

Sh

V1

圆锥=3

πr2h

（4）球体的表面积和体积公式：V球=4πR33 ；

S球面=4πR

2

空间点、直线、平面的位置关系

（1） 点与平面的关系：点A在平面α内，记作

A∈α；点A不在平面α内，记作A∉α

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A∉l；

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作

l⊂α；直线l不在平面α内，记作l⊄α。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 （即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用： 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：

A∈l,B∈l,A∈α,B∈α⇒l⊂α

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两

相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：P∈AB⇒AB=l,P∈l

公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系-------平行

相交 异面

异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或

两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 （8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：a⊂α a∩α＝A a∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β 相交——有一条公共直线。α∩β＝b 5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行

⇒线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行⇒线线平行 （2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理

1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），

2）若在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行（线线平行→面面平行）， （3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） （2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） 7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为0 。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点',Ob，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a'，

形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于

直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过

①平面的平行线与平面所成的角：规定为0

两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为90

的平面角 。 ③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和7、空间直角坐标系

它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和（1）定义：如图，OBCD-D,

A,B,C,是单位正

这个平面所成的角。

方体.以A为原点，

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成分别以OD,OA,

,OB的方向为正方向，建立三条

数轴x轴.y轴.z轴。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 键在于斜线上一点到面的垂线，

1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。 （2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴（3）二面角和二面角的平面角

正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。 组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有棱，这两个半平面叫做二面角的面。

序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z) ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作

点，在两个面内M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M

．．分别作垂直于．．．

棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

的纵坐标，z叫做点M的竖坐标） ③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 （4）空间两点距离坐标公式：

d=(x2-x21)2+(y2-y1)+(z2-z1)2

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角