简单曲线的极坐标方程练习题有答案

简单曲线的极坐标方程

1. 在极坐标系中，求出满足下列条件的圆的极坐标方程

2. 在极坐标系中，求出满足下列条件的直线的极坐标方程

3. 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程

①x ＋y ＝0；②x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0) ．

(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判定曲线形状： 1

①ρcos θ＝2；②ρ＝2cos θ；③ρ2cos 2θ＝2；④ρ＝.

1－cos θ

[思路点拨] (1)先把公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线(含直线) 的直角坐标方程，再化简．

1

④∵ρ＝ρ＝1＋ρcos θ，

1－cos θ∴x ＋y ＝1＋x ，

1x ＋， 两边平方并整理得y 2＝2⎛⎝21

－0⎫，焦点为F (0，0) ，准线方程为x ＝－1的抛物线． 故曲线是顶点为⎛⎝⎭(2)先利用公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2代入曲线的极坐标方程，再化简．

[解] (1)①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0， 即ρ(sin θ＋cos θ) ＝0，

∴tan θ＝－1，θ＝3π7π

4ρ≥0) 和θ＝4

(ρ≥0) ，

∴直线x ＋y ＝0的极坐标方程为θ3π4ρ≥0) 和θ＝7π

4(ρ≥0) ．

②将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0得 ρ2＋2aρcos θ＝0，∴ρ＝0或ρ＝－2a cos θ. 又ρ＝0表示极点，而极点在圆ρ＝－2a cos θ上 ∴所求极坐标方程为ρ＝－2a cos θ

(2)①∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，即直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2， 它表示过点(2，0) 且垂直于x 轴的直线， ②∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x . ∴(x －1) 2＋y 2＝1，即ρ＝2cos θ的直角坐标方程． 它表示圆心为(1，0) ，半径为1的圆． ③∵ρ2cos 2θ＝2， ∴ρ2(cos2θ－sin 2θ) ＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2， ∴x 2－y 2＝2，

故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线．

24. 曲线x 2＋y 2＝2x ＋y 的极坐标方程是____________．

解析：∵x 2＋y 2＝ρ2，ρ≥0，∴ρ＝x ＋y ， ∴x 2＋y 2＝x ＋y 可化为ρ2＝2ρ，即ρ(ρ－2) ＝0. 答案：ρ(ρ－2) ＝0

5. 曲线ρsin ⎛⎝θ－π

4⎫⎭

＝0的直角坐标方程是______________．解析：∵ρsin ⎛⎝θ－π4＝022ρsin θ－2

2ρcos θ＝0， ∴ρsin θ－ρcos θ＝0，即x －y ＝0. 答案：x －y ＝0

6. 圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )

A. ⎛⎝5，－2π

3⎫⎭ B. ⎛2π⎝5，3⎫⎭ C. ⎛⎝5，π3 D. ⎛5⎝

5，π3⎫⎭ 解析：选D. ∵ρ＝5cos θ－3 sin θ， ∴ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝5x －3y ， 2

2

∴⎛⎝x －52＋⎛⎝y ＋2⎫⎭＝25， ∴圆心C ⎛55⎝232⎭，ρ＝

44

＝5， tan θ＝y x ＝－3，θ＝5π

3

∴圆心C 的极坐标为C ⎛⎝5，5π3. 7. 极坐标方程ρ＝cos(π

4

θ) 表示的曲线是( )

A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线

D ．圆

解析：选D. ∵ρ＝cos ⎛π⎝4－θ⎫⎭，即ρ＝2

2(cos θ＋sin θ) ， ∴ρ2＝

2

2

(ρcos θ＋ρsin θ) ， ∴x 2

＋y 2

＝2222＋2y ，即⎛⎝

x －42＋⎛⎝y －242

＝14 8. 曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·

1

cos θ

__________． 解析：∵ρ＝tan θ·1

cos θ

，

∴ρcos 2θ＝sin θ，∴ρ2cos 2θ＝ρsin θ， ∴x 2＝y . 答案：x 2＝y

9. 直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．

[解析] (1)由公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x ＝1，

圆ρ＝2cos θ⇒ρ2＝2ρcos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0⇒(x －1) 2＋y 2

＝1， 由于圆心(1，0) 到直线的距离为1－11

22

，所以弦长为2

1－⎛1⎝2

3.

10. 已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎛⎝4，3⎫⎭，则|CP |＝________．

(2)由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 所以(x －2) 2＋y 2＝4，

所以圆心C (2，0) ，半径r ＝|OC |＝2， 如图，在△OCP 中， ∠POC ＝π

3

|OP |＝4.

由余弦定理，得|PC |2＝|OP |2＋|OC |2－2|OP ||OC |·cos ∠POC ＝42＋22－2×4×2cos π

3

＝12， 所以|PC |＝3. [答案] 3 3

11.(2015·高考全国卷Ⅰ) 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1) 2＋(y －2) 2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C 1，C 2的极坐标方程；

(2)若直线C 的极坐标方程为θ＝34(ρ∈R) ，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△

C 2MN 的面积．

[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝π

4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得

ρ2－2ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝2.

由于C 1，所以△C 1

2的半径为2MN 的面积为2

.