演绎推理习题

[学业水平训练]

1．给出下面一段演绎推理：

有理数是真分数，大前提

整数是有理数，小前提

整数是真分数．结论

结论显然是错误的，是因为( )

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．非以上错误

解析：选A.推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．

2．指数函数y＝ax(a＞1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数．以上推理( )

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．正确

解析：选B.此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选

B.

3．(2014·三门峡高二检测)在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )

A．①④ B．②④

C．①③ D．②③

解析：选A.根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．

4．(2014·黄冈高二检测)用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是( )

A．增函数的定义

B．函数y＝x3满足增函数的定义

C．若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)

D．若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)

解析：选B.“三段论”中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.

5．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是( )

A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2

C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2

b2＋c2－a2

解析：选C．由余弦定理的推论cos A＝，要使∠A为钝角，当且仅当cos A2bc

＜0，而2bc＞0.

∴b2＋c2－a2＜0.

∴a，b，c应满足的条件是a2＞b2＋c2. 6．求函数y＝log2x－2a有意义，即a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．

解析：由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.

答案：log2x－2≥0

17．用三段论证明函数f(x)＝x＋(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补x

充完整：

①______________________大前提

②______________________小前提

③______________________结论

答案：①如果函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数．

②任取x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，

x1－x2x1x2－1则f(x1)－f(x2)＝， x1x2

由于1＜x1＜x2，故x1－x2＜0，x1x2＞1，

即x1x2－1＞0，所以f(x1)＜f(x2)．

1③函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数． x

18．已知函数f(x)＝a－x，若f(x)为奇函数，则a＝________. 2＋1

1解析：因为奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0，而奇函数f(x)＝a－x的定义域2＋1

1为R，所以f(0)＝a－0＝0. 2＋1

1解得a＝. 2

1答案： 2

9．将下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)一切不能被2整除的数都是奇数，75不能被2整除，所以75是奇数；

(2)三角形的内角和为180°，钝角三角形ABC的内角和为180°.

解：(1)大前提：一切不能被2整除的数都是奇数；

小前提：75不能被2整除；

结论：75是奇数．

(2)大前提：三角形的内角和为180°；

小前提：钝角三角形ABC是三角形；

结论：钝角三角形ABC的内角和为180°.

10. 如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF.

证明：同位角相等，两条直线平行，

大前提

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提

所以DF∥EA.结论

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提

DE∥FA，且DF∥EA，小前提

所以四边形AFDE为平行四边形．结论

平行四边形的对边相等，大前提

ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提

所以ED＝AF.结论

[高考水平训练]

1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则必有( )

A．bf(a)＜af(b) B．af(b)＜bf(a)

C．af(a)＜f(b) D．bf(b)＜f(a)

解析：选B.构造函数F(x)＝xf(x)，

则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．

由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．

若a＜b，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞bf(b)．

又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，

所以bf(a)＞af(a)＞bf(b)＞af(b)．故选B.

2．若不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为________． 解析：①a＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为∅，

a＞0a＞0a＞0，②a≠0时需有⇒2⇒ Δ≤04a－8a≤00≤a≤2，

所以0＜a≤2.

综上可知实数a的取值范围是[0,2]．

答案：[0,2]

3．(2014·石家庄高二检测)求证：在锐角三角形ABC中，sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C．

ππππ证明：因为在锐角三角形中，A＋B＞，所以A＞B，所以0＜B＜A＜. 2222

π又因为在(0，)内，正弦函数是单调递增函数， 2

π所以sin A＞sin(－B)＝cos B， 2

即sin A＞cos B.

同理可证sin B＞cos C，sin C＞cos A.

把以上三式两端分别相加得sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C．

1124．已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈(0，＋∞)，且有ax＝by＝cz和求xzy

证：a，b，c顺次成等比数列．

证明：设ax＝by＝cz＝m(m＞0)，

则x＝logam，y＝logbm，z＝logcm.

111故＝logma，＝logmb，＝logmC． xyz

112再由logma＋logmc＝2logmb. xzy

∴logm(ac)＝logmb2，∴ac＝b2.

故a，b，c顺次成等比数列．