数理金融学导论补充练习及参考答案

附录：练习题目 第一章练习及参考答案

1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。1期的两个可能状态的状态价格分别为φa 和φb 。考虑一个参与者，他的禀赋为(e 0; e 1a ; e 1b ) 。其效用函数是对数形式

U (c 0; c 1a ; c 1b ) =log c 0+

12

(logc 1a +log c 1b )

问：他的最优消费／组合选择是什么？

解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是w =e 0+φa e 1a +φb e 1b 。他的最优化问题是

m ax

1a , c

b 1

c 0, c

log c 0+

12

(logc 1+log c b 1) a

s. t.

w -(c 0+φa c 1a +φb c 1b ) =0 c 0, c 1a , c 1b ≥0

其一阶条件为：

1/c 0=λ+μ01212

(1/c 1a ) =λφa +μa (1/c 1b ) =λφb +μb

c 0+φa c 1a +φb c 1b =w

μi c i =0, i =0, a , b

给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子) 而直接求解最优。因此，μi c i =0(i =0, a , b ) 。对于c 我们立即得到如下解：

c =

1

λ

, c 1a =

11

λ2φ1a

, c 2b =

11

λ2φ1b

把c 的解代人预算约束，我们可以得到λ的解： λ=

2

ω

最后，我们有

c =

12

w , c 1a =

1w 4φa

, c 1b =

1w 4φa

可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。

2. 考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。经济的参与者有1和2，他们具有的禀赋分别为：

e 1:100-

-0-0

，e 2:0-

-200-50

两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：

U (c ) =log c 0+

12

(logc a +log c b )

在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。试分析这个经济的均衡。

解答：考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。经济中 有参与者1和2，他们具有的禀赋分别为：

- e 1:100

-0-0

e 2:0-

-200-50

两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：

+ U (c ) =l o c g 0

12

(l c o +g a

c b l o g

)

在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。

现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记φ=[φa ; φa ]为状态价格(向量) ，即两个状态或有证券的价格。我们可以定义每个参与者的财

=[1;φ]；而e 是他的禀赋。这时，最优化问题变成了： e ，这里φ富为w =φ

T

m a x

c

l o c 0g +

12

(c l a o +g

c b l o g

)

s . t .

c 0+φa c a +φb c b =w

该问题的解为

c k ,0=

12

w k , c k , a =

1w k 4φa

, c k , b =

1w k 4φa

这里w 1=100而w 2=200φa +50φb 。

均衡由市场出清决定。有两个交易证券，每一市场都应该出清：

c 1a +c ,

=2a , =,

20a +110010φ

+4φa 4φa 11004φb

+4

5φ0b

=200

c 1b +c ,

2b

1200φa +50φb

=50

φb

均衡价格的解为φa =1/4和φb =1。参与者2的财富为w 2=200(1/4) +(50)(1)=100。因此，参与者2和参与者1的财富相同，尽管他们的禀赋非常不同。均衡配置是

c 1=c 2=[50;[100;25]]。这并不奇怪。给定他们具有相同的偏好和财富，他们的消费计划

也应该相同。

现在让我们来看看均衡配置。对于每个参与者，他的相对边际效用为

1

∂w U k (c k )

c k ,0w k /2===

∂0U k (c k ) (1/c k ,0) 2c k , w 2w k /(4φw )

⎧1/4,

=φw =⎨

⎩1,

(1/c k , w )

ω=a ω=b

这对于两个参与者来说是一样的。

3．一个投资者有本金x ，可以投资的钱数在0到x 之间，如果投资了y ，则会以概率p 获益y ，以1-p 损失y 。如果p >12，投资者的效用函数是对数的，则投资者应该投入多少？

解：设投入金额是ax ，0≤a ≤1，投资者的投资结果记为X ，它等于x +ax 或x -ax ，出现这两种结果的概率分别是p ，1-p ，它们的期望效用为：

p l o g (+(1a x ) +) -(1p =p l o g (+1a +) p =l o g x (+) p

) l o -g a (( x 1l o x g (+) -(p 1

) l -o a g (+1

-) p

(1 x

l o g +(a 1+) -p (1。) l -o a g

为求出a 的最优值，对上式关于a 求导

p l o g (+1a +) 得：

d da

(p l o g +(1a +) -(p 1

-(1p

) l o -g a (1

p 1-p

。 ) -l o a g (=1-)

1+a 1-a

令上式等于0，得：

p -a p =1-p +a -a p 或 a =2p -1。

所以投资者每次都应投资他现有财富的100(2p -1)%。例如，如果获利的概率p =0.6，则投资者应该投资全部财富的20%。如果p =0.7，他应该投资40%。（当p ≤1/2时，容易证明最优投资数量为0。）

第二章练习及参考答案

1. 设当前无风险利率为6%，市场回报率的均值和标准差分别为0.10，0.20。如果给定股票的回报率与市场回报率的协方差为0.05，求该股票回报率的期望值。

解：由于

β=

所以

0.05(0.20)

2

=1.25，

r i =0.06+1.25(0.10-0.06) =0.11。

即股票的期望回报率为11%。

第三章练习及参考答案

1．考虑用100的资本投资两种证券，它们回报率的均值和标准差分别为：

r 1=0.15，v i =0.20；r 2=0.18，v 2=0.25。

若两个回报率的相关系数ρ=-0.4，投资者的效用函数为：

-e U (x ) =1

-0. 0x 05

求这两个证券的最优组合。

解：设w 1=y ，w 2=100-y ，由式

n

E [W ]=w +∑w i r i

i =1

得：

E [W ]=100+又由于c (1,2) =ρv 1v 2=-0.02，由式

n

n

2

i

0. 1y +50. 18-(1y 0=0

。) -11y 8

Var (W ) =

得：

∑w

i =1

v +

2

i

∑∑w w

i

i =1

j =i

j

c (i , j )

Var (W ) =y (0.04)+(100-y ) (0.0625)-2y (100-y )(0.02)

2

=0. 142y 5-

22

1y 6+. 5。6 25

所以我们应该选择y ，使下式的值达到最大：

118-0.03y -0.005(0.1425y -16.5y +625) /2

2

或等价的，最大化

0. 0112y -5

。0. 000y 7125

2

/2

简单计算后得知y 取下值时，上式达到最大：

y =

0.011250.0007125

=15.789。

即，当投资15.789于证券1，投资84.211于证券2时，期末财富的期望效用达到最大。将 y =15.789代入前面等式，得E [W ]=117.526，Var (W ) =400.006，最大期望效用等于：

1-exp{-0.005(117.526+0.005(400.006)/2)}=0.4416。

这可以和下述投资组合的效用比较一下：将100全部投资到证券1时，期望效用为0.3904；当100全部投资到证券2时，期望效用为0.4413。

2. 给投资人一个机会，他可以在6年之后取得20 000美元。假如他能取得10％的回报，那么现在他最多愿意付多少钱来取得这个机会?

解答：为了回答这一问题，必须以10％的折现率计算6年之后收到的20 000美元的现值。F 6为20 000，i 为10％，即0．1，n 为6年。PV IF 10,6为0．564。 1美元的现值(PVIF) ⎛1

P =$20000⨯

(1+0.1)6⎝

⎫

⎪=$20000⨯(PVIF 10,6) ⎪ ⎭

=$20000⨯(0.564)=$11280

既然这两个值在考虑了时间因素后是等价的，那么这意味着对能够从她的投资中取得10％的回报来说，选择现在收到11 280美元还是选择6年之后得到20 000美元并没什么不同。换句话说，投资人可以在今天以10％的利率投资11 280美元，那么在6年之后就会得到20 000美元。

3. 计算利率为4％时，750美元6个月的单利终值是多少？ 解答：其中，P =750, r =0.04，且t =

1

12

。于是

I =Pr t =750⨯(0.04)2=$15

并且

S =P +I =750+15=$7 6

4. 如果你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息1次的复利形式支付利息，借期1年，那么1年后你欠了多少钱？

解： 每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。因此，一个季度后你的欠款为：

1000(1+0；. 0 两个季度后你的欠款为：

+0. 02) 1000(1+0. 02) (1=

1000 (1+0. 02) ；

2

三个季度后你的欠款为：

1000(1+0.02)(1+0.02) =1000(1+0.02)；

2

3

四个季度后你的欠款为：

1000(1+0.02)3(1+0.02) =1000(1+0.02)4=1082.40。

5．许多信用卡公司均是按每月计息1次的18%的年复合利率索要利息的。如果在1年的年初支付金额为P ，而在这1年中并没有发生支付，那么在这1年的年末欠款将是什么？

解：这样的复合利率相当于每个月以月利率18%=1.5%支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。因此，一年后你的欠款为： P(1+0.015)12=1.1956P 。

6．如果一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地计算利息，那么每年的有效利率应该是多少？

解：有效利率应为： r e f f =

P e

0. 05

-P

P

=e

0. 05

。-1≈0. 0512 7

即有效利率是每年5.127%。

7．一家公司在未来的5年中需要一种特定型号的机器。这家公司当前有1台这种机器，价值6000美元，未来3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。该机器开始使用后第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。在每年的年初可以按固定价格22000美元购买1台新机器。1台新机器的寿命是6年，在最初使用的两年中每年折旧3000美元，这之后每年折旧4000美元。新机器在第一年的运转成本是6000美元，在随后的每年中将增加1000美元。如果利率为10%，公司应在何时购买新机器？

解：这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的六年现金流如下（以1000美元为单位）：

● ● ● ●

在第一年的年初购买新机器：22，7，8，9，10，-4； 在第二年的年初购买新机器：9，24，7，8，9，-8； 在第三年的年初购买新机器：9，11，26，7，8，-12； 在第四年的年初购买新机器：9，11，13，28，7，-16。

为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司

在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000的运转成本；在第三年的成本为新机器22000的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了三年的机器价值的负值。其他的三个现金流序列可以通过相似的方法推得。

对于年利率r=0.10，第一个现金流序列的现值为 7

22+

1. 1

+2

(1. 1) 8

93

(1. 1)

10

4

4=46. 0。8 35(1. 1) (1. 1)

其他现金流的现值可用同样的方法计算出。这四个现金流的现值分别是 46.083，43.794，43.760，45.627． 因此，公司应在两年后购买新机器。

8．一个打算在20年后退休的人，决定在今后240个月的每月月初在银行存款A ，使得他可以在随后的360个月的每月月初提款1000美元。假设每月计息1次的名义年利率为6%，那么A 的值应该为多少？

解：r=0.06是月利率。令β=

11+r

239

，他所有存款的现值为 1-β

240

A +A β+A β+ +A β

2

=A

1-β

。

类似地，如果W 是在随后的360个月中每月的提款额，那么所有的提款额的现值为 W β

240

+W β

241

+ +W β

599

=W β

240

1-β

360

1-β

。

这样，如果满足以下等式，他就可以实现所有的提款（同时他的账户中也不再有任何钱）： A

1-β

240

1-β

=W β

240

1-β1-β

360

。

对于W =1000，β=，可以得到

9 A =360. 9。

这就是说，在240个月中每月存款361美元，就可以使得他在随后的360个月中每月提取1000美元。

注 在这个例子中，我们使用了以下的代数恒等式：

1+b+b+ +b

2n

=

1-b

n+1

1-b

。

为了证明这个等式，我们令

x=1+b+b+ +b 注意到

x-1=b+b+ +b =b (1+b + + =b (x -因此，

(1-b)x=1-b 这就证明了该等式。

利用相同的方法，或者令n 趋向于无穷，可以证明当b

2

2n

2n

n -1

b )

n

b 。)

n +1

，

11-b

。

9．终身年金给其持有者在未来每一年年末领取数额c 款项的权利。这就是说，对于每一个i =1, 2, ，在第i 年的年末要向持有者支付c 。如果利率为r ，每年计息1次，那么这个现金流序列的现值是多少？

解：该现金流可以被复制为初始时刻在银行存入本金c r ，并在每一年的年末提取所得的利息（保留本金不动），但是在初始阶段存入任何少于c r 的金额都无法复制这个现金流，因此这个无限期现金流的现值为c r 。这个结论可以由下式推得：

c 1+r

c (1+r)

2

PV=++

c (1+r)

3

+

⎡⎤11

=++ ⎥⎢1+2

1+r ⎢1+r (1+r )⎥⎣⎦

c

=

c 1+r

1-

111+r

=

c r

。

第四章练习及参考答案

1. 考虑3个资产A 、B 以及C 。它们具有如下的风险特征：它们年收益率的标准差为50％；β值分别为0、1.5以及-1.5。另外，市场年收益率的均值为r M =12%，标准差为σM =20%，无风险利率为4％。由CAPM ，这三个资产的风险溢价是多少?

解答：首先，市场组合的风险溢价是r M -r F =0.12-0.04=8%。我们有

r A -r F =(0)(0.08)=0r B -r F =(1.5)(0.08)=12%r C -r F =(-1.5)(0.08)=-12%

尽管资产A 有相对较高的波动率，但它全是剩余风险，因而没有溢价。它的期望收益将和无风险利率一样，都是4％。资产B 和C 的资产收益波动率有很大一部分来自市场风险。特别地，市场回归的R 2都是(1.5)(0.2)/(0.5)=0.36。然而，它们的溢价却不相同。资产A 有正的12％的溢价，而资产B 有负的12％的溢价。

如用收益的方差来度量，尽管三个资产有完全相同的总风险，但是风险的构成是不一样的。资产A 的风险与市场风险完全无关。因此，它没有风险溢价。资产B 和C 都有很大的市场风险。但是，它们的风险溢价不同。资产B 的β值为正，因而它的收益与市场收益正相关。给定参与者都持有市场组合，资产B 的风险是不受欢迎的。因此，它有正的溢价。资产C 的β值为负，即它的收益与市场收益负相关。也就是说，当市场表现好时它的收益较低，但市场表现差时它的收益反而较高。对于一个持有市场组合的参与者来说，资产C 实际上提供了一个保险。因此，它有负的溢价。也就是说，参与者愿意为了持有它而付出一个

2

2

2

溢价。事实上，资产C 的期望收益是r C =4%-12%=-8%，它是负的。也就是说，排除了不确定性，资产C 得到的平均回报是每年-8%，而市场中的无风险收益率是4％。如果理解了资产C 提供的实质上是对市场风险的一个保险，那么这个结论就不足为奇了。

2. 计算在超常增长时期末股票的价格。如果股票第3年的股利为：

D 3=D 1(1+g ') =$3.125⨯(1+0.05) =$3.28

其中g '=5%，试求3年期末股票的价格。 解答：股利的现值

=

D 1(1+r )

1

+

D 2(1+r )

2

=

$2.50(1+0.12)

+

$3.125(1+0.12)

2

=$2.05⨯(PV IF 12%,1) +$3.125⨯(PV IF 12%,2) =$2.50⨯(1.25)+$3.125⨯(0.797) =$2.23+$2.49=$4.72

因为股票的价格为： P 2=

D 3r -g

=

$3. 280. 12-

6=$46. 8

0. 05

所以股票价格的现值

=$46.86⨯(PVIF 12%,2) =$46.86⨯(0.797)=$37.35

将得到的这两个现值相加得到普通股的价值。

+ P 0=$4. 72

$37. =35

$ 42. 07

3．（股票定价）企业1在时期t =1将发行100股股票，该种股票在时期t =2的价值为随机变量V 1(2)。企业的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是

1⎧

1000, P =⎪⎪2

V 1(2)=⎨，C ov (X 1, X 2) =

0.045=0.3.

1⎪800, P =

⎪⎩2

r =0.10，E (X M ) =0.20

试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。

解： 应用证券市场线性方程 E (X 1) =r +

E (X M ) -r

cov(X 1, X M )

σ(X

2

M

)

=0. 10+

0. 20-

0. 10

⨯0. 04=5

0. 09

5$0。. 1

即普通股所需的收益率为15%，这就意味着市场将以15%的贴现E [V 1(2)]，以确定股票在时期1的市场价格，于是我们有

E [V 1(2)]=

12

⨯1000+

12

⨯800=900$。

以15%贴现，V I(1)=900/1.15$，因有100股，故每股价值为7.83$。

第五章练习及参考答案

1. 二项分布的期望值。一个三期的二叉树，股价的参数为S 0=20, u =1.1, d =0.9,

q =0.8, 如果期权在到期日的收益为：

(S 3-21)

+

求其期望值。

解答：S 3的可能值为26.62、21.78、17.82、14.58，分别对应于X 取值3、2、1、0．将这些值代人公式(5—18) 求得概率为0.512、0.374、0.096、0.008．到期时期权的收益分别为5.62、0.78、0、0，因此期望收益是

5.62(0.512)+0.78(0.374)+0=3.17(美元)

2. 考虑一个普通股，在开始的两年内其股利预期增长率为25％，随后，预期增长率下降到5％。上期支付股利为2美元。投资者希望取得12％的回报。计算该股票的价值。

解答：考虑一个普通股，在开始的两年内其股利预期增长率为25％，随后，预期增长率下降到5％。上期支付股利为2美元。投资者希望取得12％的回报。为了计算该股票的价值，可采用如下步骤：

第一步，计算在超常增长时期的股利，并求出其现值。假定D 0为2美元，g 为15％，r 为12％：

D 1=D 0(1+g ) =$2⨯(1+0.25) =$2.50D 2=D 0(1+g ) =$2⨯(1.563)=$3.125

2

或 D 2=D 1(1+g ) =$2.50⨯(1.25)=$3.125 股利的现值

=

D 1(1+r )

1

+

D 2(1+r )

2

=

$2.50(1+0.12)

+

$3.125(1+0.12)

2

=$2.05⨯(PV IF 12%,1) +$3.125⨯(PV IF 12%,2) =$2.50⨯(1.25)+$3.125⨯(0.797) =$2.23+$2.49=$4.72

第二步，计算在超常增长时期末股票的价格。第三年的股利为： D 3=D 1(1+g ') =$3.125⨯(1+0.05) =$3.28 其中，g '=5% 因此股票的价格为： P 2=

D 3r -g

=

$3. 280. 12-

6=$46. 8

0. 05

股票价格的现值

=$46.86⨯(PVIF 12%,2) =$46.86⨯(0.797)=$37.35

第三步，将从步骤1和步骤2得到的这两个现值相加得到普通股的价值。

+ P 0=$4. 72

$37. =35

$ 42. 07

3．股票现在的价值是50元。一年后，它的价值可能是55元或40元。一年期利率是4％。假设希望计算两种看涨期权的价格，一种的执行价为48元，另一种的执行价为53元。我们也希望一执行价为45元的看涨期权。问，应该如何用

V 0=e

-rt

[PU +(1-P ) D ]=e

-rt

E P [V 1]

求出这三个价格？其中的P 、U 和D 如图

解答：股票现在的价值为50美元。一年后，它的价值可能是55美元或40美元。一年期利率为4%。假设我们希望计算两种看涨期权的价格，一种执行价格为48美元，另一种执行价为53美元。我们也希望为一种执行价为45美元的看涨（书中是“涨”字）期权定价。

第1步：从股票二叉图得到q 。 由于 55 1. 0⨯4

5=0

q 5+5

4-0q ( 1 q

从 50 52=55q +40(1-q )

我们得到 1-q 12=5q 5-

4q 0=

40 q 1 5

所以 q =

1215

=0.8

第2步：对衍生产品价值U 和D 求平均。

1． 如果看涨期权执行价为48美元，那么U =7以及D =0，看涨期权的价格为：

[q ⨯7+(-1q ⨯)

1. 041

=05. 6

（5美. 3元8） 1. 04

2． 如果看涨期权执行价为53美元，那么U =2，看涨期权的价格为：

(0. ⨯81. 041

2+

01. 6

1. 04

1. （5美4元）

3． 如果看跌期权执行价为45美元，那么U =0以及D =5，看跌期权的价格为：

4．我们考虑这样的期权定价问题：股票的初始价格是100并且假设一段时间后股票的价格只可能是200或者50。如果在0时刻我们能以每股C 的价格买入一个期权，这个期权使我们在时刻1能以每股150的价格购买股票，那么当C 的值为多少时稳赢的赌博不可能

(0+0. ⨯2

1. 041

51. 0

1. 04

0（. 9美6元）

存在？

解：在本章的背景下，试验的结果是时刻1时的股票价格，因此，有两种可能的结果。与此同时也存在两种不同的赌博：买（或者卖）股票和买（或者卖）期权。由套利定理我们知道，如果在结果集上存在概率(p ,1-p ) 使得这两种赌博的期望收益现值为零，那么就不会有稳赢的情况出现。

购买一股该股票收益的现值为：

200(+1r

50(+1r

-1

) - 0 如果在时刻1时的价格是200， 1 0

如果在时刻1时的价格是50。 1 0 0

-1

) -

因此，若在时刻1时股票价格是200的概率为p ，那么

⎡200⎤⎡50⎤

E [收益]=p ⎢-100⎥+(1-p ) ⎢-100⎥

⎣1+r ⎦⎣1+r ⎦

=p

1501+r

+

50

-100。 1+r

令这个式子等于零，我们就得到： p =

1+2r 3

。

由此可见，若赌博为购买股票，那么使得该赌博的期望收益是零的概率向量(p ,1-p ) 只可能是p =(1+2r ) /3。

此外，购买一个期权收益的现值为： 50(+1r

-1

) -C 如果在时刻1时的价格是200，

-C 如果在时刻1时的价格是50。 因此，当p =(1+2r ) /3时，购买一个期权的期望收益是：

E [收益]=

1+2r 503

1+r

-C 。

根据套利定理，我们就得到了不可能存在稳赢策略时C 的唯一值是：

C =

1+2r 503

1+r

；

即，

C =

50+100r 3(1+r )

，

5．假设一个证券现在的售价是30，名义利率是8%（单位时间为1年），这种证券的波动率是0.20。求一个3个月后到期且执行价为34的买入期权的无套利价格。

解：本题中的参数是：

5 r =0. 08 t =0. 2，， σ=0. 20， K =34， S (0) =

3，0

所以我们就有

ω=

由此得到

0.02+0.005-log(34/30)

(0.2)(0.5)

≈-1.0016。

C =30Φ(-1.0016) -34e

-0.02

Φ(-1.1016)

=30(0. 158-27)

3 ≈0. 238。

(34(0. 9802)

这个期权合适的价格就应该是24美分。

6．函数f (x ) 称为是凸的是指，如果对所有的x 和y ，以及0

f (λx +(1-λ) y ) ≤λf (x ) +(1-λ) f (y )

函数凸性的几何解释是，λf (x ) +(1-λ) f (y ) 是f (x ) 和f (y ) 连线上的点，它给f (x ) 的权重与在x 和y 的连线上的点λx +(1-λ) y 所给予点x 的权重是相同的。因此，凸性的几何解释又是，连接曲线f (x ) 上任意两点的直线总在这段曲线之上。

试证明下面的结论。

命题 令C (K , t ) 是以某种特定证券为标的买入期权的价格，这个期权的敲定价为K ，

到期日为t 。

（a) 对于固定的到期日t ，C (K , t ) 关于K 是凸的非增函数。 （b) 对于任意的s >0，有C (K , t ) -C (K +s , t ) ≤s 。 解：凸函数的几何意义如下图所示

f (x )

λf (x ) +(-1λ

f (λx +(1 f (y ) -λ) y )

x λx +(1-λ) y y 凸函数的几何意义

如果用S (t ) 来表示标的证券在t 时刻的价格，那么在t 时刻买入期权的回报是： S (t ) -K 若S (t ) ≥K ，

这就是说，

+

期权的回报=(S (t -) K ，)

) f

(y )

若S (t )

其中，x +（称为x 的正部）定义为：当x ≥0时取值x ，当x

S (t ) K 函数(S (t ) -K ) 的图像

为了证明C (K , t ) 是关于K 的凸函数，假设

K =λK 1+(1-λ) K 2， 0

1） 购买1(K , t ) 买入期权。

+

+

2） 购买λ(K 1, t ) 买入期权和(1-λ)(K 2, t ) 买入期权。

因为投资1）在t 时刻的回报为(S (t ) -K ) +，而投资2）在t 时刻的回报为

++

λ(S (t ) -K 1) +(1-λ)(S (t ) -K 2) ，由函数(S (t ) -K ) +的凸性可知，投资2）的回报至少

应该和投资1）的回报一样大。因此，由广义一价律，要么投资2）的成本至少和投资1）的成本相等，要么存在套利。这就是说，要么

C (K , t ) ≤λC (K 1, t ) +(1-λ) C (K 2, t )

要么存在套利。这证明了函数C (K , t ) 的凸性。对于C (K , t ) 关于K 的非增函数的证明，作为练习留给读者。

要证明b ) 部分，应该注意到，如果C (K , t ) -C (K +s , t ) >s ，那么通过卖出一个t 时刻到期、敲定价为K 的买入期权，并买入一个t 时刻到期、敲定价为K +s 的买入期权，就可以得到套利机会。因为敲定价为K 的期权的回报比敲定价为K +s 的期权的回报，最多多出s ，因此从这个投资组合总会得到正的利润。

第六章练习及答案

1. 计算与每月按复利计息的5％的利率等价的有效利率r 。

解答：在一年中，有效利率为r 的1期终值为1+r ，按5％的利率每月计息的复利终值为(1+0.05/12) 。令

1+r =(1+0.05/12)

12

12

得出

r =(1+0.05/12)

12

-1

=1.05116190-1=0.05116190

或5.116%

2. 假设我们对债券市场建立模型．选择a =0.005和b =0.03, 我们知道今天的利率是

r =0.052．那么5年和10年的零息券的今日价格分别是多少? 这些债券的当前收益率是多

少?

解答：价格只受到到期日的影响，我们取T -t =5和T -t =10。 5年债券：

-5⨯0.052-

0.0052

⨯5+

2

0.036

2

⨯5=-0.30375

3

所以P (t , t +5) =e -0.30375=0.738。就是说，一张面值为1000美元的5年债券今天 的价格应该是738美元．它的当前收益率是0.30375／5=0.0607，持有至到期日的年收益 率是6.07％． 10年债券：

-10⨯0.052-0.0025⨯10+0.00015⨯10=-0.62

2

3

所以P (t , t +10) =e -0.62=0.538．就是说，一张面值为1000美元的10年债券今天 的价格应该是538美元．它的当前收益率是0.62/10，持有至到期目的年收益率是6.2％．

3. 计算等价于5％的有效利率的按复利每季计息的名义利率j 。

解答：在一年中，按j 的利率每季计息的复利终值为(1+j /4) 4，并且有效利率为5％ 的1其终值为1.05。令

(1+j /4) =1.05

4

得到

1

1+j /4=(1.05)4

于是

1

j =4[(1.05)4-1]

=4(0.01227223)=0.04908892

或4.909% 4. 已知

r (s ) =

11+s

r 1+

s 1+s

r 2,

求出收益曲线和现值函数。

解：改写r (s ) 为

r (s ) =r 2+则可以给出以下的收益曲线 (t ) =

1

r 1-r 21+s

，s ≥0，

r 1-r 2⎫⎛r + 2⎪ds ⎰0t ⎝1+s ⎭

t

=r 2+因此，现值函数为

r 1-r 2

t

log(1+t ) 。

P (t ) =e x p -r t ( ) }

=exp{-r 2t }exp{-log((1+t ) =exp{-r 2t }(1+t )

5．（债券定价）有一个面值为100元的债券，约定到期付息8％，假定在债券有效期内有70％的时间可以赎回本金并获得利息，30％的时间不能还本付息，但将制伏0元的承保金，即可将债券在时期2的价值表示为

⎧108, P =0.70

B (2)=⎨

⎩50, P =0.30

r 1-r 2

r 1-r 2

)}

。

设cov(B , X M ) =7，其它数据如上题，试确定债券在时期1的合理价值。

解 由证券市场线性方程可得确定等价定价公式

P 0=

E (P e ) -λcov(P e , X M )

1+r

由此结果得债券在时期1的合理价值

E (B ) -{[E (X -) M

P B =

r

2

(X M

}

) c o v B (M X ,

1+r

)

= =市场所需的期望收益率为

90. 6-0[

(0. -201. 10

. 10]) ⨯0. 09

7

90. 6-0

1. 10

7. 78

=

82. 82

=75. 29。$ 1. 10

E (X B ) =

90. 6-0

75. 2915. 31

==20. 33 %

75. 2975. 29

第七章练习及参考答案

1．某公司在时期1的市场价值为900元。现有一项目，其在时期2的期望收益为

E (V ) =1000，E (X M ) =0.15，r =0.05

公司现在考虑一个新的投资项目，其单位成本为60元。在时期2的现金收益流为

E (F ) =130，cov(F , X M ) σ(X M ) =250，试回答，该公司管理者应该怎样考虑这个项

2

目？

解 由确定等价定价公式

E (V i ) -P 0=

E (X M ) -r

cov(V i , X M )

σ(X

2

M

)

1+r

，

得

1000-0.10900=

cov(V i , X M )

σ(X

2

M

)

1.05

。

求解上式得

cov(V i , X M )

=550$。

σ(X

又

2

M

)

cov(V i +F i , X M ) =cov(V i , X M ) +cov(F i , X M ) ，

故

cov(V i +F i , X M )

=550+250=800$。

σ(X

又

2

M

)

, F ) =1000+130=1130， E (V i i

假如投资新项目，那么公司在时期1的总收入（不考虑投资成本）是

E (V i +F i ) -

c o v V (i +F i X , M

)

E (X (M -) r

)

P 0=

+

σ(X

2

M

)

1+r

=

1130-80⨯0

1.05

0. 101050

==1000$。 1.05

因为公司市场价值P 0+比原来的P 0上涨了100$，而投资成本为60$，故可以得到补偿，所以可以投资新项目。

2. 一家企业面临一项确定性的投资项目，现在投资的资金流出和未来的收入现金流都是确定的。假如这个项目是1阶段的，在t =0时期需要投资10 000元，到t =1时期(1年后) 便可以确定性地收入13 000元。现在金融市场上1年期的无风险证券的收益率是15％。问：如何做出投资决策?

解答：记现在的投资现金流出为CF 0=-10000元，1年后的收入现金流为

C F 1=-13000元。这个项目的投资是无风险的，因为将来发生的现金流是确定的。所以，

机会成本应该是1年期无风险证券的收益率15％。下面分别计算所发生的现金流的现值和净现值：

PV =(C F 0) =-10000 (元) ，P V =(C F 1) =

130001.15

=11300 (元)

N PV =PV (C F 0, C F 1) =PV (C F 0) +PV (C F 1)

=-10000+11300=1300

(元)

结论是：此项投资可行，投资结果将使企业价值增大1 300元。

显而易见，现值的计算与现金流发生的时点有紧密的联系。因此，对于资产估值与定价来说，时间是金融决策的一项基本要素。

3. 如果上题的项目未来t =1时期(1年后) 发生的收入现金流是不确定的(有风险的) ，其预期值(概率平均值) 为13 000元，问：如何做出投资决策?

解答：此时需要测算该项目的机会成本，假设测得机会成本为35％，则可计算所发生的现值和净现值为：

PV =(C F 0) =-10000 (元) ，P V =(C F 1) =

130001.35

=9630 (元)

N PV =PV (C F 0, C F 1) =PV (C F 0) +PV (C F 1)

=-10000+9630=-370

(元)

结论是：此项投资不可行，如果进行投资，企业的价值(请注意：企业的价值是市场价

值，即企业的现值) 将会减少370元。

因此，现值的计算取决于现金流的风险。对于资产估值与定价来说，风险是金融决策的另一项基本要素。的研究发现净现值法判据的不足之处，从而作为重大的改进提出了实物期权方法。

第八章练习及参考答案

1. 假设你向银行借款100000美元买房，负责贷款的经理告诉你可以以0.6%的月利率贷款15年，每月分期偿还。如果银行要收取贷款初始费用600美元，房屋检验费400美元，以及贷款额的1个百分点，那么银行提供的贷款的实际年利率是多少？

解答：解：首先我们考虑这个贷款的每月抵押支付，记之为A 。由于100000美元的贷款需要在未来的180个月中以月利率0.6%偿还，所以

A [α+α2+ +α180]=1000，0 0其中α=1。因此，

100000(1+α)

A =

α(1-α

180

)

=910.05。

因此如果你实际得到了100000美元，在180个月中每月偿还910.05美元，那么实际月利率应该是0.6%。但是考虑到银行收取的初始贷款费用、房屋检验费以及一个百分点的贷款额（这意味着收到贷款时，银行将收取名义贷款额100000美元的1%），你实际只得到了98000美元。因此有效月利率应该满足下式的r 的值： A [β+β+ β其中β=(1+r ) 。因此，

-1

2

180

=]980，0 0

1-β

β(1-β1-β

180

)

=107.69

或者，由

β

=r 得

⎛1⎫1- ⎪

⎝1+r ⎭

r

180

=107.69。

利用实验误差法求上面方程的数值解（由于r >0.006，很容易计算）得出：

7 r =0. 0062。

因为(1+0.00627) 12=1.0779，所以0.6%的名义月利率对应的有效年利率约为7.8%。

2. 假设1个人抵押贷款的金额为L ，需要在今后n 个月的每月月末偿还等额A 。贷款的月利率是r ，每月计息1次。

a )已知L , n , r ，那么A 的值是多少？

b )在第j 月的月末支付已经完成后，还剩下多少贷款的本金？

c )在第

j 月的支付中，多少是利息的支付，多少是本金的扣除（这很重要，因为有些

合同允许贷款提前偿还，偿还的利息部分是可减免税的）？

解：n 个月支付的现值为：

⎛1⎫

1- ⎪

A A ⎝1+r ⎭

= n

1+(1r ) +1r 1-

1+r

A r

[1-(1+r

-n

n

A 1+r

+

A (1+r )

2

+ +

=因为这必须等于贷款额L ，我们可以看出， A =其中，

a =1+r 。

Lr 1-(1+r )

-n

) 。]

=

L (a -1a ) a -

n

n

1

， （1）

例如，贷款100000美元，需要以每月计息一次的名义年利率0.09在360个月中偿还，那么

r =0.09/12=0.0075，每月支付（以美元计）为

A =

100000(0.0075)(1.0075)

(1.0075)

360

360

-1

=804.62。

令R j 表示在第j (j =0, , n ) 月月末支付完当月偿还额后还欠的本金余额，为了确定这几个

量，应该注意到，如果在第j 月的月末欠款为R j ，那么在第j +1月月末未发生支付前的欠款应该是(1+r ) R j 。由于每个月末的支付额为A ，所以有

R j +1=(1+r ) R j -A =aR j -A 。

从 R 0=L 开始，我们得到： R 1=a L -

； A

R 2=aR 1-A =a (aL -A ) -A =a 2L -(1+a ) A ； R 3=aR 2-A

=a (a 2L -(1+a ) A ) - A =a 3L -(1+a +a 2) A 。 一般地，对于j =0, , n ，有

R j =a L -A (1+a + +a a -1

=a L -

a -1

j

j

j j -1

)

La (a -1)

=a L -（由等式（1）） n

a -1

j

n j

=

L (a -a ) a -1

n

n j

。

令I j 和P j 分别表示在第j 月月末支付的利息和本金的扣除额。由于R j -1是到上一个月月末的欠款额，因此有

I j =rR j -1

L (a -1) a (-a

a -1

n

n

j -1

=和

)

P j =A -I j =

L (a -1) n n

[a -(a -a n

a -1

-j 1

) ]

=

L (a -1) a a -1

n

j -1

。

可以用下面的式子验证上面的结果：

n

∑P

j =1

j

=L 。

我们发现，相邻月间返还的本金额以倍数a =1+r 增长。例如，在一个期限为30年、利率是每月计息一次的9%的年名义利率、本金为100000美元的贷款中，第一个月支付的804.62美元中只有54.62美元是贷款本金的扣除额；而其余的都是利息。在接下来的每一个月，用于偿还本金的支付额以倍数1.0075增长。