圆锥中点关于直线对称

圆锥曲线中存在点关于直线对称问题

在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点A,B关于直线L对称，求方程中参数的范围.

对于此类问题抓住两点A,B关于直线L对称，对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1或k1，k2中一个为0，一个不存在）和两点连线中点C在对称直线L上(也是L与LAB的交点)，

分析一：（第一种通法）由于LAB与圆锥曲线交于两点AB，所以LAB与圆锥曲线方程联立方程组，得一元二次方程，△＞0求参数的范围，步骤如下：

1．假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程.

2．联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.

3．把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.

4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.

分析二：（第二种通法）由于中点C为相交弦AB的中点，所以可用点差法，求出参数与中点的关系，又中点C在对称直线L上，故可用参数表示中点的坐标代入不等式，求出参数的范围第二种通法，不过首先说明以下两个问题：

1弦中点位置问题

○

弦中点在内部 弦中点在Ⅰ（交点在同一支上） 弦中点在抛物线“内部”

2范围问题 ： 或Ⅱ（交点不在同一支上） 抛物线：y2=2px ○

x2y2x2y2

椭圆： ＋ =1 双曲线 ： － =1 M（x0，y0）为中点，则 abab

M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则 y2

x2y2x2y2

＋ 1（交点AB在同一支上） abab

xy分析： 或 2－2（交点AB在两支上） ab

步骤如下：1.设出两点和中点坐标（x，y）；

2.用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；

3.联立直线方程，求出交点，即中点；

4.由中点位置及对应范围求出参数取值范围. 22

x2y2

1,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两例1：已知椭圆C：23

点关于这条直线对称.

解法一：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x0,y0），

2521则AB所在直线为y=－x＋b.与椭圆联立得：x－bx＋2b2－6=0， 48

∴

x0=

y0=

∴x1＋x24b = 225y1＋y214b24b = －×+b= ∵ C在y=4x＋m上, 24252524b4b25m25= ×4＋m, b=.又∵ △=b2－4× (2b2－6)>0, 258825

故 b2

由上可知:

当 －2525m2252222,即(－)

解法二：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x,y），则

3x12＋2y12=6

3x22＋2y22=6, 得 3x3(x1x2)y1－y21=－=－0=－ ,∴ y0=6x. 0 4x1－x22(y1y2)2y0

m, y0=3m, 2联立y0=4 x. 0＋m,解的x. 0=

m23m22222∵M在椭圆内部，∴

由上可知:

当 －22222

2y2

.例2．已知双曲线x－ =1,双曲线存在关于直线l：y=k x＋4的对称点，求k的取值范围. 3

1注：对于此类求斜率k范围要考虑k=0和k≠0，因为要用到－ . k

解法一：由题意k≠0:设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x0,y0），

1y22则AB所在直线为y=－x＋b.代入x－ =1得：(3k2－1)x2＋2kb x－(b2+3) k2=0， 3k

显然3k2－1≠0,即k2 ≠1kbx1＋x2 x0= = 2233k1

1kby1＋y23kby0= = －×2+b= 22k3k13k1

kb3k2b3k2122∵ C在y=k x＋4上,∴2= k ×2＋4, ∴k b=3k－1∴b= 3k13k1k2

又∵ △= 4k2 b2+4×(3k2－1) (b2+3) k2>0, ∴k2 b2+3k2－1>0∴k2 b2+ k2 b>0∴ b2+ b>0∴b>0或b

113k213k21>0或或－

由上可知:当 k

2113或k>或－

解法二：由题意k≠0:设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x0,y0），

3x12－y12=3

3x22－y22=3, 得 y1－y23(x1x2)3x01 ===－,∴ y0=－3kx. 0联立y0= k x. 0＋4 x1－x2kyyy120

22yy122解得x. 0=－ y0=3, x0－0>1（交点AB在同一支上）或x0－0

2121∴k且 k≠0解得: k 或－

由上可知:当 k 或－

例3．k为何值时，抛物线y2=x上总存在两点关于直线l：y=k（x－1）＋1对称(同上) 另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法： 例：在抛物线y= ax2－1上存在两点关于直线x＋y=0对称，求a的范围.

解：显然a≠0.

设存在两点为A（x1,y1）、B(x2,y2)，

y1－y2ax12－ax221 = = a（x1＋x2）=1，即x1＋x2= ， ax1－x2x1－x2

y1＋y2x1＋x21－a＋=0，即x1x2= ，这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中22a因为存在这样的两点， 点关系求出两根之和、两根之积

1－a1故方程x2－ x＋ =0的△>0，当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两 aa即 1－a13－4>0，a> .点关于直线对称所产生的垂直及，构造方程，利用△求出参数范aa4

围. 中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别

1弦中点位置问题点M为相交弦AB的中点

○x2y2x2y2

：椭圆： ＋ =1M（x0，y0）为中点，则

xy ： － =1 ab22

xyx2y2

M（x0，y0）为中点，则 － >1（交点AB在同一支上）或 2－2

（交点AB在两支上）

弦中点在抛物线“内部” 抛物线：y2=2pxM（x0，y0）为中点，则y2