第五讲棱柱与棱锥
第五讲棱柱与棱锥
一、知识点
1.有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.
2.棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个顶点出发的三条棱的平方和.
3.一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.
4.棱锥中与底面平行的截面与底面平行，并且它们面积的比等于对应高的平方比.
在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影构成直角三角形.
二、典型例题
例1.设M=｛正四棱柱｝，N=｛直四棱柱｝，P=｛长方体｝，Q=｛直平行六面体｝，则四个集合的关系为 A.M在
PNQ B.MPQN C.PMNQ D.PMQN
例2.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必
A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部
例3.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D—ABC的体积为
33a3a323
A. B. C. a D. a
1261212
例4.若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_______.（结果用反三角函数值表示）
C
例5.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为__________.
例6已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积.
D1
例7如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD. （1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论. （2）当a=4时，求D点到平面PBC的距离.
（3）当a=4时，求直线PD与平面PBC所成的角
.
例8 如图，设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC. （1）求证：S—ABC为正三棱锥； （2）已知SA=a，求S—ABC的全面积.
C
例9在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，已知D1D︰DA︰DC1︰2︰3 ,求A1B1 与对角面BB1D1D所成角的大小。
例10 如图9－3，在斜三棱柱ABC–A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱A1A与AB，AC，成 45 角，设A1A2,AB2, 求这个三棱柱的体积V和侧面积S。
例11如图9－8， 已知正三棱柱S–ABC中， E， F分别是侧棱SB,SC的中点，且平面AEF ⊥平面
SBC，求这个正三棱柱的侧面积与底面积的比 例12如图9－9，已知正三棱柱V—ABC的底面边长为a, 侧棱与底面所成的角为，过底面一边BC作此棱堆的截面PBC，试问当截面PBC与底面ABC所成的二面角为何值时，截面PBC的面积最小？并
求出此最小面积？
例13已知三棱柱P—ABC的底面为ACB90的直角三角形，CB=4，AB=20，D为AB 的中点，PDB 为正三角形，平面
PAC平面ABC
1求证PA平面PBC
2设二面角B—AP—C的大小为，求cos2的值 3设PB的中点为M，求三棱锥M—BCD的体积
三、练习题
1已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则
A.
T
等于 S
B.
1 94 9
C.
1 4
D.
1 3
2.P是长方体AC1上底面A1C1内任一点，设AP与三条棱AA1、AB、AD所成的角为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ的值是
A.1
B.2
C.
3 2
D.不确定正
3.在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC