圆与方程知识点归纳总结
圆与方程
1. 圆的标准方程:以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2. 特例:圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是:x2y2r2. 2. 点与圆的位置关系:
(1). 设点到圆心的距离为d,圆半径为r: a.点在圆内
d<r; b.点在圆上
d=r; c.点在圆外
d>r
(2). 给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2. ①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2 ②M在圆C上(x0a)2(y0b)2r2 ③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r2 3. 圆的一般方程:x2y2DxEyF0 .
ED
(1) 当DE4F0时,方程表示一个圆,其中圆心C,
22
2
2
,半径r
DE4F
2
22
.
(2) 当D2E24F0时,方程表示一个点
D2
,
E
. 2
(3) 当D2E24F0时,方程不表示任何图形. 4. 直线与圆的位置关系:
直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2 圆心到直线的距离d1)dr直线与圆相离2)dr直线与圆相切3)dr直线与圆相交
AaBbCAB
2
2
无交点; 只有一个交点有两个交点
;
;弦长|AB|=2rd
2
2
1
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组
AxByC0
xyDxEyF0
2
2
求解,通过解的个数来判断:
(1)当0时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交; (2)当0时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切; (3)当0时,直线与圆没有交点,直线与圆相离; 5. 两圆的位置关系
(1)设两圆C1:(xa1)2(yb1)2r1与圆C2:(xa2)2(yb2)2r2,
圆心距d
(a1a2)(b1b2)
2
22
2
① dr1r2外离4条公切线; ② dr1r2外切3条公切线; ③
r1r2dr1r2相交2条公切线
;
④ dr1r2内切1条公切线; ⑤
0
d
r1
r2
内含
无公切线
;
外离 外切 相交 内切 (2)两圆公共弦所在直线方程
22
圆C1:xyD1xE1yF10,
22
圆C2:xyD2xE2yF20,
则D1D2xE1E2yF1F20为两相交圆公共弦方程. 补充说明:
① 若C1与C2相切,则表示其中一条公切线方程; ② 若C1与C2相离,则表示连心线的中垂线方程. (3)圆系问题
2
过两圆C1:x2y2D1xE1yF10和C2:x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程为
xyDxEy1F11
2
2
2
xy2Dx2Ey
2
F0(1)
2
6. 过一点作圆的切线的方程: (1) 过圆外一点的切线: ①k不存在,验证是否成立
②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即
y1y0k(x1x0)
by1k(ax1)R2
R1
求解k,得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1,—2)点作圆(x+1)+(y—2)=4的切线,则切线方程为 。 (2) 过圆上一点的切线方程:圆(x—a)2+(y—b)2=r2,圆上一点为(x0,y0), 则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r
特别地,过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.
例2.经过点P(—4,—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线,则切线方程为 。 7.切点弦
(1)过⊙C:(xa)2(yb)2r2外一点P(x0,y0)作⊙C的两条切线,切点分别为A、B,则切点弦
AB所在直线方程为:(x0a)(xa)(y0b)(yb)r
2
2
2
2
8. 切线长: 若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2,则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=(x0a)2+(y0b)2r2.
9. 圆心的三个重要几何性质:
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ② 圆心在某一条弦的中垂线上;
③ 两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例.已知圆C1:x2 +y2 —2x =0和圆C2:x2 +y2 +4 y=0,试判断圆和位置关系,
若相交,则设其交点为A、B,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。
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