九点共圆的证明
什么是九点共圆?九点共圆是指:三角形三边的三个中点,三条高的三个垂足,垂心(三条高的交点)分别与三个顶点的线段的三个中点,这九点在同一个圆上。简称九点圆。
九点圆是几何学史上的一个著名问题,历史上证明此定理的有多人,如法国数学家彭赛列(1788——1867)、热而工西法(1771——1859)、德国哲学家费尔巴哈(1804——1872)。其实,欧拉在1756年就证明了“垂三角形和中位三角形有同一外接圆”,即三角形的三条高的三个垂足,三边的三个中点在同一圆上。所以人们把九点圆也称为“欧拉圆”。费尔巴哈还证明了九点圆的一些重要性质,故有人又称九点圆为费尔巴哈圆。
下面证明如下:
如图,△ABC的三条高AD、BE、CF交于H,AB、BC、AC的中点分别为N、L、M,P、Q、R分别为AH、BH、CH的中点,求证:D、E、F、N、L、M、P、Q、R九点在同一个圆上。
(分析:证D、E、F、N、M、Q、R七点张在PL上的角都等于90o)
证明:∵PM为△AHC的中位线,∴PM∥CH,∴PM∥CF;∵ML为△ABC的中位线,∴ML∥AB,∵AB⊥CF∴PM⊥ML,∴∠PML=90o
同理,∠PRL=∠PQL=∠PNL=90o(角的两边分别和一边及这边上的高平行)
∵∠PDL=90o,∴P、M、R、D、L、Q、N七点在以PL为直径的⊙O上。
∵PF为Rt△AFH斜边上的中线,∴PF=PH,∴∠1=∠2=∠3,
∵FL为Rt△BFC斜边上的中线,∴FL=LC,∴∠5=∠4,∵∠3+∠4=90o
∴∠1+∠5=90o,∴∠PFL=90o,同理,∠PEL=90o,故F、E也在以PL为直径的⊙O上,综上所述,D、E、F、N、L、M、P、Q、R九点在同一个圆上。九点共圆的证明方法较多,以上是笔者的一种证明方法。