山东高考数学文科导数典型例题
三、解答题
1. (【解析】山东省济南市2013届高三3月高考模拟文科数学)已知函数
f (x ) =(ax 2+x -1) e x ,
其中e 是自然对数的底数, a ∈R .
(1)若a =1, 求曲线f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程; (2)若a
(3)若a =-1, 函数f (x ) 的图象与函数g (x ) =实数m 的取值范围.
【答案】解:(1)因为
1312
x +x +m 的图象有3个不同的交点, 求32
f (x ) =(x 2+x -1) e x ,
x
2
x
2
x
所以f '(x ) =(2x +1) e +(x +x -1) e =(x +3x ) e , 所以曲线f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线斜率为k =f '(1) =4e 又因为f (1) =e ,
所以所求切线方程为y -e =4e (x -1) , 即4ex -y -3e =0
x 2x 2x
'f (x ) =(2ax +1) e +(ax +x -1) e =[ax +(2a +1) x ]e (2),
12a +1
时, f '(x )
2a
2a +1
当00.
a
2a +1
所以f (x ) 的单调递减区间为(-∞, 0], [-, +∞) ;
a
2a +1
单调递增区间为[0, -]
a
11
②若a =-, f '(x )=-x 2e x ≤0, 所以f (x ) 的单调递减区间为(-∞, +∞) .
22
①若- ③若a
2a +11
, 当x 0时, f '(x )
2a +1
0. a
2a +1
所以f (x ) 的单调递减区间为(-∞, -], [0, +∞) ;
a
2a +1
单调递增区间为[-, 0]
a
(3)由(2)知, f (x ) =(-x +x -1) e 在(-∞, -1]上单调递减, 在[-1, 0]单调递增, 在[0, +∞)
2
x
上单调递减,
所以f (x ) 在x =-1处取得极小值f (-1) =- 由g (x ) =
3
, 在x =0处取得极大值f (0) =-1. e
1312
x +x +m , 得g '(x )=x 2+x . 32
当x 0时, g '(x ) >0; 当-1
所以g (x ) 在(-∞, -1]上单调递增, 在[-1, 0]单调递减, 在[0, +∞) 上单调递增. 故g (x ) 在x =-1处取得极大值g (-1) =
因为函数f (x ) 与函数g (x ) 的图象有3个不同的交点,
1
+m , 在x =0处取得极小值g (0) =m . 6
⎧31
⎧f (-1)
e 6⎩f (0) >g (0) ⎪⎩-1>m
2错误!未指定书签。.(【解析】山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学)已知
函数f (x ) =
131
x -(2a +1) x 2+(a 2+a ) x . 32
(Ⅰ)若f (x ) 在x =1处取得极大值, 求实数a 的值;
(Ⅱ)若∀m ∈R , 直线y =kx +m 都不是曲线y =f (x ) 的切线, 求k 的取值范围; (Ⅲ)若a >-1, 求f (x ) 在区间[0,1]上的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)因为f ' (x )=x -(2a +1) x +(a +a )=(x -a )[x -(a +1)]
2
2
令f ' (x ) =0, 得x 1=(a +1), x 2=a , 所以f ' (x ), f (x ) 随x 的变化情况如下表:
所以a =1
(由f ' (1) =0得出a =0, 或a =1, 在有单调性验证也可以(标准略)) (Ⅱ)因为f ' (x ) =(x -
2a +121
) - 24
因为∀m ∈R , 直线y =kx +m 都不是曲线y =f (x ) 的切线,
所以f ' (x ) =(x -
2a +121
) -=k 无实数解 24
只要f ' (x ) 的最小值大于k
1 4
(Ⅲ)因为a >-1, 所以a +1>0,
所以k
当a ≥1时, f ' (x ) ≥0对x ∈[0, 1]成立 所以当x =1时, f (x ) 取得最大值f (1) =a 2-
1 6
当00, f (x ) 单调递增 在x ∈(a , 1) 时, f ' (x )
1312
a +a 32
当a =0时, 在x ∈(0, 1) 时, f ' (x )
当-10, f (x ) 单调递增 又f (0) =0, f (1) =a 2-
1
, 6
当-1
61时, f (x ) 在x =1取得最大值f (1) =a 2- 66
当-
6
6
时, f (x ) 在x =0, x =1处都取得最大值0 6
当a =-
综上所述, 当a ≥1或-1
61时, f (x ) 取得最大值f (1) =a 2- 66
1312
a +a 32
当0
当a =-
6
时, f (x ) 在x =0, x =1处都取得最大值0 6
当-
6
1
+2ax (a ≤0) . x
3错误!未指定书签。.(【解析】山东省济南市2013届高三上学期期末考试文科数学)已知函数
f (x )=(2-a )ln x +
(1)当a =0时, 求f (x )的极值; (2)当a
(3)若对任意的a ∈(-3, -2), x 1, x 2∈[1,3], 恒有(m +ln 3)a -2ln 3>f (x 1)-f (x 2)成立, 求实数m 的取值范围
【答案】解:(1)当a =0时, f (x )=2ln x +
1212x -1
, f '(x )=-2=(x >0). 2x x x x
由f '(x )=
2x -11
, 解得 >0x >
x 22
∴f (x )在 0,
⎛⎝1⎫⎛1⎫上是减函数, 在, +∞⎪ ⎪上是增函数 2⎭⎝2⎭
⎛1⎫
⎪=2-2ln 2, 无极大值 2⎝⎭
∴f (x )的极小值为f
2ax 2+(2-a )x -1(ax +1)(2x -1)2-a 1
(2)f '(x )=-2+2a ==(x >0) 22
x x x x
①当-2
⎛
⎝1⎫⎛1⎫⎛11⎫和上是减函数, 在-, +∞⎪ ⎪ , -⎪上是增函数; 2⎭⎝a ⎭⎝2a ⎭
②当a =-2时, f (x )在(0, +∞)上是减函数; ③当a
1⎫⎛1⎫⎛⎛11⎫
, +∞⎪和 0, -⎪上是减函数, 在 -, ⎪上是增函数
a ⎭⎝2⎭⎝⎝a 2⎭
(3)当-3
2
-4a +(a -2)ln 3 3
由(m +ln 3)a -2ln 3>f (x 1)-f (x 2)对任意的a ∈(-3, -2), x 1, x 2∈[1,3]恒成立, ∴(m +ln 3)a -2ln 3>f (x 1)-f (x 2)即(m +ln 3)a -2ln 3>
max
2
-4a +(a -2)ln 3对任意-3
2
对任意-3
1323813
即m
由于当-3
4错误!未指定书签。.(【解析】山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题)函
数f (x ) =
11x +x +1
2x
3; (1)求y =f (x ) 在⎡
⎢-4,-1⎤⎣
2⎦
⎥上的最值;
(2)若a ≥0, 求g (x ) =
1x +2a
x 2+x
3的极值点 【答案】
5. 错误!未指定书签。(【解析】山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学(文)试题)
已知f (x ) =x +ax -1nx , a ∈R .
(1)若a=0时, 求函数y =f (x ) 在点(1,f (x ) ) 处的切线方程; (2)若函数f (x ) 在[1,2]上是减函数, 求实数a 的取值范围;
(3)令g (x ) =f (x ) -x , 是否存在实数a, 当x ∈(0,e ](e 是自然对数的底) 时, 函数g (x ) 的最小值是3, 若存在, 求出a 的值; 若不存在, 说明理由.
【答案】
2
2
6错误!未指定书签。.(【解析】山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学(文)试
题)已知函数f (x )=ax +x +1e .
2
x
()
(I)若曲线y =f (x )在x =1处的切线与x 轴平行, 求a 的值, 并讨论f (x )的单调性; (2)当a =0时, 是否存在实数m 使不等式mx +1≥-x +4x +1和2f (x )≥mx +1对任意
2
x ∈[0, +∞)恒成立? 若存在, 求出m 的值, 若不存在, 请说明理由
【答案】
错误!未指定书签。.(山东省威海市2013届高三上学期期末考试文科数学)已知函数
f (x ) =ax 3+bx 2, f (x ) 在点(3,f (3))处的切线方程为12x +2y -27=0.
(Ⅰ)求函数f (x ) 的解析式;
(Ⅱ)若对任意的x ∈[1, +∞), f '(x ) ≤k ln x 恒成立, 求实数k 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)将x =3代入直线方程得y =-
99
,∴27a +9b =-① 22
f '(x ) =3ax 2+2bx , f '(3)=-6,∴27a +6b =-6②
①②联立, 解得a =-, b =∴f (x ) =-
1
31 2
1312
x +x 32
2
(Ⅱ)f '(x )=-x +x ,∴-x 2+x ≤k ln x 在x ∈[1, +∞)上恒成立;
即x 2-x +k ln x ≥0在x ∈[1, +∞)恒成立;
设g (x ) =x -x +k ln x , g (1)=0, ∴只需证对任意x ∈[1, +∞)有g (x ) ≥g (1)
2
k 2x 2-x +k
g '(x ) =2x -1+=, x ∈[1, +∞)
x x
设h (x ) =2x -x +k , 【D 】1.) 当∆=1-8k ≤0, 即k ≥
2
1
时, h (x ) ≥0,∴g '(x ) ≥0 8
g (x ) 在[1, +∞)单调递增,∴g (x ) ≥g (1)
【D 】2.) 当∆=1-8k >0, 即k
1
时, 设x 1, x 2是方程2x 2-x +k =0的两根且x 1
1
, 可知x 1
∴k +1≥0, k ≥-1 ∴ -1≤k
1 8
综上分析, 实数k 的取值范围为[-1, +∞)
错误!未指定书签。.(【解析】山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学文(a ))函数
f (x ) =x 1nx -ax 2-x (a ∈R ).
(I)若函数f (x ) 在x =1处取得极值, 求a 的值;
(II)若函数f (x ) 的图象在直线y =-x 图象的下方, 求a 的取值范围; (III)求证:1n (2⨯3⨯... ⨯2013)
【答案】
1
1007
错误!未指定书签。.(【解析】山东省滨州市2013届高三第一次(3月)模拟考试数学(文)试题)设函数f (x ) =x -
2
-a ln x (a ∈R ) . x
(Ⅰ) 当a =3时, 求f (x ) 的极值;
(Ⅱ)讨论函数f (x ) 的单调性.
【答案】
错误!未指定书签。
错误!未指定书签。.(【解析】山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学(文))设函数f (x ) =12x -ax -2a 21nx (a 0). 2
(1)当a=l时, 求曲线y =f (x ) 在点(1f (1))处的切线方程;
(2)若f (x ) ³a 对x ? (0, ) 恒成立, 求实数a 的取笸范围. 2
错误!未指定书签。.(【解析】山东省济宁市2013届高三1月份期末测试(数学文)解析)已知函数f (x )=a (x -1), 其中a >0. 2x
(I)求函数f (x )的单调区间;(II)若直线x -y -1=0是曲线y =f (x )的切线, 求实数a 的值; (III)设g (x )=x ln x -x f (x ), 求g (x )在区间[1, e ]上的最小值.(其中e 为自然对数2
的底数
)