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直角三角形中已知中有斜边中点

03-02

直角三角形中已知中有斜边中点、等边三角形中有边上中点

时（辅助线）的作法技巧

CD∥AB,对角线AC与BD交于O，如图，等腰梯形ABCD中，ACD600点S、P、

Q分别是OD、OA、BC的中点

（1）求证：PQS是等边三角形

（2）若AB5,CD3，求PQS的面积

（3）若PQS的面积与AOD的面积之比为7:8，

求梯形上、下两底之比CD:AB

解：(1)A B D C Q ABCD是等腰梯形，ADBC

又AC与BD相交于O，AOBO,CODO

ACD600,OCD与OAB均为等边三角形， S是OD的中点, CSDO

在RtBSC中，Q为斜边BC中点，SQ是斜边BC的中线，SQ1BC 2

同理BPAC，在RtBPC中，PQ1BC,又SP是OAD的中位线， 2

SP11ADBC,SPPQSQ,故PQS为等边三角形…………6分 22

113（2）AB5,DC3,SBDOOB 22

CS是等边

OCD的高，CS7 在Rt

BSC中，BC1772BC

，故SSPQ…… ……12分 ()222SPQ的边长SQ

222(3)设上底CDa,下底ABb(ab)，由（2）知BCSCBS

=2aa)(b)2a2b2

ab 22

2aabb2) SAODAOb

SCODOCaSSPQ又CDO与ADO是高相等的三角形，

SAOD2b

aSPQSS

AOD72，即2a25ab2b20 ,8aabb2)7816a1 b2(2ab)(a2b)0，又ba,2ab,即

故CD:AB1:2


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