积分中值定理的构造性证明
2007年10月第20卷第4期
保定师范专科学校学报
JOURNALOFBAODINGTEACHERSCOLLEGE
Oct.2007Vol.20No.4
文章编号:1008-4584(2007)04-0005-02
积分中值定理的构造性证明
韩云芷1,田艳先2
(1.保定学院数学与计算机系,河北保定071000;2.保定电视广播大学,河北保定071000)
摘要:利用闭区间套定理证明定积分中值定理,并利用定积分中值定理证明二重积分中值定理.
文献标识码:A
关键词:积分;中值定理;闭区间套定理中图分类号:O172.2
数学分析的理论主要包括实数连续性定理、闭区间连续函数性质定理、微分中值定理、积分中值定理.利用闭区间套定理可证明实数连续性定理和闭区间连续函数性质定理[1],在文献[2]中利用闭区间套定理证明了微分中值定理,本文利用闭区间套定理证明积分中值定理,进一步体现闭区间套定理在数学分析理论中的核心地位.
1利用闭区间套定理证明定积分中值定理
定理1证明
2
f(x)在区间[a,b]上连续,则! ! ∈[a,b],使得设
b
#f(x)dx=f(! )(b-a).
a
1
2
1
2
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1
1
b
$f(x)dx=p,f(x)在[a,b]上连续,则f(x)一定可取得最大值M和最小值m,设f(x)=m,f(x)=M,不妨设x<x,
a+ba+b
记x,x形成的区间为[a,b],则有f(a)(b-a)<p,f(b)(b-a)>p,对[a,b]二等分得到%,.,b&&a,
a+ba+ba+ba+b若f(为区间[a,b],若f()(b-a)=p,则定理得证,若f()(b-a)>p,则令%)(b-a)<p,则令&a,a+ba+ba+ba+b
为[a,b],且有f(a)(b-a)<p,f(b)(b-a)>p.[a,b]二等分得到%,,若f()(b-a)=p,则,b&,b&&a,a+ba+ba+ba+b
定理得证.若f(为区间[a,b],若f(为区间[a,b],则有)(b-a)>p,则令%)(b-a)<p,则令,b&&a,a
1
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3
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2
2
2
2
3
3
f(a3)(b-a)<p,f(b3)(b-a)>p.
以上过程继续下去,将得到以下结果:
ak+bk
)(b-a)=p,则定理得证.2)得到一闭区间套[an,bn]满足f(an)(b-a)<p,f(bn)(b-a)>p,由闭区间套定理可知存在! ∈[an,bn],liman=! ,limbn=! ,因1)第k次等分后,有f(
n→∞
n→∞
为f(x)连续,则f(an),f(bn)的极限为f(! ).由f(an)(b-a)<p,f(bn)(b-a)>p得到f(! )(b-a)=p,定理得证.
定理2证明
bi
f(x),g(x)在[a,b]上连续,g(x)不变号,则存在! ∈[a,b],使令
b
$f(x)g(x)dx=f(! )$g(x)dx.
a
a1
2
1
2
b2
a
1
2
1
2
bb
m,则! x,x,使f(x)=m,f(x)=M,$f(x)g(x)dx=p,不妨设g(x)≥0,f(x)的最大值和最小值分别为M、
若f(x)$g(x)dx=p,(i=1,2),则定理得证.否则,f(x)$g(x)dx<p,f(x)$g(x)dx>p,不妨设x<x,记x,x形成的区间
a+ba+ba+ba+b
为[a,b],对此区间二等分得%,,若,则定理得证若f(g(x)dx=p.f())$g(x)dx>p,,&b&$a,a
b
a
1
a
1
1
1
1
1
1
1
1
b
1
1
b
1
1
a
a
收稿日期:2007-07-16
作者简介:韩云芷(1963-),女,河北高阳人,副教授.
6
则记a1,
1
1
1
1
b
保定师范专科学校学报
b
2007年第4期
b
a+ba+b
为[a,b],若f(为[a,b],则有f(b)#g(x)dx>p,f(a)#g(x)dx<p.)#g(x)dx<p,记,b" ! a+b" 2
2
1
1
a
1
2
2
2
a
2
a
以上过程继续下去,得到以下结果:
#g(x)dx=p,于是定理得证.
2)无限次继续下去得到一闭区间套[a,b],满足f(b)#g(x)dx>p,f(a)#g(x)dx<p,由闭区间套定理及f(x)的连续性得$! ∈[a,b],使f(! )#g(x)dx=p,定理得证.
1)某次等分后的分点满足f(
a
b
b
n
n
n
a
n
a
b
n
n
a
ak+bk
)b
2利用定理1和定理2证明二重积分中值定理
定理3
f(x,y)在有界闭区域D内连续,则存在(! ," )∈D,使
D
&f(x,y)dxdy=f(! ," )A,其中A为D的面积.
dc
b
证明若D为矩形区域[a,b]×[c,b],则
D
&
f(x,y)dxdy=
#dx#f(x,y)dy.f(x,y)在[c,b]关于y连续,由定理1得
a
b
$" ∈[c,b],使
#
c
d
f(x,y)dy=f(x," )(d-c).于是
b
D
&
f(x,y)dxdy=
#
a
b
f(x," )(d-c)dx=(d-c)
#f(x," )dx,在[a,b]上f(x," )连
a
续,由定理1知$! ∈[a,b],使
#f(x," )dx=f(! ," )(b-a).则有&f(x,y)dxdy=f(! ," )(b-a)(d-c)=f(x," )A,定理得证.
a
D
D
若D为X型区域,x∈[a,b],#1(x)≤y≤#2(x),
b
b
&
1
f(x,y)dxdy=
##
a
b
dx
#2(x)
#1(x)
f(x,y)dy=
#f(x,$)(%(x)-#(x))dx,由定
a
x
2
1
!
b
理2得
(" =&).#f(x,&)(%(x)-%(x))dx=f(! ,&)#(%(x)-%(x))dx,于是得&f(x,y)dxdy=f(! ," )A
a
x
2
1
!
a
2
D
D为Y型区域时,同理可证.参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2002.
[2]韩云旨.闭区间套定理在数学分析中的理论地位[J].中国高等教育研究,1998(5):79-80.
AProofofConstructabouttheIntermediateValueTheoremofIntegrat
HANYun-zhi1,TIANYan-xian2
(1.DepartmentofMathematicsandComputer,BaodingUniversity,Baoding071000,China;
2.BaodingRadioandTVUniverstiy,Baoding071000,China)
Abstract:Thispaperprovedtheintermediatevaluetheoremofintegratbythenestedinteraltheorem.Keywords:integrat;intermediatevaluetheorem;nestedinteraltheorem