高一函数表示法与映射
1.2.2函数的表示法
知识要点:
一.函数的表示方法:
1.解析法:用 表示两个变量之间的对应关系的方法。
2.图像法:用 表示两个变量之间的对应关系的方法。
3.列表法:列出 表示两个变量之间的对应关系的方法。
二.分段函数:在定义域内 上,有 的 的函数通常叫做分段函数,分段函数是 个函数。
三.映射的概念:
一般地,设A、B是两个集合,若按照某种,对于集合A中的集合B中都有的元素和它对应,则这样的对应叫做集合A到集合B的映射,记作。
给定一个映射f :A →B ,且a ∈A,b ∈B ,若元素a 与元素b 对应,则b 叫做a 的 ,而a 叫做b 的。 典型习题:
例1. 某种笔记本单价是5元,买x (x ∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需要y 元,试用函数的三种表示法表示函
数y =f (x ) 。
例2. 某市公共汽车的运营方式为“招手即停”, 票价按下列规则制定:
(1)5公里以内(含5公里),票价2元
(2)5公里以上,每增加5公里票价增加1元(不足5公里按5公里计算)
如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式并画出图像。
题型一作出下列函数的图像:
1x 2-x y =, x ∈(1, +∞) (1)f (x ) =1-x , x ∈Z (2)y =x -4x +3, x ∈(-1, 3] (3)(4)f (x ) = x x -12
⎧1⎪, 0
⎪⎩x , x ≥1
分段函数问题:
⎧x +2, x ≤-1⎪2已知函数f (x ) =⎨x , -1
⎪2x , x ≥2⎩[]
⎧x +4, x ≤0⎪2练习:函数f (x ) =⎨x -2x , 0
⎪-x +2, x >4⎩[]
函数解析式的求法:
1.已知函数类型用待定系数法:
例(1)已知函数f (x ) 为一次函数,且f [f (x ) ]=4x -1,求函数f (x ) ;
(2)已知函数ϕ(x ) =f (x ) +g (x ) ,其中f (x ) 是正比例函数g (x ) 是反比例函数,且ϕ() =16, ϕ(1) =8,求函数ϕ(x ) 解析式。
练习:(1)已知f [f (x ) ]=2x -1,求一次函数f (x ) 。
(2)已知函数f (x ) 为二次函数,若f (0) =0, f (x +1) =f (x ) +x +1,求函数f (x ) 。
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2. 换元法:
例. (1)已知f (x -1) =x 2+2,求f (x ) ;
(2)已知f (x +1) =x +2x ,求f (x ) ;
(3)已知f (x +
11) =(x -) 2,求f (x ) 。 x x
x +1x 2+11) =++1,求f (x ) 。 练习:(1)已知f (2x +1) =x +2x +1,求f (x ) (2)已知f (2x x x 2
3.解方程法:
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x
(2)已知函数f (x ) 满足3f (x ) -f (-x ) =x 2,求f (2) ,f (a ) ,及f (x ) 。
练习:已知函数f (x ) 满足f (x ) +2f () =3x ,求f (x ) 。
例(1)已知函数f (x ) 满足3f (x ) -f () =x ,求f (2) ,f (a ) ,及f (x ) ; 1x
探究任务:映射概念
探究 先看几个例子,两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系,并用图示意.
① A ={1,4,9}, B ={-3, -2, -1,1,2,3},对应法则:开平方;
② A ={-3, -2, -1,1,2,3},B ={1,4,9},对应法则:平方;
③ A ={30︒,45︒,60︒
}, B ={1}, 对应法则:求正弦. 2
新知:一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping ).记作“f :A →B ”
关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则f .
试试:分析例1 ①~③是否映射?举例日常生活中的映射实例?
反思:
① 映射的对应情况有 、 ,一对多是映射吗?
② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,即映射.
※ 典型例题
例1下列对应是否是集合A 到集合B 的映射
(1)A =1,2,3,4}, B ={2,4,6,8},对应法则是“乘以2”;
(2)A = R*,B =R ,对应法则是“求算术平方根”;
(3)A ={x |x ≠0}, B =R ,对应法则是“求倒数”.
练习:判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的映射
①、A=R,B={x|x >0 且x ∈R }, f :x →y=|x|
﹡②、A=N,B=N,f :x →y=|x-1|
2③A={x|x >0 且x ∈R },B=R,f :x →y=x {