平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题
一.填空题。
1. 等于________.
2.若向量=(3,2),=(0,-1),则向量2-的坐标是________.
3.平面上有三个点A(1,3),B(2,2),C(7,x),若∠ABC =90°,则x的值为________. 4.向量a、b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________. 5.已知向量=(1,2),=(3,1),那么向量2-
1
的坐标是_________. 2
6.已知A(-1,2),B(2,4),C(4,-3),D(x ,1),若AB与CD共线,则|BD|的值等于________.
7.将点A(2,4)按向量a=(-5,-2)平移后,所得到的对应点A′的坐标是______. 8. 已知a=(1,-2),b=(1,x),若a⊥b,则x等于______
9. 已知向量a,b的夹角为120,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=______ 10. 设a=(2,-3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x等于_____
11. 已知AB(6,1),BC(x,y),CD(2,3),且BC∥DA,则x+2y的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直,且|a|≠0,|b|≠0,则a与b的夹角为____
13. 在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则OAOBOC的最小值
是 .
22
14.将圆xy2按向量v=(2,1)平移后,与直线xy0相切,则λ的值为.
二.解答题。
1.设平面三点A(1,0),B(0,1),C(2,5).
(1)试求向量2AB+AC的模; (2)试求向量AB与AC的夹角; (3)试求与垂直的单位向量的坐标.
2.已知向量a=(sin,cos)(R),b=(,3)
(1)当为何值时,向量a、b不能作为平面向量的一组基底
(2)求|a-b|的取值范围
3.已知向量a、b是两个非零向量,当a+tb(t∈R)的模取最小值时, (1)求t的值
(2)已知a、b共线同向时,求证b与a+tb垂直
4. 设向量OA(3,1),OB(1,2),向量垂直于向量,向量 平行于,试求
,的坐标.
5.将函数y=-x2进行平移,使得到的图形与函数y=x2-x-2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a及平移后的函数解析式.
6.已知平面向量(3,1),(,
1).若存在不同时为零的实数k和t,使 22
xa(t23)b,ykatb,且xy.
(1)试求函数关系式k=f(t)
(2)求使f(t)>0的t的取值范围.
11
1.0 2.(-3,-4) 3.7 4.90° 5.(2,32).
6.73. 7.(-3,2). 8.-2 9.12
1
10.3 11.0 12. 90° 13.2 14.1或5
(1)∵
=(0-1,1-0)=(-1,1),=(2-1,5-0)=(1,5).
∴ 2AB+=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7).
22
(1)7AB∴ |2+|==.
2222(1)15AC2AB(2)∵ ||==.||==,
=(-1)×1+1×5=4. ·
42∴ cos ==226=13.
(3)设所求向量为=(x,y),则x2+y2=1. ①
又 =(2-0,5-1)=(2,4),由⊥,得2 x +4 y =0. ②
225
xx-55
252y5.y.
5或5由①、②,得∴ (5,-5)或(-5,5)即
为所求.
13.【解】(1)要使向量a、b不能作为平面向量的一组基底,则向量a、b共线
3sin3cos0tan
∴
3
故
k
6
(kZ)
,即当
k
6
(kZ)
时,向量a、b不能作为平面向量的一组
基底
22
|ab|(sin)(cos3)2(sin3cos) (2)
而3sin3cos2 ∴ 231|ab|31
2222
(atb)|b|t2abt|a|14.【解】(1)由
t
当
2ab|a|cos(是a与b的夹角)2
|b|2|b|时a+tb(t∈R)的模取最小值
(2)当a、b共线同向时,则0,此时
t
|a|
|b|
2
b(atb)batbba|a||b||b||a||a||b|0 ∴
∴b⊥(a+tb)
18.解:设(x,y),又BC//OA,BC(x1,y2)
0
2yx0 ①
3(y2)(x1)0 即:3yx7②
x14,
y7
联立①、②得………10分 (14,7),于是
(11,6).
19.解法一:设平移公式为
xxh2
yyk代入yx,得到
yk(xh)2.即yx22hxh2k,
2
yxx2联立, 把它与
22
yx2hxhkyx2x2得
设图形的交点为(x1,y1),(x2,y2), 由已知它们关于原点对称,
x1x222y1y22x(12h)x2hk0. 即有:由方程组消去y得:
x1x2
12h1
且x1x20得h.22
由
又将(x1,y1),(x2,y2)分别代入①②两式并相加,
222
得:y1y2x1x22hx1x2hk2.
1919
0(x2x1)(x2x1)(x1x2)k2k.a(,)
4424. . 解得
1
xx2
yy922yxyxx2. 4平移公式为:代入得:
2
yxx2交点关于原点对称,可知该图形上所有点解法二:由题意和平移后的图形与
都可以找到关于原点的对称点在另一图形上,因此只要找到特征点即可.
1919
(,),
yx2x2的顶点为24,它关于原点的对称点为(24),即是新图形的顶点.1199h0,k0
2244以下同由于新图形由yx平移得到,所以平移向量为
2
解法一.
[(t3)](kt)0. 20.解:(1),0.即
2
1
ab0,a4,b1,4kt(t23)0,即kt(t23).
4
2
2
12
t(t3)0,即t(t3)(t)0,则3t0或t.4 (2)由f(t)>0,得