二次函数题型分类总结(学生版)

智德辅导初三数学资料

二次函数知识点总结及典型例题

一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

一般地，如果y =ax +bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数。

2

y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于x =-

b

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y =ax +bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) （2）顶点式：y =a (x -h ) +k (a , h , k 是常数，a ≠0) （3）当抛物线y =ax +bx +c 与x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2+bx +c =0有实根x 1和x 2存在时，根据二次三项式的分解因式ax +bx +c =a (x -x 1)(x -x 2) ，二次函数y =ax +bx +c 可转化为两根式

2

2

22

2

y =a (x -x 1)(x -x 2) 。如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的性质 1、二次函数的性质

2、二次函数y =ax +bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 中，a 、b 、c 的含义：

2

a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的∆=b 2-4ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x =-

b

（0，c ） c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：

2a

b

时，2a

y 最值

4ac -b 2=。

4a

b

是否在自变量取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，2a

如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么，首先要看-

4ac -b 2b 则当x=-时，y 最值=；

4a 2a

若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，

22

如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x =x 2时，y 最大=ax 2+bx 2+c ，当x =x 1时，y 最小=ax 1+bx 1+c ； 22如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x =x 1时，y 最大=ax 1+bx 1+c ，当x =x 2时，y 最小=ax 2+bx 2+c 。

二次函数题型分类：

二次函数的定义

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 .

222

①y=x－4x+1； ②y=2x； ③y=2x+4x； ④y=－3x ；

2

⑤y=－2x －1； ⑥y=mx+nx+p； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。

m －2

2、若函数y=(m－2)x +5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 3、已知函数y=(m－1) x

m2 +1

+5x－3是二次函数，求m 的值。

二次函数的对称轴、顶点、最值

4ac-b

（技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h) +k，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax+bx+c

4a

1．抛物线y=2x2+4x+m2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b ＝，c ＝

2

3．抛物线y ＝x ＋3x 的顶点在( )

A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2

4．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax ＋bx ＋c( ) A. 开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴

12

5．已知抛物线y ＝x ＋(m－1)x － 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .

4

6．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。

7．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

n

8．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m＋n)x ＋(m－n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

9. ．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m ＝ 。

2

函数y=ax+bx+c的图象和性质

2

1．抛物线y=x+4x+9的对称轴是 。

2

2．抛物线y=2x－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

122

（1）－2x+1 ； （2）y=－3x +8x－2；

2

22

5．把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x－3x+5，试求b 、c 的值。

2

6．把抛物线y=－2x +4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

2

2

2

函数y=a(x－h) 的图象与性质

2

1．填表：

2．

2

已知函数y=2x,y=2(x－4)

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

222

（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x得到抛物线y=2(x－4) 和y=2(x+1)？

2

3．试写出抛物线y=3x经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

2

（1）右移2个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

3

12

4．试说明函数－3) 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

2

二次函数的增减性

1. 二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x

2. 已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x

15

4. 已知二次函数y=－x 2+3x+ 的图象上有三点A(x1,y 1),B(x2,y 2),C(x3,y 3) 且3

22

为 .

二次函数的平移

技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x

2

－h) +k，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减

3

6. 抛物线y= － x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式

2

为

。

7. 抛物线y= 2x2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。 8. 将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。

2

9. 如果将抛物线y=2x－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

2

10. 将抛物线y ＝ax 向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1) ，那么移动后的抛物线的关系式为 _.

函数的交点

11. 抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。 12. 直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。

函数的的对称

13. 抛物线y=2x2－4x 关于y 轴对称的抛物线的关系式为 。 14. 抛物线y=ax2+bx+c关于x 轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则 a= b= c=

函数的图象特征与a 、b 、c 的关系

1. 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0

C.a>0,b0,b

2. 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2a C ．a-b+c> 0 D ．c

3. 抛物线y=ax2+bx+c中，b ＝4a ，它的图象如图3，有以下结论：

①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2

-4ac

A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．①③⑤

4. 当b

5. 已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，如果a>b>c，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )

6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c

的图象如图5所示，那么abc ，b 2

－4ac ， 2a＋b ，a

＋b ＋c 四个代数式中，值为正数的有( )

A.4个 B.3个 C.2个

D.1

个

7.

在同一坐标系中，函数

y= ax

2

+c

与

y=

c

x

图象可能是图所示的( )

A B C D

8. 反比例函数y = k 22

x

的图象在一、三象限，则二次函数y ＝kx -k x-1c 的图象大致为图中的（

A B C D

）

k 2

9. 反比例函数y = 中，当x> 0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝kx +2kx的图象大致为图中的（ ）

x

A B C D

2

10. 已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c(a≠0) 的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x 的值只能取0； 其中正确的个数是（ ）

A ．1 B．2 C．3 D ．4

2

11. 已知二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y ＝ax ＋bc 不经过（ ） A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

1. 如果二次函数y ＝x ＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可）

2

2. 二次函数y ＝x -2x-3图象与x 轴交点之间的距离为

2

3. 抛物线y ＝－3x ＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )

A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点

2

4. 如图所示，二次函数y ＝x －4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ， 则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1

492

5. 已知抛物线y ＝5x ＋(m－1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则m 的值为( )

25

A. －2 B.12 C.24 D.48

2

6. 若二次函数y ＝(m+5)x+2(m+1)x+m的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是

2

7. 已知抛物线y ＝x -2x-8，

（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。

2

函数解析式的求法

一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax+bx+c，然后解三元方程组求解； 1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－2

h) +k求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，求二次函数的解析式。

2

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x 1)(x－x 2) 。 5．二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．已知x ＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。

2

7．抛物线y=2x+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式 。

22

8．若抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。

11．根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式

3

（1）当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7） (2) 图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=

2

(3)抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）

11．当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= －3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式

2

12．已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴交于(2，0) 、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

1

13．若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？

2

16．y= －x 2+2(k－1)x+2k－k 2，它的图象经过原点，求①解析式 ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。

1

17．抛物线y= (k2－2)x 2+m－4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － +2上，求函数解析式。

2

二次函数应用

2010 山东省德州） 为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元. （1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；

（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？

15．（2010湖北武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）．

（1） 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2） 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；

（3） 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

．（2010江苏淮安）红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y 1(万千克) 与销售价格x(元／千

克)(2≤x ≤10)满足函数关系式y 1=0.5x+11．经市场调查发现：该食品市场需求量y 2(万千克) 与销售价格x(元／千克)(2≤x ≤10)

的关系如图所示．当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁． (1)求y 2与x 的函数关系式；

(2)当销售价格为多少时，产量等于市场需求量?

(3)若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W(万元) 与销售价格x(元／千克) (2≤x ≤10)之间的函数关系式．

（2010湖北荆门）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.

（1）假设每件商品降低x 元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请你写出y 与x 的之间的函数关系式，并注明x 的取值

范围；

（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购

进成本）