数列极限证明中的_N语言问题
Vol.13,No.4 Jul.,2010
高等数学研究
STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS
103
数列极限证明中的E2N语言问题
曹慧珍
(温州大学瓯江学院理学系,浙江温州,325035)
摘
要 通过对一道错误证明题的释疑,引出数列极限证明中E2N语言及其逻辑关系的探讨,并阐释相关的
一些问题疑点及常见错误证明.
关键词 数列极限;E2N语言;实数有序性;错证点评
中图分类号 O13
1 问题引入
例1 设
ny]
例2 设
liman=a, nlimbn=b, a
证明:存在正整数N,使得当n>N时有
an
错误证明 此题与例1有点类似,很自然得到启发,模仿证明如下:
任给E>0,存在正整数N1,N2,当n>N1时有
an-
2
当n>N2时有
b
2
取N=max{N1,N2},则当n>N时,有
an-
从而有
an
再由E的任意性,故
an[bn(也有人直接写成an
质疑 不等式(1)中的a,b为两确定数,而不等式(2)中的an,bn为两不确定的数,两者能等同吗?
首先,n>N时保证了
anIU(a,E), bnIU(b,E),
但位置随n而变,不固定.
liman=a, limbn=b,ny]
若存在正整数N0,使得当n>N0时有an[bn,则
a[b.
证明 任给E>0,存在正整数N1,N2,当n>N1
时有
a-当n>N2时有
bn
2
取N=max{N0,N1,N2},则当n>N时,
a-从而
a
由E的任意性,故
a[b.
收稿日期:2008-09-05;修改日期:2009-07-06.基金项目:温州大学瓯江学院2010年重点课程立项建设项目.作者简介:曹慧珍(1962-),女,江西抚州人,副教授,从事函数论研
究,Email:[email protected].
(1)
NoteontheProofofCompletenessforUniformSpace
SHENChen, JINGuiRong
(SchoolofMathematicsandComputationalScience,ChinaUniversityofPetroleum,Dongying,Shandong,257061,PRC)Abstract:
LetLbethelargestpossibleuniformityforasetX,anoversightintheproofofthe
completenessfortheuniformspace(X,L)ispointedout.Withthedefinitionofcompletenessfortheuniformspace,thecorrespondingconclusionisproveddirectly.
Keywords: uniformspace;Cauchynet;completeness.
104
其次,E可以任意小,当0
2
U(a,E)HU(b,E)=§.
高等数学研究 2010年7月
它具有三重特性:¹任意性;º确定性;»充分小性.而N依所给E而定(但不唯一),与n无关,通常E越小,N越大.逻辑关系是:无论给定的E多么小,在数
列{an}中都能找到充分远的某第N项,使之后所有项an与定数A的距离都可达到小于E的程度.应用中,E和N的属性意义是严格的,不能有任何缺失,否则逻辑失真,推理出错.
例3 证明:
limn(ny]
n+1-n)=
.2
这时落在U(a,E)内的an必定都位于落在U(b,E)内的bn的左侧,即有
an
但若E>,则
2
U(a,E)HU(b,E)X§,
这时在U(a,E)HU(b,E)内,点an有可能位于点bn的右侧,即有
an>bn,
矛盾.
正确证法 取E=>0,存在正整数N1和
2正整数N2,当n>N1时有
an
2
当n>N2时有
bn>b-E=,
2
取N=max{N1,N2},则当n>N时有
an
2
以上分析表明,不等式(1)和(2)虽然形式相同,但量的意义不同,两者不具有等同性.
原理 设a,b为两定实数,若对任意正数E有
a
则必有
a[b.
证明 用反证法.若不然,由实数的有序性,
a>b,
令E=a-b,则
E>0且a=b+E,
矛盾.
推论1 对数列{an},{bn},若存在正整数N,使当n>N时,对任意正数E有an0,存在正整数N,当n>N时有an
推论2 对数列{an},{bn},若存在正整数N,使当n1,n2>N时,对任意正数E有an10,存在正整数N,当n1,n2>N时有an1
2 问题引申
2.1 E是任意给定的、可充分小的正数!
,!
错误证法 对任意E>0,为使
n(+1-n)-
n>
为此,只需取N=式(3)成立.
错因点评 要使不等式(3)成立,必须E>,
2
.2E-1
(3)
,则当n>N时,不等2E-不满足E的任意性和可充分小性.
用放大法求N,依据是N的不唯一性,一般常取
|an-A|[U(n),
而由
U(n)
解N要比由
|an-A|
求N更方便,且放大后的U(n)应以0为极限.
例4 证明:
lim=1.ny]
错误证法1 对任意E>0,为使
n
n
-1=
n
-1
只要
nlnn
为此取N=
,则当n>N时,有ln(1+E)
n
.-1
错误证法2 由上述过程,
2),nlnnln2
则n>
,故只需取ln(1+E)
N=max
第13卷第4期曹慧珍:数列极限证明中的E2N语言问题
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错因点评 错误证法1所取的N与n有关,这时对每一给定的E,当ny]时
,
ln(1+E)
y],
ny]
liman=a, nlimbn=b,y]
对n=1,2,,,记
Sn=max{an,bn}, Tn=min{an,bn},证明:
(