三点共线向量表示及其性质应用
三点共线向量表示及其性质应用
新课标新教材《数学4》一道例题给出了三点共线的向量法表示,还提示我们可以利用这个例题解决三点共线问题,所以值得我们深入探究和发掘.本文就此给出了三点共线向量表示的两种证法探究,以启迪思维和拓展思路之目的,另外又给出了三点共线向量表示在解题中的应用。下面且看笔者一一道来,供大家参考。
例题:如图1,A,B,C是平面内三个点,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,则存在实数,使得=+(1-).
证法探究:
思路1分析: 初看欲证目标,始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路,欲证PC=+(1-),只需证PC =PA+PB-PB-PB=(PA-PB)
BC=BC∥.这样证明思路有了。
证法1:∵向量与向量共线,∴=BA,即-PB=(PA-PB),
=+-,∴=+(1-).
证毕,再思考一下实数的几何意义究竟如何。考察向量等式=BA,结合图形,易知,当点C在线段AB上时,则与同向,有0≤≤1;当点C在线段AB延长线上时,则与反向,
有
思路2分析:回想平面向量基本定理,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量,存在一对实数1,2,使1e12e2。所以我们可以不共线PA、PB作为一组基底,
则由它们线性表示,即存在,∈R,使=
+.接下来,证明思路有了。请看证法2。
证法2:当A、B、P共线时,结论显然成立;当A、B、P不共线,即有向量、不共线,以、为基底,PC由它们线性表示,即存在,∈R,使PC=
+PB.过点C作CA//BP,CB//AP,如图2.=P+PB,所以PA=PA,PB=PB.
由
,
=
1-,得1-=,即=1-,
故
=PA+(1-)PB.
此例题逆命题亦成立,即
已知A,B,C是平面内三个点,P是平面内任意一点,若存在实数,,有PC=PA+PB,且+=1,则A,B,C三点共线.
故此逆命题可作三点共线判定方法。
为方便起见,我们将两命题作为性质叙述如下:
性质1:已知A,B,C是平面内三个点, P是平面内任意一点,若A,B,C三点共线,则存在实数,使得=+(1-).
或叙述为:
已知A,B,C是平面内三个点, P是平面内任意一点,若A,B,C三点共线,则存在实数,
,使得=+,则有+=1.
性质2:已知A,B,C是平面内三个点,P是平面内任意一点,若存在实数,
,有
1
PC=PA+PB,且+=1,则A,B,C三点共线.
三点共线性质在解题中的应用:
例1.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足
,其中、∈R,且+=1,则点C的轨迹方程为( )
A.3x2y110 B.(x1)2(y2)25 C.2xy0 D.x2y50
解析:由性质2知,A,B,C三点共线,有∥.
设点C(x,y),=(x3,y1),又=(4,2),所以,2(x3)(4)(y1)0,化简得,x2y50.故选D.
OC(x,y),OA(3,1),OB(1,3),OA(3,),OB(,3),又
x3,
又 OAOB(3,3),则(x,y)(3,3),∴
y3.
+=1.得x2y5.这种解法得通过列方程组,进行运算消去参数,后才能得出所求的方程,解题过程不简捷.而由性质2,知A,B,C三点共线,如此求点C的轨迹方程则显得简捷明快,干净利索.
例2.如图3,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线
点评:如若设
AB、AC于不同的两点M、N,若=mAM,AC=nAN,
值为 .
解析:连结AO,因为点O是BC的中点,所以有
则mn的
11
又因为M、O、N三点共线, =1AB1AC=mAMnAN,
2222
11
mn1,故mn2. 22
点评:因为点O是BC的中点,所以=
所以
1
,由性质2
1,
1
=1-=,简便求出mn的值.
2
例3.如图4,在ABC中,1,OD1OB,
4
2
AD与BC交于
设
M点,
,.
(Ⅰ)用,表示;
(Ⅱ)在已知线段AC上取一点E,在线段BD上取 过点M.
一点F,使EF设p,
7p
7q
q.求证:131.
解析:(Ⅰ)因为B、M、C三点共线,所以存在实数m使得=m(1m) =m
11
(1m)=m(1m);又因为A、M、D三点共线,所以存在实数n使得44
41
m,mn,174解得,故OM=n(1n)=n(1n).由于a,b不共线,所以有
112
1m(1n),n.
27
13
=ab.
77
2
(Ⅱ)因为E、M、F三点共线,所以存在实数使得OM=OE(1)OF
1p,137=pa(1)qb.结合(Ⅰ),易得出消去得,1.
37p7q(1)q,7
点评:本题是以,作为一组基底,其他向量都由它们线性表示.解(Ⅰ)中的实数m,n的几何意义为:m411
,n, m,n∈(0,1);解(Ⅱ)中的实数. 777p且
例4.如图5,平行四边形ABCD中,点P在线段AB上,在线段AD上,且
AP
m,QPB
PRAQ
n,BQ与CP相交于点R,求
RCQD
PRPR
解析:设=,则=,BR=BC+
PC1RC1
AP
m,所以1,且BP.因为
PBm111
·=+BA. 1m11
nAQ
=nBC,∴, n,∴又
n1n1QD
的值. (1-
)1
即BQ
nn1
BCBA.又∵与共线,∴-=0, n11n1(1)(m1)
n
.
(m1)(n1)
解得=
点评:我们先要确定好一组基底BA,BC,看准,如何由它们线性表示;而欲求目标数值,因
P,R,C三点共线,中途要以,作基底,BR由它们线性表出时,分析清楚该两基底系数所表示的几
何意义,由性质1,得=);最终与BQ都得转化到由BA,BC两基底线BC+(1-11
性表示,此时容易由共线向量性质列出等式,从而求出结果.
解题后反思:
要想达到正确运用三点共线性质解题之目的,首先做到,审视题意,考察图形,确定一组基底,根据
=PA+(1-)PB中表示的几何意义确定的具体数值。
牛刀小试,再看一例,如何应招:
AB2,BAC120,AC1,题目:(2007年天津市高考数学理科卷第15题)如图6,在ABC中,
D是BC边上一点,DC2BD,则ADBC= 。
简解:21,
33
8
120=。
3
,所以
=
3