圆锥曲线[讲义]

第十一章 圆锥曲线

一、基础知识

1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F 2|=2c).

第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0

|PF |

=e (0

第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y2=a2, c 2: x 2+y2=b2, a, b∈R +且a ≠b 。从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为

x 2y 2

+=1 a 2b 2

(a>b>0)，

x =a cos θ

（θ

y =b sin θ⎩

参数方程为⎧⎨

为参数）。

若焦点在y 轴上，列标准方程为

y 2y 2

+=1 a 2b 2

(a>b>0)。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆

x 2y 2

+2=1， 2a b

a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (±c, 0) ；

a 2与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为x =-

c a 2

与右焦点对应的准线为x =

c e =

c a

，

；定义中的比e 称为离心率，且

，由c 2+b2=a2知0

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

x 2y 2

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆2+2=1(a>b>0), F 1(-c, 0),

a b

F 2(c, 0) 是它的两焦点。若P(x, y) 是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.

5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0) 的切线方程为

x 0x y 0y

+2=1； 2a b

2）斜率为k 的切线方程为y =kx ±

a 2k 2+b 2

；

3）过焦点F 2 (c, 0)倾斜角为θ的弦的长为

2ab 2

l =2

a -c 2cos 2θ

。

6．双曲线的定义，第一定义：

满足||PF1|-|PF2||=2a(2a0)的点P 的轨迹；

第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。

7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为

x 2y 2

-=1， a 2b 2

参数方程为⎧⎨

x =a sec ϕ

（ϕ

y =b tan ϕ⎩

为参数）。

焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为

y 2x 2

-=1。 a 2b 2

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线

x 2y 2

-2=1(a, b>0), 2a b

a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F 1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、

a 2a 2

右准线方程分别为x =-, x =. 离心率e =c

a c c

，由a 2+b2=c2知

k x 2y 2x 2y 2

e>1。两条渐近线方程为y =±x ，双曲线2-2=1与2-2=-1

a a b a b

有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。

x 2y 2

9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线2-2=1，

a b

F 1（-c,0）, F 2(c, 0) 是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的

任一点，若P 在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P （x,y ）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ

2ab 2

的弦长是222

a -c cos θ

。

10．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F 坐标为(p , 0) ，准线方程为

2

x =-

p 2

，标准方程为y 2=2px(p>0)，离心率e=1.

11．抛物线常用结论：若P(x0, y0) 为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=x +p ；

2

2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x0) ； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为

2p 1-cos 2θ

。

12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P ，记|OP|=ρ, ∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。

13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若01，则点P 的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为ρ=二、方法与例题

ep

1-e cos θ

。

1．与定义有关的问题。 例1 已知定点A （2，1），F

x 2y 2

是椭圆+=1的左焦点，点

2516

P

为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P 的坐标。

[解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=椭圆左准线的方程为x =-25，又因为

3

52-42

=3,e =c =3.

a

5

41

+

A 在椭

圆内部，又点F 坐标为（-3，0），过P 作PQ 垂直于左准线，垂足为Q 。由定义知|PF |=e =3，则5|PF|=|PQ|。

|PQ |

5

3

所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+

5

3

|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≣

3|AM|(AM⊥左准线于M) 。

所以当且仅当P 为AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得x =±5为(-5

, 1) 4

x 2y 2

C ：2-2=1右支上两点，PP ' 延长

a b

，又4

x

例2 已知P ，P ' 为双曲线

线交右准线于K ，PF 1延长线交双曲线于Q ，（F 1为右焦点）。求证：∠P ' F 1K=∠KF 1Q.

[证明] 记右准线为l ，作PD ⊥l 于D ，P ' E ⊥l 于E ，因为

P ' E

//PD，则|PK |=|P ' K |，又由定义|PF 1

|PD |

|P ' E |

|

|PD |

=e =

|P ' F 1|

|P ' E |

，所以为∠

|PF 1||PD ||PK |

，由三角形外角平分线定理知，F 1K ==

|P ' F 1||P ' E ||P ' K |

PF 1P 的外角平分线，所以∠P ' F 1K =∠KF 1Q 。 2．求轨迹问题。

例3 已知一椭圆及焦点F ，点A 为椭圆上一动点，求线段FA 中点P 的轨迹方程。

[解法一] 利用定义，以椭圆的中心为原点O ，焦点所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：

x 2y 2

+22a b

=1

（a>b>0）.F 坐标为(-c, 0). 设另一焦点为F ' 。连结AF ' ，OP ，

11

AF ' 。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|AF ' |)=a. 则OP //=

22

所以点P 的轨迹是以F ，O 为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=(c ,0) 平移，得到中心在原点的椭圆：

2

x 2y 2

+=1。由平移公式知，所求椭圆的方程为 a 2b 244

c 4(x +) 22

+4y =1. a 2b 2

[解法二] 相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1) ，则x =x 1即x 1=2x+c, y 1=2y. 又因为点A 在椭圆

x 12y 12

+2=1. 代入得关于点2a b

-c y

, y =122

，

x 2y 2

+2=1上，所以2a b

2

P

c ⎫⎛

4 x +⎪

4y 22⎭⎝+2=1。它表示的方程为2

a b

c ⎫

中心为⎛ -, 0⎪，焦点分别为F 和O 的椭圆。

⎝2⎭

例4 长为a, b 的线段AB ，CD 分别在x 轴，y 轴上滑动，且A ，B ，C ，D 四点共圆，求此动圆圆心P 的轨迹。

[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A ，B ，C ，D 的坐标分别为A(x-a ,0), B(x+a ,0), C(0, y-b ), D(0, y+b ), 记O 为原点，

2

2

2

2

由圆幂定理知|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，用坐标表示为

a 2b 22

x -=y -

44

2

a 2-b 2

. ，即x -y =

4

2

2

当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；

当a>b时，轨迹为焦点在x 轴上的两条等轴双曲线； 当a

3

动，求三角形AOB 的外心的轨迹方程。

[解] 设∠xOB=θ, 并且B 在A 的上方，则点A ，B 坐标分别为B(3, 3tan θ),A(3,3tan(θ-π)), 设外心为P(x,y)，由中

3

33⎫点公式知OB 中点为M ⎛ , tan θ⎪。

⎝22

⎭

π⎫⎫⎛由外心性质知y =3⎛ tan θ+tan θ- ⎪⎪ ⎪. 再由PM

2⎝

⎝

3⎭⎭

3

y -tan θ3x -2

tan(θ-

⊥OB 得

×tan θ=-1。结合上式有

3⎫=2⎛ -x ⎪. ① 3⎝2

⎭

π

3

) •tan θ

又 tanθ+tan(θ-π) =2y . ②

3

3

又

=tan

π

⎡⎛π⎫⎤

=tan ⎢θ- θ-⎪⎥. 33⎭⎦⎣⎝

⎡π⎫⎤⎛

⎢1+tan θ⋅tan θ-⎪⎥两边平方，再将①，

3⎭⎦⎝⎣

所以tan θ-tan(θ-π) =

3

(x -4) 2y 2

-=1。即为所求。 ②代入得412

3．定值问题。 例6

x 2y 2

过双曲线2-2=1(a>0, b>0)的右焦点

a b

F 作B 1B 2⊥x 轴，

交双曲线于B 1，B 2两点，B 2与左焦点F 1连线交双曲线于B 点，连结B 1B 交x 轴于H 点。求证：H 的横坐标为定值。 [证明] 设点B ，H ，F 的坐标分别为(asecα,btan α), (x0, 0), (c, 0)，则F 1，B 1，B 2的坐标分别为(-c, 0), (c,

b 2

-a

), (c,

b 2a

) ，

因为F 1，H 分别是直线B 2F ，BB1与x 轴的交点，所以

c =

ab ab +ac sin α

, x 0=.

2a sin α-b cos αa sin α+b cos α

①

a 2b (b +c sin α) 所以 cx 0=22

2a sin α+ab sin αcos α-b 2cos 2α

a 2b (b +c sin α)

=2

a sin 2α+ab sin αcos α-b 2+c 2sin 2α

a 2b (b +c sin α)

。 =

a sin α(a sin α+b cos α) +(c sin α-b )(c sin α+b )

由①得a sin α+b cos α=a (b +c sin α) ,

x 0

代入上式得cx 0

=

a 2b

a 2sin (c sin α-b ) x 0

,

a 2

即 x =-

c

（定值）。

注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。 例7 设抛物线y =2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交

2

抛物线于A ，B 两点，点C 在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC 经过定点。

2

⎛y 12⎫⎛y 2⎫⎛p ⎫⎛p ⎫⎪ ⎪[证明] 设A ，则，焦点为C -, y F , y , B , y ⎪ , 0⎪，2 2p 1⎪ 2p 2⎪2⎝⎭⎝2⎭⎝⎭⎝⎭2

⎛y 2⎫y 12y 12p p ⎛p ⎫⎪所以OA =(, y 1) OC = -, y 2⎪FA =(-, y 1) FB = -, y 2⎪。 2p 2p 2⎝2⎭⎝2p 2⎭

由于

FA //FB

，所以

y 12

2p

•y 2-

2y 2p p y 2-y 1+22p 2

y 1=0，即。所以

AC

⎛y 1y 2p ⎫

(y 1-y 2) 2p +2⎪⎪

⎝⎭

=0。因为

y 1≠y 2

，所以

y 1y 2p

+=02p 2

⎛y 1y 2p ⎫y 12⎛p ⎫ ⎪，即y -+y =0 -⎪y 1=0。所以//，即直线21 2p ⎪2p 2⎭⎝2⎭⎝

经过原点。 例

x 2y 2

8 椭圆2+2=1上有两点

a b

A ，B ，满足OA ⊥OB ，O 为原点，

求证：

11+

|OA |2|OB |2

为定值。

2+θ

[证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2, 且∠xOA=θ, ∠xOB=π

，则点

A ，B 的坐标分别为A(r1cos θ, r1sin θ),B(-r2sin θ,r 2cos θ) 。由A ，B 在椭圆上有

r 12cos 2θr 12sin 2θr 22sin 2θr 22cos 2θ

+=1, +=1. 2222

a b a b

1cos 2θsin 2θ即 2=2+2

r 1a b

①

1sin 2θcos 2θ=+. ② r 22a 2b 2

①+②得

1111

+=+|OA |2|OB |2a 2b 2

（定值）。

4．最值问题。

例9 设A ，B 是椭圆x +3y=1上的两个动点，且OA ⊥OB （O 为原点），求|AB|的最大值与最小值。 [解] 由题设a=1，b=8

2

2

2

3

, 记|OA|=r1,|OB|=r2, r 1=t ，参考例3r 2

11

+r 12r 22+

可得

=4。设

m=|AB|=r 12+r 22=1(r 12+r 22)(12

4

r 11112) =(2+t +) , 22

4r 2t

因为

1c o 2θs s i 2θn 1a 2-b 22

=+=+s i θn 222222r 1a b a a b

，且a >b，所以

22

111≤≤a 2r 12b 2

，所以b ≢r 1≢a ，同理b ≢r 2≢a. 所以b ≤t ≤a 。又

a

b

函数

f(x)=x+1

x

⎡b 2在⎢2

⎣a ⎤⎡a 2⎤

, 1⎥上单调递减，在⎢1, 2⎥上单调递增，所⎦⎣b ⎦

a

b

以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当t =b 或a 时，|AB|取最大值2

33

。

3

，2

例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为若圆C ：x 2+(y -3) 2=1上点与这椭圆上点的最大距离为1+

2

7，

试求这个椭圆的方程。

[解] 设A ，B 分别为圆C 和椭圆上动点。由题设圆心C 坐

3⎫

标为⎛ 0, ⎪，半径|CA|=1，因为|AB|≢|BC|+|CA|=|BC|+1，所

⎝2⎭

以当且仅当A ，B ，C 共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值1+

7，所以|BC|最大值为.

因为e =2t,

；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2

x 2y 2

t ,t ，椭圆方程为2+2=1，并设点

4t t

2

2

B 坐标为B(2tcos

2

θ,tsin θ) ，则|BC|=(2tcosθ) +

2

2

2

3⎫⎛

t sin θ- ⎪

2⎭⎝

=3tsin θ

22

-3tsin θ+9+4t=-3(tsinθ+1) +3+4t.

4

2

若t ≤1，则当sin θ=-1时，|BC|取最大值t +3t+9

2

2

24

题设不符。 若t>1, 则当sin θ=-

2

1

2t

时，|BC|取最大值3+4t，由3+4t=7

222

得t=1.

x 2

所以椭圆方程为+y 2=1。

4

5．直线与二次曲线。

例11 若抛物线y=ax-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a 的取值范围。

[解] 抛物线y=ax-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y 轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y 1) ，

P '

2

2

(-y1,-x 1) ，满足y 1=a

x 12-1

且-x 1=a(-y1) -1，相减得

2

x 1+y1=a(x 12-y 12), 因为P 不在直线x+y=0上，所以x 1+y1≠0, 所以1=a(x1-y 1) ，即x 1=y1+1.

a

所以ay 12+y 1

4

+

1

-1=0. 此方程有不等实根，所以∆=1-4a (1-1) >0，a a

求得a >3，即为所求。 例12 若直线y=2x+b

x 2

与椭圆+y 2=1相交，（1）求

4

b 的范围；

（2）当截得弦长最大时，求b 的值。

[解] 二方程联立得17x +16bx+4(b-1)=0.由Δ>0，得

-

2

2

P(x1,y 1),Q(x2,y 2) ，由韦达定理得

。所以当b=0时，|PQ|最大。

|PQ|=

4-b 2

+k |x 1-x 2|=⨯

17

2

三、基础训练题

1．A 为半径是R 的定圆⊙O 上一定点，B 为⊙O 上任一点，点P 是A 关于B 的对称点，则点P 的轨迹是________. 2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m (>0)，则动点的轨迹是________.

x 2y 2

3．椭圆+=1上有一点

10036

2

P ，它到左准线的距离是10，它

到右焦点的距离是________.

x 2y 2

4．双曲线方程+=1，则

|k |-25-k

x 2y 2

5．椭圆+=1，焦点为

10064

k 的取值范围是________.

F 1，F 2，椭圆上的点P 满足∠

F 1PF 2=60，则ΔF 1PF 2的面积是________. 6．直线l

x 2

被双曲线-y 2=1所截的线段

4

MN 恰被点A （3，-1）

平分，则l 的方程为________.

7．ΔABC 的三个顶点都在抛物线y =32x上，点A （2，8），且ΔABC 的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率为________.

8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和

2

3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.

9．已知曲线y =ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为45，那么a=________.

10.P 为等轴双曲线x -y =a上一点，|PF 1

2

2

2

2

|+|PF 2|

的取值范围

|PO |

是________.

x 2y 2x 2y 2

11．已知椭圆2+2=1与双曲线2-2=1有公共的焦点

a 1b 1a 2b 2

F 1，

F 2，设P 是它们的一个焦点，求∠F 1PF 2和ΔPF 1F 2的面积。 12．已知（i ）半圆的直径AB 长为2r ；（ii ）半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，设|AT|=2a(2a

2

半圆上有相异两点M ，N ，它们与直线l 的距离|MP|，|NQ|满足|MP |=|NQ |=1. 求证：|AM|+|AN|=|AB|。

AM

AN

y 2

13．给定双曲线x -=1. 过点

2

2

A （2，1）的直线l 与所给的

双曲线交于点P 1和P 2，求线段P 1P 2的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题

1．双曲线与椭圆x +4y=64共焦点，它的一条渐近线方程是

x +y =0，则此双曲线的标准方程是_________.

2

2

2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则∠A 1FB 1=_________.

x 2y 2

3．双曲线2-2=1的一个焦点为

a b

F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双

曲线上任一点，以|PF1|为直径的圆与以|A1A 2|为直径的圆的位置关系为_________.

4．椭圆的中心在原点，离心率e =1，一条准线方程为x=11，

3

椭圆上有一点M 横坐标为-1，M 到此准线异侧的焦点F 1的距离为_________.

5．4a +b=1是直线y=2x+1的_________条件.

2

⎧⎪x =m +2t

6．若参数方程⎨（t

⎪⎩y =2m +22t

22

x 2y 2

与椭圆2+2=1恰有一个公共点

a b

为参数）表示的抛物线焦点总

在一条定直线上，这条直线的方程是_________. 7．如果直线y=kx+1与焦点在x

x 2y 2

轴上的椭圆+=1总有公

5m

共点，则m 的范围是_________.

x 2y 2

8．过双曲线-=1的左焦点，且被双曲线截得线段长为

96

6

的直线有_________条. 9．过坐标原点的直线l

(x -3) 2y 2

+=1相交于与椭圆62

A ，B 两点，

若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F ，则直线l 的倾斜角为_________.

10．以椭圆x +ay =a(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的三角形最多

2

22

2

可作_________个.

x 2y 2

11．求椭圆2+2=1上任一点的两条焦半径夹角θ

a b

的正弦的

最大值。 12．设F ，O

x 2y 2

分别为椭圆2+2=1的左焦点和中心，对于过点

a b

F 的椭圆的任意弦AB ，点O 都在以AB 为直径的圆内，求椭圆离心率e 的取值范围。 13．已知双曲线

x 2y 2

C 1：2-2=1(a>0)，抛物线

a 2a

C 2的顶点在原

点O ，C 2的焦点是C 1的左焦点F 1。 （1）求证：C 1，C 2总有两个不同的交点。

（2）问：是否存在过C 2的焦点F 1的弦AB ，使ΔAOB 的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB 的方程与S ΔAOB 的最值，若不存在，说明理由。 五、联赛一试水平训练题

1．在平面直角坐标系中，若方程m(x+y+2y+1)=(x-2y+3)表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围是_________. 2．设O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且PQ 为过F 的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ 面积为_________.

x 2y 2

3．给定椭圆2+2=1，如果存在过左焦点

a b

2

2

2

F 的直线交椭圆于

P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则离心率e 的取值范围是_________. 4．设

x 2y 2

F 1，F 2分别是双曲线2-2=1(a>b>0)的左、右焦点，P

a b

为双曲线上的动点，过F 1作∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则M 的轨迹为_________.

5．ΔABC 一边的两顶点坐标为B （0，

2

2）和C （0，-

+

，2）

另两边斜率的乘积为-1，若点T 坐标为(t,0)(t∈R ), 则|AT|的最小值为_________.

6．长为l(l

2

2

2

2

2

x 2y 2

P （1，2）既在椭圆2+2=1内部（含边界），又

a b

a 2+2b 2

=

3

外部（含边界），若a,b ∈R , 则a+b的最小

+

值为_________.

x 2y 2

9．已知椭圆+=1的内接Δ

43

ABC 的边AB ，AC 分别过左、

右焦点F 1，F 2，椭圆的左、右顶点分别为D ，E ，直线DB 与直线CE 交于点P ，当点A 在椭圆上变动时，试求点P 的轨迹。 10．设曲线

x 2

C 1：2+y 2=1（a

a

为正常数）与C 2：y =2(x+m)在x

2

轴上方有一个公共点P 。（1）求实数m 的取值范围（用a 表示）；

（2）O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0

2

试求ΔOAP 面积的最大值（用a 表示）。

11．已知直线l 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A （-1，0）和B （0，8）关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题

1．在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ，求证：∠GAC=∠EAC 。

2．求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。 3．以B 0和B 1为焦点的椭圆与ΔAB 0B 1的边AB i 交于C i (i=0,1)，在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧

P 0Q 0交

C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧

Q 0P 1交B 1A 的延长线于P 1；B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P 0' ，交AB 0的延长线于P ' 0。求证：（1）点P ' 0与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0与P 0Q 1相内切于P 0；（2）P 0，Q 0，P 1，Q 1共圆。 4．在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v 0和不同发射角（即发射方向与x 轴正向之间 的夹角）α(α∈[0,π],α≠ ) 射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所

2

有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交

点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。

5．直角ΔABC 斜边为AB ，内切圆切BC ，CA ，AB 分别于D ，E ，F 点，AD 交内切圆于P 点。若CP ⊥BP ，求证：PD=AE+AP。 6．已知BC ⊥CD ，点A 为BD 中点，点Q 在BC 上，AC=CQ，又在BQ 上找一点R ，使BR=2RQ，CQ 上找一点S ，使QS=RQ，求证：∠ASB=2∠DRC 。 答案： 基础训练题

1．圆。设AO 交圆于另一点A ' , A ' ' 是A 关于A ' 的对称点。则因为AB ⊥BA ' , AP ⊥A ' ' P ，所以P 在以AA ' ' 为直径的圆上。 2．圆或椭圆。设给定直线为y=±kx(k>0),P(x,y)为轨迹上任一点，则2k x +2y=m(1+k).

当k ≠1时，表示椭圆；当k=1时，表示圆。

3．12．由题设a=10,b=6,c=8，从而P 到左焦点距离为10e=10×8=8,所以P 到右焦点的距离为20-8=12。

10

22

2

2

2

⎛|kx +y |⎫⎛|-kx +y |⎫

⎪+ ⎪=m 2 ⎪ 22⎪⎝k +1⎭⎝+k ⎭

22

。化简为

4．-25或-2

. 设两条焦半径分别为

2

2

2

m,n ，则因为|F1F 2|=12,m+n=20.

2

由余弦定理得12=m+n-2mncos60, 即(m+n)-3mn=144.所以

mn =

256

，S ∆PF 1F 2=1mn ⨯=643. 3223

2

x 12x 22

M(x1,y 1),N(x2,y 2) ，则-y 1=1, -y 22=1. 两

44

6．3x+4y-5=0.设式

相

减

得

(x 1+x 2)(x 1-x 2)

4

-(y1+y2)(y1-y 2)=0.由

x 1+x 2y +y 2y -y 13

=3, 1=-1，得2=-。故方程224x 2-x 1

y+1=-3(x-3).

4

7.-4. 设B(x1,y 1),C(x2,y 2) ，则y 1故直线BC 的斜率为y 2-y 1

x 2-x 1

=

+y 2+8

=0，所以3

y 1+y2=-8，

y 2-y 132

==-4. 22

y 2y 1y 1+y 2

-3232

(y -1) 2(x -2) 2

-8．916

=1。由渐近线交点为双曲线中心，解方程组

⎧3x -4y -2=0, 4

y =-得中心为(2,1)，又准线为，知其实轴平行⎨

5⎩3x +4y -10=0

于y 轴，设其方程为

y -1x -1

±=0。所以a b

(y -1) 2(x -1) 2

-2

a b 2

b

=1。其渐近线方程为

b

4

y-1=±a (x-1).由题设a =3，将双曲线沿

=1。

向量

y 2x 2

m=(-2,-1)平移后中心在原点，其标准方程为2-2

a b

⎧x ' =x -2, 9a 2

由平移公式⎨平移后准线为y =-=

5c ⎩y ' =y -1

，再结合a =3，

b

4

解得a =9，b

2

22

(y -1) 2(x -2) 2-=16，故双曲线为916

=1。

2

9．2．曲线y =ax关于点（1，1）的对称曲线为(2-y)=a(2-x),

2

⎧⎪y =ax , 由⎨得2

⎪⎩(2-y ) =a (2-x )

y -2y+2-a=0,故y 1+y2=2,从而k =

2

y 1-y 2

x 1-x 2

=

a (y 1-y 2) a a

=1，所以==22

y 1-y 2y 1+y 22

a=2.

|+|PF 2|

=t ，由|PF1|=ex1+a

|PO |

22x 12x -a

21

2

10．（2，22]。设

P(x1,y 1) 及|PF 1

,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以

21

=t

，即2

a 2t 2a 2t 2t 2222

x =2。因x 1≥a ，所以2≥a (a ≠0) ，所以2≥1即

2t -82t -82t -8

≢22.

11. 解：由对称性，不妨设点P 在第一象限，由题设|F1F 2|=4(a 12-b 12) =4(a 22+b 22) =4c，又根据椭圆与双曲线定义

⎧⎪|PF 1|+|PF 2|=2a 1,

解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a 2. ⎨

⎪⎩|PF 1|+|PF 2|=2a 2,

2

2

在ΔF 1PF 2中，由余弦定理

|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2cos ∠F 1PF 2=

2|PF 1|⋅|PF 2|(a 1+a 2) 2+(a 1-a 2) 2-(2c ) 2=

2(a 1+a 2)(a 1-a 2)

22

(a 12-c 2) -(c 2-a 2) b 12-b 2==2. 222

a 1-a 2b 1+b 22

b 12-b 2

从而∠F 1PF 2=22.

b 1+b 2

又sin ∠F 1PF 2=所以S ∆F PF

1

-cos 2∠F 1PF 2=

2b 1b 2

, 22

b 1+b 2

=

2

1

|PF 1|⋅|PF 2|sin ∠F 1PF 2=b 1b 2. 2

12．解：以直线AB 为x 轴，AT 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则由定义知M ，N 两点既在抛物线y =4ax上，又在圆

2

[x-(a+r)]+y=r上，两方程联立得x +(2a-2r)x+2ra+a=0，设点M ，N 坐标分别为(x1,y 1),(x2,y 2) ，则x 1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NP|=x2+a. |AB|=2r，所以 |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|. 得证。

13．解：若直线l 垂直于x 轴，因其过点A(2,1)，根据对称性，P 1P 2的中点为（2，0）。

若l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y-1=k(x-2)，即 y=kx+1-2k. ①

将①代入双曲线方程消元y 得

(2-k)x +2k(2k-1)x-(4k-4k+3)=0. ② 这

2

2

2

2

22222

里

2

2

k ≠±2

2

且Δ

=[2k(2k-1)]+4(2-k)(4k-4k+3)=8(3k-4k+3)>0, 设x 1,x 2是方程②的两根，由韦达定理

x 1+x 2=-

2k (2k -1) 2k (2k -1)

=. ③ 22

2-k k -2

由①，③得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k) =k(x1+x2)+2(1-2k)=4(22k -1) . ④

k -2

设P 1P 2的中点P 坐标(x,y)，由中点公式及③，④得

x =

x 1+x 2k (2k -1) y +y 22(2k -1) =2, y =1=2, 22k -2k -2

消去k 得

1(y -) 2

(x -1) =1. -7784

2

点（2，0）满足此方程，故这就是点P 的轨迹方程。 高考水平测试题 1．

x 2y 2

-=1. 由椭圆方程得焦点为(±43, 0) ，设双曲线方程3612

b x 2y 2b 1y =±x . -=1=，渐近线为由题设

a a a 2b 23

，所以a =3b, 又

22

c =4,c

2

=a2+b2. 所以b 2=12, a2=36.

2. 900。见图1，由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB 1，∠2=∠AFA 1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB 1+∠AFA 1=90。

3．相切，若P(x,y)在左支上，设F 1为左焦点，F 2为右焦点，M 为PF 1中点，则|MO|=1|PF2|=1(a-ex)，又|PF1|=-a-ex，所以两圆半径之和

2

1

(-a-ex)+a=122

2

(a-ex)=|MO|，所以两圆外

切。当P(x,y)在右支上时，同理得两圆内切。

4．10. 与F 1对应的另一条准线为x=-11，因|MF1|与M 到直线

3

x=-11距离d 1之比为e ，且d 1=|xm +11|=10.所以|MF 1

10

|

=

1

，所3

以|MF1|=10.

3

5．充要。将y=2x+1代入椭圆方程得(b+4a)x +4ax+a (1-b)=0. ①

若Δ=(4a) -4(b+4a)a (1-b)=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b +4a=1；反之，4a +b=1，直线与椭圆有一个公

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

22222

共点。

6．y=2(x-1)。消去参数得(y-2m)=4(x-m)，焦点为⎧⎨

2

x =m +1,

它

⎩y =2m ,

在直线y=2(x-1)上。

7．1≢mm,所以1≢m

8．3．双曲线实轴长为6，通径为4，故线段端点在异支上一条，在同支上有二条，一共有三条。

9．π或5π。设直线l: y=kx与椭圆交于A(x1,y 1),B(x2,y 2) ，

6

6

1

≢1. 又因为焦点在m

把y=kx代入椭圆方程得(1+3k)x -6x+3=0，由韦达定理得

x 1+x 2=

6

, ① 1+3k 23

x 1x 2=. ② 2

1+3k

22

因F （1，0），AF ⊥BF ，所以(x1-1)(x2-1)+y1y 2=0,即 x 1x 2-(x1+x2)+1+k2x 1x 2=0. ③ 把①，②代入③得k 2=1, k =±

3

3

，所以倾斜角为π

63

或5π.

6

10．3．首先这样的三角形一定存在，不妨设A ，B 分别位于y 轴左、右两侧，设CA 斜率为k(k>0)，CA 的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为(ak +1)x+2akx=0，得x=0或

2a 2k 2a 2k +k 22a 2k

，于是A (-22, 0) ，|CA|=22. x =22

a k +1a k +1a k +1

2

2

2

2

2a 2k +k 2

由题设，同理可得|CB|=22

a k +1

, 利用|CA|=|CB|可得

(k-1)[k-(a-1)k+1]=0,

22

解得 k=1或k -(a-1)k+1]=0。① 对于①，当1

①无解；当a =时，k=1；当3时，

a>

3时，

22

①有两个不等实根，故最多有3个。

11．解 设焦点为F 1，F 2，椭圆上任一点为P(x0,y 0), ∠F 1PF 2=θ, 根据余弦定理得

|F1F 2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1|•|PF2|cosθ,

又|PF1|+|PF2|=2a，则4c =(2a)-2|PF1|•|PF2|(1+cosθ), 再将|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及4b =2(a-e

2

2

2

2

)(1+cosθx 0

222

22

a =b+c

222

代入得

).

2b 2

于是有cos θ=222-1.

a -e x 0

由

2b 2-a 2

≤cos θ≤1。因θ0≤x ≤a ，得b ≤a -e x ≤a ，所以a 2

20

2

2

2

220

2

∈

[0，π]，所以cos θ为减函数，故当2b >a

2

2

⎛2b 2-a 2⎫

⎪0≤θ≤arccos a 2⎪. ⎝⎭

2b 2-a 22b 2-a 2ππ

>0

22a 2a 2

⎡⎛2b 2-a 2

取最大值sin ⎢arccos a 2

⎝⎣

⎫⎤2bc

⎪当⎪⎥=a 2；⎭⎦

sin θ为增函数，sin θ≢a

2

2b

2

2b 2-a 2π

≥时，arccos 2

2a

, θ∈[0,π]，则sin θ最大值为1。

12．解 设A(x1,y 1),B(x2,y 2) ，若AB 斜率不为0，设为k ，直线AB 方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程并化简得 (b+ak )x +2ak cx+a (kc -b )=0. ① 则x 1,x 2为方程①的两根，由韦达定理得

2

22

2

22

2

22

2

2a 2k 2c

x 1+x 2=-2, ② 22

b +a k a 2(k 2c 2-b 2)

x 1x 2=. ③ 222

b +a k

因为y 1y 2=k

2

-b 2k 2

(x1+c)(x2+c)，再由②，③得y 1y 2=222.

a k +b

k 2(a 2c 2-b 4) -a 2b 2

所以OA ⋅OB =x1x 2+y1y 2=

a 2k 2+b 2

2

22

4

,O 点在以AB 为直径的

22

圆内，等价⋅

5-1

. 2

b 2

若斜率不存在，问题等价于>c . 即e

a

22

2

2

2

-1

，综上0

13．解 （1）由双曲线方程得b =抛物线焦点到准线的距离p =2

y 2=-4ax . ①

所以2a , c =a ，F 1(-3a ,0) ，

3a ，抛物线

把①代入C 1方程得

2x 2+43ax -2a 2=0. ②

Δ=64a>0，所以方程②必有两个不同实根，设为x 1,x 2, 由韦达定理得x 1x 2=-a

2

2

2

ax 1, 所以y =±2-ax 1

（因为x 1≠0），所以C 1，C 2

总有两个不同交点。 （2）设过F 1(-得y +4

2

3a ,0) 的直线AB 为my=(x+

2

22

2

⎧⎪y =-43ax ,

3a), 由⎨

⎪⎩m y =x +a

3may-12a =0，因为Δ=48ma +48a>0，设y 1,y 2分别

2

为A ，B 的纵坐标，则y 1+y2=(y1-y 2) =48a(m+1).所以S

2

2

2

ΔAOB

43ma

12

,y 1y 2=-12a. 所以

2

2

=

|y1-y 2|•|OF1|=a •

当且仅当4a•m 2+1=6a 2m 2+1≥6a 2，m=0时，S ΔAOB 的面积取

最小值；当m →+∞时，S ΔAOB →+∞，无最大值。所以存在过F 的直线x=-

a 使Δ

AOB 面积有最小值6a .

2

联赛一试水平训练题 1．m>5.由已知得

x 2+(y +1) 2x -2y +32+(-2) 2

=

5m

，说明(x,y)到定点（0,-1）

与到定直线x-2y+3=0的距离比为常数

5m

5m

，由椭圆定义

5.

ab . 因为

a b

2. a b=|PQ|=|PF|+|QF|=

2a 2a 4a

+=

1-cos θ1-cos(π+θ) sin 2θ

, 所

以sin θ=2

。所以S ΔOPQ =1absin θ=a

2

ab .

⎡-1⎫

, 1⎪3. ⎢⎪。设点2⎣⎭

P 坐标为(r1cos θ,r 1sin θ), 点Q 坐标为

1111

+=+r 12r 22a 2b 2

2

(-r2sin θ,r 2cos θ) ，因为P ，Q 在椭圆上，可得Rt ΔOPQ 斜边上的高为≢c (a+b) ，解得

2

2

2

，

2

r 1r 2r 12+r 22

=

ab a 2+b 2

≢|OF|=c. 所以a b

-1

≢e

4. 以O 为圆心，a 为半径的圆。延长F 1M 交PF 2延长线于N ，

1

则OM //F 2N ，而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a，所以=

2

|OM|=a.

5.t ∈(0,1]时|AT|min =k AC =-1

2

2-t 2

,t>1时|AT|min =|t-2|.由题设k AB •

(x≠0) ，整理得，

所

以

, 设A(x,y)，则

=1(x

2

2

2

y -2y +21

⋅=x x 2

x 2y 2

+42

2

≠0)

|AT|=(x-t)+y=(x-t)

⎛22x 2⎫1

⎪+ (x-2t)+2-t. 因为|x|≢2, 2-= ⎪22⎝⎭

所以当t ∈(0,1]时取x=2t,|AT|取最小值取x=2，|AT|取最小值|t-2|. 6.

l 2

. 4

2-t 2

。当t>1时，

设点M(x0,y 0) ，直线AB 倾斜角为θ，并设

2

2

2

2

A(x0-x 0-1cos θ, y 0-1sin θ), B(x0+1cos θ, y 0+1sin θ), 因为A ，B 在抛物线上，所以

11

y 0-sin θ=(x 0-cos θ) 2, ① 2211

y 0+sin θ=(x 0+cos θ) 2, ②

22

由①，②得 2x0cos θ=sinθ. ③ 所以y 0

2

11111

=(x 0-cos θ) 2+sin θ=(2+l 2cos 2θ) -.

224cos θ4

x

因为l

11l 22

所以y 0≥(1+l ) -=

444l 2

取最小值.

4

。当cos θ=1即l 平行于x 轴时，距离

2⎛y 0⎫⎛y 12⎛2pa ⎫

, y 0⎪, M 1 , y 17． a , ⎪. 设M ⎪b ⎭⎝⎝2p ⎝2p ⎭2

⎫⎛y 2⎫⎪ , M , y ⎪2 2p 2⎪⎪，由⎭⎝⎭

A ，M ，M 1共线

得y 1=by 0-2pa ，同理B ，M ，M 2共线得y 2

y 0-b

=

2pa

，设(x,y)是直y 0-b

线M 1M 2上的点，则y 1y 2=y(y1+y2)-2px ，将以上三式中消去y 1,y 2得

y 0(2px-by)+y0•2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.

2pa ⎫当x=a,y=2pa 时上式恒成立，即定点为⎛ a , ⎪.

b

2

⎝

b ⎭

8．3+6。由题设

14

+≤1且22a b

a +2b≢15，解得5≢b ≢6.

(t=b-4∈[1,2])，而

2

222

所以a+b≣

t +4

+t +4 t

b 2t +4

+b =+t +4

t b 2-4

≥6+⇔t +4-6≥-

t +4t -22(t -2) ⇔≥t t +4+63t +(t +4)

，又t ≢2

可得上式成立。 9．解 设A(2cosθ, β,

3sin β

sin θ

), B(2cosα,

sin α),C(2cos

) ，这里α≠β，则过A ，B 的直线为l AB ：

AB 过点F 1(-1,0)，sin θ(cosθ-cos

2

2

(sinθ-sin α)

由于直线(x -2cos θ) +sin θ=y ，

2(cosθ-cos α)

代入有

α-θ

2

3

(sinθ-sin α) •(1+2cosθ)=2

α+θ

2

3

α) ，即2sin(α-θ)=sinθ-sin α=2sin θ-α•cos θ+α, 故

2cos

+cos

=3cos

α

2

cos

θ

2

+ sin

α

2

sin

θ

2

=0，即tan

α

2

•tan θ

2

=-3。

又l BD :y =

3sin αα

(x +2) ，同理(x +2) =tan •(x+2)=-

2(1+cos α) 222tan 2

得tan β⋅tan θ

2

2

=-

1

。l CE : y =sin β32(cosβ-1)

(x-2)=

(x -2)

3θ

-=tan •(x-2).

22tan

2

两直线方程联立，得P

θ

tan 得点2

θ⎤⎡2θ2tan -2-6tan ⎢⎥，消去点坐标为⎢, ⎥22⎢tan +1tan +1⎥

⎢⎥22⎣⎦

x 2y 2

P(x,y)在椭圆+=1上（除去点(-2,0),(2,0)）.

427

⎧x 22

⎪2+y =1,

10. 解 （1）由⎨a 消去

⎪y 2=2(x +m ) ⎩

2

2

2

2

y 得x +2ax+2am-a =0,①设

2222

f(x)=x+2ax+2am-a ，问题（1）转化为方程①在x ∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况： 1．Δ=0，得m =

a 2+12

，此时x p =-a，当且仅当-a

22

时适合；2。f(a)•f(-a)(2)ΔOAP 的面积S =1ay p . 因为0

2

2

2

2

2

2

a 2+1

时，m =或-a

2

a ≣1

0

2

a 2+1-2m

=-

x 2p a

2

x p =-a+.当m=a时，x p 取最

=2a -a 2

2

小值。由于x p >0，从而x p 时取值最大，此时x p ，

2a 2+1

故S =a a -a ；当m =时，x p =-a，y p =-a 2

2

2

, 此时S =1a

2

-a 2.

1

a -a 2，得

22

11a =，a a (1-a ) ≤a -a 2，故当01a -a 2，此时S max =a a -a 2. 322

以下比较a

a -a 2

与1a

-a 2

的大小。令a

a -a 2=

11．解：设A ，B 关于l 的对称点分别为A 1(x2,y 2),B 1(x1,y 1) ，

x 2-1y 2则AA 1中点A 2 , ⎪ ⎪在l 上，

⎝2

2⎭

⎛

⎫

所以 y2=k(x2-1) ① 又l ⊥AA 1, 所以

y 21

=-. ② k x 2+1

由①，②得

⎧k 2-1

x =, ⎪⎪2k 2+1

⎨

⎪y =-2k . 2⎪k 2+1⎩

x 18+y 1

⎪同理，由BB 1中点B 2 -, ⎪在l 上，且l ⊥BB 1, 解得

⎝

2

2

⎭

16k ⎧

x =, 12⎪⎪1+k

⎨2

8(k -1) ⎪y =. 12⎪1+k ⎩

⎛⎫

设抛物线方程为y =2px，将A 1，B 1坐标代入并消去p 得k -k-1=0. 所以k =1±

52

2

2

，由题设k>0，所以k =1±

2

，从而p =2

5

.

所以直线l 的方程为y =1±联赛二试水平训练题

2

x ，抛物线

C 的方程为y 2=4

5

x .

1．以A 为原点，直线AC 为x 轴，建立直角坐标系，设C(c,0),F(f,0),D(xD ,kx D ),B(xB ,-kx B ) ，则直线DF 的方程为

x -f +

f -x D

y =0. ① kx D

y =0. ②

直线BC 的方程为 x -c +c -x B

-kx B

c ×①-f ×②得 (c-f)x+1[cf

k

⎛11⎫

+⎪-(c +f )]y =0. ③ ⎪⎝x D x B ⎭

③表示一条直线，它过原点，也过DF 与BC 的交点G ，因而③就是直线AG 的方程。 同理

，直线AE 的方程为 (c-f)x+1[cf

k

⎛11⎫

+⎪-(c +f )]y =0. ④ ⎪⎝x D x B ⎭

③，④的斜率互为相反数，所以∠GAC=∠EAC 。

2．证明 假设这样的闭折线存在，不妨设坐标原点是其中

a 1c 1

一个顶点，记它为A 0，其他顶点坐标为：A 1 , ⎪⎪，…，

⎝b 1d 1⎭

⎛a n c n ⎫a i c i

⎪，其中, A n = , b d ⎪b d i i ⎝n n ⎭

⎛

⎫

都是既约分数，并记A n+1=A0. 若p 与q

奇偶性相同，则记p ≡q ，否则记p ≠q ，下面用数学归纳法证明。

b k ≡1,d k ≡1(k=1,2,…,n) ，a k +ck ≠

a k-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。 当k=1

⎛a 1

时，由 b

⎝1

⎫⎛c 1⎫a 12⋅d 1222⎪ ⎪+=1，得，因为=d -c 112⎪ d ⎪b 1⎭⎝1⎭

2

2

a 1,b 1互

质，所以d 1被b 1整除，反之亦然（即b 1被d 1整除）。 因此b 1=±d 1，从而b 12=d 12=a 12+c 12. a 1, c 1不可能都是偶数（否则b 1也是偶数，与互质矛盾）；不可能都是奇数，因为两个奇数的平方和模8余2不是4的倍数，也不可能是完全平方数，因此，a 1≠c 1,b 1≡d 1≡1，并且a 1+c1≠0=a0+c0. 设结论对k=1,2,…,m-1≢n 都成立，令a m

b m

-

a m -1a c m c m -1c

=, -=. b b m -1d m d m -1d

2

2

这里a , c

b d

a ⎫⎛c ⎫

是既约分数，因为每一段的长为1，所以⎛ ⎪+ ⎪

⎝b ⎭⎝d ⎭

=1，

与k=1情况类似：a ≡c,d ≡b ≡1，又因为

a m a a m -1ab m -1+ba m -1

=+=b m b b m -1bb m -1

，分数a m 既约，所以b m 是bb m-1的一个

b m

因子，b m ≡1.

同理可知d m ≡1, 又a m ≡ab m-1+bam-1（同理c m ≡cd m-1+dcm-1）. 因此(am +cm -a m-1-c m-1) ≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-a m-1-c m-1) ≡a m-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.

所以a m +cm ≠a m-1+cm-1，结论成立，于是在顶点数n+1为奇数时，a n+1+cn+1≠a 0+c0，故折线不可能是闭的。

3．证明 （1）由已知B 0P 0=B0Q 0，并由圆弧P 0Q 0和Q 0P 0，Q 0P 1和P 1Q 1，P 1Q 1和Q 1P 1分别相内切于点Q 0，P 1，Q 1，得C 1B 0+B0Q 0=C1P 1，

B 1C 1+C1P 1=B1C 0+C0Q 1以及C 0Q 1=C0B 0+B 0P ' 0，四式相加，利用B 1C 1+C1B 0=B1C 0+C0B 0，以及P ' 。在B 0P 0或其延长线上，有B 0P 0=B0P ' 0，从而可知点P ' 0与点P 0重合。由于圆弧Q 1P 0的圆心C 0，圆弧P 0Q 0的圆心B 0以及P 0在同一直线上，所以圆弧Q 1P 0和P 0Q 0相内切于点P 0。

（2）现分别过点P 0和P 1引上述相应相切圆弧的公切线P 0T 和P 1T 交于点T 。又过点Q 1引相应相切圆弧的公切线R 1S 1，分别交P 0T 和P 1T 于点R 1和S 1，连接P 0Q 1和P 1Q 1，得等腰ΔP 0Q 1R 1和ΔP 1Q 1S 1，由此得∠P 0Q 1P 1=π-∠P 0Q 1P 1-∠P 1Q 1S 1=π-(∠P 1P 0T-∠Q 1P 0P)-(∠P 0P 1T-∠Q 1P 1P 0), 而π-∠P 0Q 1P 1=∠Q 1P 0P 1+∠Q 1P 1P 0，代入上式后，即得∠P 0Q 1P 1=π-1(∠P 0B 0Q 0+

2

∠P 1C 1Q 0).

同理得∠P 0Q 0P 1=π-1(∠P 0B 0Q 0+∠P 1C 1Q 0) ，所以P 0，Q 0，Q 1，

2

P 1共圆。

4．证明 引理：抛物线y=ax+bx+c(a≠0) 在(x0,y 0) 处的切线斜率是2ax 0+b.

引理的证明：设(x0,y 0) 处的切线方程为y-y 0=k(x-x0) ，代入抛物线方程得

ax 2+(b-k)x+c+kx0-y 0=0. ① 又 y 0

2

=ax 0+bx 0+c

2

故①可化简成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ② 因为②只有一个实根，所以k=2ax0+b.引理得证。

设P(x0,y 0) 为任一正交点，则它是由线y=x•tan α1

-

g 22v 0cos 2α1

•x 与y=x•tan α2-

2

g

22v 0cos 2α2

•x 的交点，则两

2

条切线的斜率分别为（由引理）

k =-

gx 0gx 0

+tan α, k =-+tan α2. 12222

v 0cos α1v 0cos α2

又由题设k 1k 2=-1，所以

⎛gx 0

tan α-1 v 0cos 2α1⎝

⎫⎛gx 0

⎪ tan α-22⎪ v 0cos 2α2⎭⎝

⎫

⎪⎪=-1. ③ ⎭

又因为P(x0,y 0) 在两条抛物线上，所以y 0

x 0

y 0gx

=tan α2-202, 代入③式得 x 02v 0cos α2

=tan α1-

gx 0

, 22

2v 0cos α1

⎛2y 0 x -tan α1⎝0⎫⎛2y 0⎫⎪ ⎪-tan α2⎪=-1. （※） ⎪ x ⎭⎝0⎭

2

又因为tan α1,tan α2是方程gx 0•t -t+y 0

2v 0

x 0

+

gx 0

22v 0

=0的两根，所

以

tan α1+tanα2=2v 0, ④

gx 0

tan α1•tan α

2v 02=gx 0

⎛y 0gx 0 x +2v 2

0⎝0⎫⎪⎪。 ⑤ ⎭

把④，⑤代入（※）式得

⎛v ⎫

y -0⎪ 2

4g ⎪⎛x 0v 0⎫v 0⎝⎭22

⎪. +2=1 0≤y

2g ⎪v 0v 0g ⎝⎭

16g 28g 2

2

5．证明 以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，建立直角坐标

系，设∠ADC=θ，|PD|=r.各点坐标分别为D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tan θ),B(x0,0),P(x1-rcos θ,rsin θ). 则l AB 方程为

x y

即+=1，

x 0x 1tan θ

x 1x+x0•cot θ•y-x 1x 0=0,因为l AB

=|x 12+x 0x 1•cot θ-x 1x 0|，约去

2(cotθ-1)

•x 1.

2cot θ-1

与圆相切，可得x 1•x 1, 再两边平方得

2

x 12+x 0⋅cot 2θ

22

x 12+x 0cot 2θ=x 12+2x 1x 0(cotθ-1) +x 0(cotθ-1) 2，所以x 0=

①

又因为点P 在圆上，所以(rcosθ) +(x1-rsin θ) =x 12，化简得r=2x1sin θ. ② 要

sin θ

2

2

证

DP=AP+AE⇔2DP=AD+AE⇔2r=x 1tan θ+x1tan θ-x 1⇔1+sinθ-cos θ=4sinθcos θ. ③

又因为⊥，所以⋅=0.

因为=(x1-x 0-rcos θ,rsin θ), =(x1-rcos θ,rsin θ), 所以 (x1-rcos θ)(x1-rcos θ-x 0)+r2sin 2θ=0. ④ 把②代入④化简得

x 12[(1-sin 2θ) 2+(1-cos 2θ) 2]=x 1x 0(1-sin 2θ). ⑤

由①得x 0=x1•2+2(cos2θ-sin 2θ) .

2+2cos 2θ-sin 2θ

代入⑤并约去x 1, 化简得4sin 2θ-3sin2θ=0，因为sin2θ≠0，所以sin2θ=3，又因为sin θ=AC

4

2

AD

>

CD

=cosθAD

，所以sin θ-cos θ>0.

所以sin

2

θ

-cos

θ

=

-sin 2θ=

12

，所以

1+sinθ-cos θ=3=4sinθcos θ，即③成立。所以DP=AP+AE。 6．证明 设BC=d，CD=b，BD=c，则AC=CQ=c ，取BC

2

中点M ，则AM ⊥BC ，以M 为原点，直线BC 为x 轴建立直角坐标系，则各点坐标分别为B (-d , 0) ，C (d , 0) ，D (d , b ) ，A (0, b ) ，

2

2

2

d c R (-, 0) 63

2

52S (d -c , 0) 63

，因为

b

=

1

CR =(d +c )

3

，所以点，所以

t a ∠n D R C =

1

(d +c ) 3

3b 3b

, t a ∠n A S Q =. (d +c ) 5d -4c

因为0

2

6b

∠DRC, 即3b =d +c 2

5d -4c ⎛3b ⎫

1- ⎪

d +c ⎝⎭

，化简得9d -9c -9b =0即d =b+c，

222222

显然成立。所以命题得证。