北师大版七下数学第四章三角形教案

第四章 三角形

第一节 认识三角形（1）

【学习目标】

1. 认识三角形的定义及相关概念和表示方法 2. 理解并能运用三角形的内角和定理. 3. 掌握三角形的分类.

4. 掌握直角三角形的表示方法及内角的性质. 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

1. 观察下面的屋顶框架

（1）你能从图中找出四个不同的三角形吗？ （2）这些三角形有什么共同的特点？ 解：（1）能

（2）都有 条边， 内角， 个顶点。

2. 多边形的概念：由若干条不在 上的线段 相连组成的封闭平面图形。 3. （1）什么叫做三角形？

解：由不在同一直线上的 线段首尾 相接所组成的图形叫做三角形。 （2）如何表示三角形？

解：三角形可用符号“△”表示， 如右图三角形记作：

（3）三角形的边可以怎么表示？

解：如图三角形中三边可表示为AB ，BC ，AC ，顶边BC 也可表示为a ，顶点B 所对的边 表示为b ，顶边AB 表示 。

4. 如果我说三角形有三要素, 你能猜出是哪三要素吗? 解：角：三角形中有 个角：∠A ， ，∠C

顶点：三角形中有 个顶点，顶点 ，顶点B ，顶点

边：三角形中三边 AB， ，AC 二、教材精读

1. 你能用学过的知识解释“三角形的三个内角和是180˚”吗？

点A 所对的点C 所对的

解：小明只撕下三角形的一个角，得到了结论，他是这样做的：

（1）如图所示，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1， ，∠3.

（2）将∠1撕下，按图所示摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合。由 相等可知∠1的另一边b 与∠3的一边a 平行。

（3）将∠3与∠2的公共边延长，它与b 所夹的角为 ，由∠1的另一边b 与∠3的一边a 平行可知∠3=

所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+ =180︒，即三角形内角和为 。

2. 下面的图⑴、图⑵、图⑶中的三角形被遮住的两个内角是什么角？请说明理由。

解：图1，图2露出的角分别

是 ， ，由三角形三个内角和等于

可以得到被遮住的两个角都是 ；当图3露出的一个角是锐角时，另外两个角有 中可能，即 个锐角， 、一直角， 、一钝角。

三个内角都是锐角 角三角

形有一个内角是 的分

类

有一个内角是直角

模块二

合作探究

1. 如图1，已知∠A=50°，求：∠1+∠2+∠3+∠4. 解：在∆ADE 中

∵∠A+ +∠2=180︒，∠A=50° ∴ +∠2=180°-∠A =180°- =

在∆ABC 中

∵∠A+ +∠3=180︒，∠A=50° ∴ +∠4=180°-∠A =180°- =

∠1+∠2+∠3+∠4= + =

1. 如图2，已知AB ∥CD ，∠B=52°，∠AOB=72°，求∠OCD 和∠ODE 的度数。 解：在∆ABO 中

∵∠B=52°，∠AOB=72°（已知）

且∠AOB+ +∠B=180°（三角形内角和为 ）

∴∠A=180°-∠AOB-∠B =180°- - =

∵AB ∥CD ，∠B=52°（已知）

∴∠OCD= =52°（ ） ∠ADC=∠A=56°

又∵∠ADC+∠ADE=180°（ ） ∴∠ADE=180°- =180°-56° = 模块三 形成提升 1. 如图3，（1）图中一共有_____个三角形，它们分别是________________； （2）以AB 为边的三角形共有_____个，它们分别是_________________；

（3）以 A 为内角的三角形有_____个，它们分别是_________________； 2. 在⊿ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=7：3：5，求∠A 、∠B 、∠C 的度数,

3. 如图4，AC ∥DE, ∠EBD =64°, ∠C=58°, ∠Ａ=80°, 求：∠E 和∠EBA 的度数。

模块四 小结反思 一、本课知识

1. 由不在同一直线上的 线段首尾 相接所组成的图形叫做三角形

2. 按三角形内角的大小把三角形分为： 三角形、 三角形、 三角形。 3. 三角形有三要素： 、 、 。

二、我的困或：

第一节 认识三角形（2）

【学习目标】

1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念 2. 掌握并能运用三角形三边的关系的性质.

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】三角形三边关系的理解及运用 【学习过程】

模块一 预习反馈 一学习准备

1. 按三角形内角的大小把三角形分为：三个角都是锐角的是 三角形 有一个角是直角的是 三角形 有一个角是钝角的事 三角形。 2. 图3-11中有几个三角形？将找到的三角形按角 解：锐角三角形：

直角三角形： 钝角三角形：

二、教材精读

1. 观察图3-11中的三角形，你能发现他们各自的

2. （1）任意画一个三角形，量出它的三边长度，并填空： a=______;b=_______;c=______ （2）计算并比较：

a+b____c; b+c____a; c+a____b

来分类。

边上之间有

a-b____c; b-c____a; c-a____b

（3）通过以上的计算你认为三角形的三边存在怎样的关系？

解：三角形两边之和 第三边， 三角形两边之差 第三边，

3. （1）元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。 利用你发现的规律填空 AB+AC BC AB+BC AC AC+BC AB

（2）任意两边之和大于第三边。你知道为什么吗？

________________________________________________ 归纳： 两边之和大于第三边。 两边之差小于第三边。第三边大于两边之 ,小于两边之 。

模块二 合作探究

1. 有两根长度分别为4cm 和9cm 的木棒，用长度为3cm 的木棒与它们首尾相连能摆成三角形吗？为什么? 用长度为13cm 的木棒呢？如要找根木棒与与已知的两根木棒首尾相连成一个三角形, 那么那根木棒的长度范围是多少?

解：取长度为3cm 的木棒时，由于 + =7

取长度为13cm 的木棒时，由于 + =13，出现了两边之和 第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形。 模块三 形成提升

1. ⊿ABC 三边分别为4，6，x ，则x 的取值范围是（ ）

A 、3b>c且b=7,c=5,则a 的取值范围是_________. 4. 等腰三角形的两边长分别为5cm 和2cm ，第三边为奇数，求第三边长.

5. 已知一个三角形两边相等，周长为56cm ，两边之比为3：2，求这个三角形各边的长.

模块四 小结反思 一、本课知识

1. 有 相等的三角形叫等腰三角形

有三边都相等的三角形式 三角形，也叫正三角形 2. 两边之和大于第三边。 两边之差小于第三边。

第三边大于两边之 ,小于两边之 。

二、我的困惑思：

三、课外思维拓展训练

1. 一个等腰三角形的两边长分别为25和12，则第三边长为 。 2. 某地有四个汽车停车场，位于如图所示的四边形ABCD 的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你能利用“三角形任意两边之和大于第三边”在四边形ABCD 的内部找一点P ，使点P 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和最小吗？

第一节 认识三角形（3）

【学习目标】

1 理解三角形的中线、三角形的角平分线的概念。 2．掌握三角形的中线、三角形的角平分线的性质。 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】相关概念性质的运用 【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

1. 三角形的定义是什么，它的边角有什么关系？

解：三角形的定义： 角的关系： 边的关系： 2. 什么是线段的中点？

解：线段的中点： 3. 什么是角平分线？

解：角平线：

二、教材精读

1. 三角形的“中线”：在三角形中，连接一个顶点与的线段，叫做这个三角形的 (median).AE是BC

它对边

边上的中

线.

2. （1）在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线. 你有什么方法？它有多少条？它们有怎样的位置关系? （2）钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？

解：___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 归纳：三角形的三条 交于一点，这点成为三角形的 。 3. 三角形的角平分线的定义在三角形中，一个内角的 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫三角形的角平分线。（注意：“三角形的角平分线”是一条线段）

例：每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。 (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗?

(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?

归纳：三角形的三条角平分线线交于一点。 模块二 合作探究

1. 在⊿ABC 中，∠A=36°，∠C=72°，BD 是⊿ABC 的角平分线，DE 平分∠BDC ，请问图中有几个角等于36°，有几个角等于72°？ 解：∵∠A=36°，∠C=72°（已知）

∴∠ABC=180°-∠A-∠C =180°- - =

又∵BD 是⊿ABC 的角平分线（已知） ∴∠ABD= =

1

∠ABC= （角平分线定义） 2

2. 在⊿ABC 中，AB=AC，周长为16cm ，AD 为BC 边上的中线，且BD=3cm，求AB. 解：∵AD 为BC 边上的中线，且BD=3cm（ ） ∴BC=2 = cm （中点性质） 又∵AB=AC，周长为16cm （已知）

∴AB+AC+BC=

∴ AB=16- = AB= 模块三 形成提升

1. 如图，AD 是∠CAE 的平分线，∠B=40°，∠DAE=80°，那么∠ACD=（ ） A 、60° B、80° C、70° D、50°

2. 在⊿ABC 中，AB=AC，D 为AC 的中点，中线BD 把⊿ABC 的周长分成15cm 和6cm ，试求BC 的长。

3. 如图，在⊿ABC 中，∠A=62°, ∠B=74° ，CD 是∠ACD 的角平分线，点E 在AC 上，且DE//BC.求∠EDC 的度数。

模块四 小结反思 一、学习准备

1. 三角形的“中线”：在三角形中，连接一个顶点与它对边 的线段，叫做这个三角形的 (median).三角形的三条 交于一点，这点成为三角形的 。 2. 三角形的角平分线的定义在三角形中，一个内角的 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫三角形的角平分线。三角形的三条角平分线线交于一点。（三角形的角平分线”是一条 ）

二、我的困惑 ：

第一节 认识三角形（4）

【学习目标】 1. 理解三角形的高线的概念。 2. 掌握三角形的高线的性质。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】相关概念性质的运用 【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

1. 你还记得 “过直线外一点画已知直线的垂线” 吗? 画法：放、 、推、 二、教材精读 1. 角形的高

从三角形的一个 向它的对边所在直线作 ，顶点和垂足之间的 叫做三角形的高线，简称三角形的高.

2. 锐角三角形的三条高(如图1) （1）每人准备一个锐

角三角形纸片。

（2）你能用折纸的办法得到它们吗?

（3）这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流. 注意:使折痕过 ，且所过顶点的对边边缘重合

发现:锐角三角形的三条高在三角形的 交于 点. 3. 直角三角形的三条高（如图2） （1）在纸上画出一个直角三角形. （2）你能画出这个三角形的三条高吗?

（3）它们之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流. 发现:直角三角形的三条高交于 顶点 4. 钝角三角形的三条高（如图3）

在纸上画出一个钝角三角形. 你能折出钝角三角形的

三条高吗？为了便于折出BC 边上的高，需要把CB 延长，为了便于折出AB 边上的高， 发现：钝角三角形的三条高 于一点, 但它们所在 交于一点. 归纳：三角形的三条高所在的 交于一点。 模块二 合作探究

1. 如图所示：在⊿ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，BD 、CE 相交于点H ，求∠BHC 的度数。 解：法一：在⊿ABC 中

∵∠A ：∠B ：∠C=3：4：5

∴∠A=

3

⨯180︒=

3+4+5

在⊿ABC 中,BD 为边AC 上的高， ∴∠ADE=

法二： ∠1=180︒-∠ADE -∠A

=180︒- - ： = 在⊿BHE 中, ∠BEH=90°, ∠1=

∴∠2=180°-∠BHE- =

∴∠BHC=180°-∠2 =180°- =

模块三 形成提升

1. 三角形两边上的高的交点，恰好是三角形的一个顶点，则此三角形是_________

2. 如图, 在⊿ABC 中,BC 边上的高是_______，AB 边上的高是_______；在⊿ABCE 中,BE 边上的高是_______，EC 边上的高是_______；在⊿ACD 中,AC 边上的高是_______，CD 边上的高是_______.。

3. 如图，在⊿ABC 中，AD 、AE 分别是高和角平分线，若∠B=35°，∠C=55°, 求∠CAD 和∠EAD 的度数.

模块四 小结反思 一、本课知识

1. 三角形的高：从三角形的一个 向它的对边所在直线作 ，顶点和垂足之间的 叫做三角形的高线，简称三角形的高.

2. 三角形的三条高所在的 交于一点

二、我的困惑：

第二节 图形的全等

【学习目标】

1. 理解图形全等的概念和特征。

2. 、知道全等三角形的概念及全等三角形的对应元素。

3. 知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。 4. 能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】1. 能完全重合图形相关性质

2.利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算 【学习过程】 模块一 预习反馈 一学习准备

模块二 合作探究

1. 这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合。你能分别从图中找出这样的图形吗？

二、教材精读

1. 能够完全重合的两个图形成为 图形。

例：观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？

解：（1）

______________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 归纳：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同

2. 能够完全重合的两个三角形叫做 表示方法:△ABC ≌△DEF 例：你能找到图中的对应边和对应角吗？对应边和对应角有什么特征？

解：对应边： 和 、 和 、 和

对应角： 和 、 和 、 和

。

模块二 合作探究

1. 如图, 已知⊿ABC ≌⊿ADE. (1)写出它们的对应边和对应角. (2)证明: ∠EAC=∠BAD. 解：（1）对应边： 和 、 和 、 和 对应角： 和 、 和 、 和 （2）证明：∵⊿ABC ≌⊿ADE （ ）

∴∠EAD=∠CAB （全等三角形 相等） ∴∠EAD-∠CAD= -∠CAD （ ） ∴ ∠EAC= 模块三 形成提升

1. 下列说法正确的是（ ）

A 、同一底片的两张相片一定全等； B、周长相等的两个图形一定全等； C 、全等的两个图形面积一定； D、以上说法都不对

2. 下列图中的两个三角形是全等三角形，请依次说出它们的对应边、对应角。 （1）⊿_______≌⊿________; 对应边:______________________ 对应角:______________________ 3. 如图，⊿ABD ≌⊿ACE ，你能说明BE=DC吗？

模块四 小结反思 一、本课知识

1. 能够完全重合的两个图形成为 图形。

2. 如果两个图形全等，它们的 和 一定都相同

3. 全等三角形的性质：全等三角形的 相等， 相等。

二、我的困惑：

第三节 探索全等三角形的条件（1）

【学习目标】

1. 探索三角形全等条件的。

2. 初步掌握证明三角形全等的判定方法。

3. 比较熟练的利用三角形全等的判定方法解决简单问题。 4. 了解三角形稳定性性质

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】了解三角形全等的判定并能运用 【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

1. 能够完全重合的两个图形成为 图形。

2. 如果两个图形全等，它们的 和 一定都相同

3. 全等三角形的性质：全等三角形的 相等， 相等。 如图，已知：ΔABC ≌ΔDEF. 试找出图中相等的边和角.

相等的边： = 、 = 、 =

相等的角： __ = __ 、 __ = __ 、 __ = ___ 二、教材精读

1. 只给一个条件(一条边或一个角) 画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？

2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。

(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm ； (2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°； (3) 三角形的两条边分别为4cm ，6cm.

3. 如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况吗？

解：三个 ；三条 ；两条 和一个 ；两个 和一条 。

4. （1）已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？

（2）已知一个三角形的三条边分别为4cm ，5cm 和7cm ，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？ 解：（1）三个内角对应相等的两个三角形 全等

（2）三边分别______的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS ”。通常写成下面的格式：

在△ABC 与△DEF 中，

⎧AC =DF ⎪

∵⎨AB =DE ⎪BC =EF ⎩

∴△ABC ≌△DEF （SSS ） 模块二 合作探究

1. 如图, 已知AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：⊿ABC ≌⊿DEF 。 证明：在⊿ABC 与⊿DEF 中,

（

） ∵（ ） （已知）

∴⊿ABC ≌ （ ）

例题观摩

已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A 与∠C 相等吗？为什么？

分析：要说明∠A 与∠C 相等，可设法使它们在两个可以全等的三角形中，那么，全等三角形的对应角相等, 为此变四边形为两个三角形。 解： ∠A=∠C. 连接BD

（已知）

∵（已知） （已知） ∴ΔABD ≌ΔCDB （SSS ）

∴∠A=∠C （全等三角形对应角相等）

模块三 形成提升

1. 如图，已知在⊿ABC 中，AB=AC，D 为BC 的中点. 求证：⊿ABD 与⊿ADC 全等。

2. 如图，AD=AC，BD=BC，∠D=55°，求∠C 的度数。

3. 如图，已知AB =DC ，AC =DB，试说明：∠A =∠D ．

模块四 小结反思 一、本课知识

1. 三个内角对应相等的两个三角形 全等

2. 三边分别______的两个三角形全等，简称为“边边边”或“ ”。通常写成下面的格式： 在△ABC 与△DEF 中，

⎧AC =DF ⎪

∵⎨AB =DE ⎪BC =EF ⎩

∴△ABC ≌ （ ）

二、我的困惑：

第三节 探索全等三角形的条件（2）

【学习目标】

1、掌握证明三角形全等的判定方法。 2、能规范书写全等三角形证明步骤。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线平行、垂直关系等”

的方法。

【学习过程】

模块一 预习反馈 一学习准备

1. 能够完全重合的两个图形成为 图形。

2. 如果两个图形全等，它们的 和 一定都相同

3. 全等三角形的性质：全等三角形的 相等， 相等。

4. 三边分别______的两个三角形全等，简称为“边边边”或“ ”。 二、教材精读

1. 有一块三角形纸片撕去了一个角, 要去剪一块新的, 如果你手头没有测量的仪器, 你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗?

2. 我们知道:如果给出一个三角形三条边的长度, 那么因此得到的三角形都是全等. 如果已知一个三角形的两角及一边, 那么有几种可能的情况呢? 每种情况下得到的三角形都全等吗? 解：（1）角. 边. （2）角. 角.

每种情况下得到的三角形 全等

（1）三角形全等的判定方法2：两角及其 分别 的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA ”。通常写成下面的格式： 在△ABC 与△DEF 中，

⎧∠B =∠E ⎪

∵⎨BC =EF ⎪∠C =∠F ⎩

∴△ABC ≌ （ ）

（2）三角形全等的判定方法3：两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形 ，简写成“角角边”或“AAS ”。通常写成下面的格式： 在△ABC 与△DEF 中，

⎧∠A =∠D ⎪

∵⎨∠B =∠E ⎪BC =EF ⎩

∴ ≌△DEF （ )

归纳：①两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA ”

②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”

模块二 合作探究

1. 如图，已知，∠C ＝∠E ，∠1＝∠2，AB ＝AD ，求证：△ABC ≌△ADE 解：∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC 即∠BAC ＝∠DAE 在△ABC 和△ADC 中

∠C ＝∠E （已知） ∠BAC ＝ （已证） ＝AD （ ）

∴ △ABC ≌ （ ） 模块三 形成提升

1、已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 、CD 相交于O ，AD=AE, ∠B=∠C ，求证：BD=CE

2. 如图, 已知⊿ABE ≌⊿ACD, 且BF=CF，试说明⊿FEC 与⊿FDB 全等。

模块四 小结反思 一、本课知识

1. 两角及其 分别相等的两个三角形全等，简写为“ ”或“ASA ”

2. 分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 ，简写成“角角边”或“ ”。

二、我的困惑：

第三节 探索全等三角形的条件（3）

【学习目标】

1、掌握证明三角形全等的判定方法。 2、能规范书写全等三角形证明步骤。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线平行、垂直关系等”

的方法。

【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

1. 三角形全等的判定方法1：三边分别______的两个三角形 ，简称为“边边边”或“ ”。

2. 三角形全等的判定方法2：两角及其 分别 的两个三角形全等，简写为“ ”或“ASA ”。

3. 三角形全等的判定方法3：两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形 ，简写成“角角边”或“ ”。 二、教材精读

1. 根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？ 解：两边一角相等：

（1）两边及 ___ ；（2） ____ 及其一边的对角

2. （1）两边及夹角三角形两边分别为2.5cm ，3.5cm ，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？

（2）以2.5cm ，3.5cm 为三角形的两边，长度为2.5cm 的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？

解：（1）我画的与同伴画的是全等的(如图1) 。

（2）我画的与同伴画的不一定全等（如图2）。

总结：①两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形 全等。

②三角形全等的判定方法4：两边及其 分别 的两个三角形全等，简写成“ ”或“SAS ”。通常写成下面的格式： 在△ABC 与△DEF 中，

⎧AB =DE ⎪

∵⎨∠B =∠E ⎪BC =EF ⎩

∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 模块二 合作探究

1. 如图：在△ABE 和△ACF 中，AB =AC , BF =CE .

求证：（1）AF =AE

（2）△ABE ≌△ACF 证明：（1）∵AB =AC , BF =CE （已知）

∴AB-BF=AC-CE （ ） 即 在△ABE 和△ACF 中

∵ ∴_________________________________ 模块三 形成提升

1. 在△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的角平分线。那么BD 与CD 相等吗？为什么？ 解：相等

理由：∵AD 是∠BAC 的角平分线

∴∠BAD ＝ （ ） ＝AC ∵BAD ＝∠CAD AD ＝AD

∴△ABD ≌△ACD （SAS ） ∴BD ＝CD

2. 如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，∠1＝∠2， 求证：△ABE ≌△DBC

3. 如图，已知点E 、F 在BC 上，且BE =CF ，AB =CD ，∠B =∠C ，求证：AF =DE

模块四 小结反思 一、本课知识

1. 两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形 全等。

2. 三角形全等的判定方法4：两边及其 分别 的两个三角形全等，简写成“ ”或“SAS ”。 二、我的困惑

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

第四节 用尺规作三角形

【学习目标】

在给出的两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】利用三角形的全等解决问题 【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

（1）回忆判定全等三角形的方法有_______、______、______、______。 （2）尺规作图时，用_______画直线、射线和线段, 用________画弧或圆. 二、教材精读

1. 已知三角形的两边及其夹角, 求作这个三角形.

已知：线段a ，c ，∠α。求作：ΔABC ，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α。

作法与过程：

①作一条线段BC=a；

②以B 为顶点， 为一边，作角∠DBC= ； ③在射线 上截取线段BA= ； ④连接 ，ΔABC 就是所求作的三角形。 2. 已知三角形的两角及其夹边, 求作这个三角形.

已知：线段∠α，∠β，线段c 。

求作：ΔABC ，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。

作法：①作___________=∠α；

②在射线_____上截取线段________=c；

③ 以____为顶点, 以_______为一边, 作∠____=∠β, _______交______于点______.ΔABC 就是所求作的三角形.

3. 已知三角形的三边, 求作这个三角形.

已知：线段a ，b ，c 。求作：ΔABC ，使得AB=c，AC=b，BC=a。

作法：（1）作一条线段BC=a；

（2）分别以B ，C 为圆心，以 c，b 为半径画弧，两弧交于A 点 （3）连接AB,AC 。

△ABC 就是所求作的三角形

模块二 合作探究

1. 已知∠α和∠β、线段a ，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且∠α的对边等于a 。

(提示：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠ γ 。由此转换成已知∠β 和∠ γ及其这两角的夹边a ，求作这个三角形。)

作法：1、

2、 3、

4、 5、 △ABC 就是所求作的三角形 模块三 形成提升

1、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形，第一步应为（ ） A 、作一条线段等于已知线段； B 、作一个角等于已知角；

C 、作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D 、先作一个角等于已知角，或先作一条线段等于已知线段 2、用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（ ） A 、已知两角和夹边；

B 、已知两边和夹角；

C 、已知两边和其中一边的对角； D 、已知两角和其中一角的对边。

3、已知∠α和线段a ，求作⊿ABC ，使∠A=∠α，∠B=2∠α，AB=2a。

模块四 小结反思 一、本课知识

1. （1）回忆判定全等三角形的方法有_______、______、______、______。 （2）尺规作图时，用_______画直线、射线和线段, 用________画弧或圆. 二、我的困惑：

第五节 三角形全等测距离

【学习目标】

2 能利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。 2、能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】有条理的思考和表达 【学习过程】

模块一 预习反馈 一、学习准备

1. 请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC 全等，比比看谁快！

二、教材精

读

1. 战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，

他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。你觉得他测的距离准确吗？

2. 小明在上周末游览风景区时，看到了一个美的池塘 ，他想知道最远两点A 、B 之间的距离， 但是他没有船，不能直接去测。手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A 、B 之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁是方案更便捷。 方案一：在能够到达A 、B 的空地上取一适当点C ，连接AC ，并延长AC 到D ，使CD=AC，连接BC ，并延长BC 到E ，使CE=BC，连接ED 。则只要测ED 的长就可以知道AB 的长了 理由: 在△ACB 与△DCE 中， AC=CD

∠BCA=∠ECD BC=CE AB=DE (全等三角形的 相等)

方案二：如图，找一点D ，使AD ⊥BD ，延长AD 至C ，使CD=AD，连结BC ，量BC 的长即得AB 的长。 解:在Rt ∆ADB 与Rt ∆CDB 中 BD=BD （同一条线段）

ADB=∠CDB （都是 ） CD=AD （ ） ≌∆CDB ( )

∴ BA = BC （ ）

模块二 合作探究

1.1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战，德军在莱茵河北岸Q 处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌兵营，聪明的拿破仑站在南岸的点O 处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O 处，让士兵丈量他所站位置B 与O 点的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营，试问：法军能命中目标吗？请说明理由，用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边OQ 的距离？

≌△DCE （

模块三 形成提升

1. 如图, 某人要测量河中浅滩B 和对岸A 的距离, 先在岸边定出点C, 使C 、A 、B 在一直线上，再依AC 的垂直方向在岸边画线段CD ，取它的中点O ，又画DF 垂直CD ，观测得E 、O 、B 在一直线上，同时F 、O 、A 也在一直线上，那么EF 的长就是AB 的距离，为什么？

模块四 小结反思 一、本课知识

1. 三角形全等的判定方法1：三边分别______的两个三角形 ，简称为“边边边”或“ ”。

2. 三角形全等的判定方法2：两角及其 分别 的两个三角形全等，简写为“ ”或“ASA ”。

3. 三角形全等的判定方法3：两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形 ，简写成“角角边”或“ ”。

4. 三角形全等的判定方法4：两边及其 分别 的两个三角形全等，简写成“ ”或“SAS ”

二、我的困惑：

第六节 探索直角三角形全等的条件

【学习目标】

1 掌握直角三角形全等的判定方法。

2．在几何证明中进行有条理的思考和表达。 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】掌握直角三角形全等的判定方法 【学习过程】

模块一 知识回顾 一、学习准备

1. 三角形全等的判定方法1：三边分别______的两个三角形 ，简称为“边边边”或“ ”。

2. 三角形全等的判定方法2：两角及其 分别 的两个三角形全等，简写为“ ”或“ASA ”。

3. 三角形全等的判定方法3：两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形 ，简写成“角角边”或“ ”。

4. 三角形全等的判定方法4：两边及其 分别 的两个三角形全等，简写成“ ”或“SAS ” 二、教材精读 1. （1）已知线段a ，c(a

（2）将你作的直角三角形撕下，与你的同伴进行交流，看看能否重叠在一起？ ______________________________________________________________________ （3）你发现了什么结论？

______________________________________________________________________ （4）判断两个直角三角形全等的方法你认为有哪些？

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

归纳：在直角三角形中， 和一条 分别相等的两个三角形全等，简称“HL ”

实践练习：如图，∠C=∠D=90°，AC=BD，求证：BC=AD。 证明:在Rt ∆ABC 和Rt ∆ABC 中 AC=BD（ ）

（公共边）

∴Rt ∆ABC Rt∆ABC （ ） ∴ = （ ） 模块二 合作探究

1. 已知如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，CE 与DF 相等吗？请说明你的理由。

模块三 形成提升

1. 如图1，AB=AC，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等的直角三角形共有（ ）

A 、6对 B、5对 C、4对 D、3对

2. 如图2, 已知⊿ABC 中,AD 是角平分线, 且BD=CD,DE、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E 、F ，求证：EB=FC。

3. 如图3, 已知AC=EC,∠ACE=90°,AB ⊥BD,ED ⊥BD,AB=6㎝,DE=2㎝. 求BD.

模块四 小结反思 一、本课知识

1. 在直角三角形中， 和一条 分别相等的两个三角形全等，简称“HL ” 二、我的困惑： 附：课外拓展思维训练

1、已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，如图摆放使得一直角边重合，连接BD ，CE 。求∠BFC 的度数

第三章 三角形

回顾与思考

【学习目标】

1. 通过三角形的概念和识别方法的复习，让学生体会辨别、探寻、运用全等三角形的一般方法，体会主动实验，探究新知的方法；

2. 培养学生观察和理解能力，几何语言的叙述能力及运用全等知识解决实际问题的能力. 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】运用全等三角形的识别方法来探寻三角形以及运用全等三角形的知识解决实际问题.

【学习过程】

模块一 知识点回顾 基本概念

1、三角形的三种重要线段：三条_______线、三条_______线、三条_______线.

（1）三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条_________，后者是一条_________.三角形的高线是_________，而线段的垂线是_________.（填“线段”或“射线”或“直线”）

（2）三角形的三条角平分线相较于_________一点，三条中线相较于_________一点，三角形的三条高线也相较于一点，但锐角三角形的交点在三角形的_________，直角三角形的交点在三角形的_________，钝角三角形的交点在三角形的_________.（填“形内”或“形外”） 2、三角形的性质： （1）边的性质：三角形的任意两边之和_________第三边，三角形的任意两边之差_________之差.

（2）角的性质：三角形的三个内角之和等于_________°；一个外角_________与它不相邻的两个内角的和，一个外角__________任何一个与它不相邻的内角，_________三角形的两个锐角互余.

（3）稳定性：即三边的长度确定后，三角形的形状保持不变. 3、三角形的分类：

（1）按边分：_________三角形和_________三角形.

（2）按角分：_________三角形和_________三角形和_________三角形. 基本性质与判定

1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边_________，对应角_________. 2、全等三角形的判定

（1）一般三角形有：________、________、________、________共4种.

（2）直角三角形有：________、________、_______、_______、_______共5种.

判定两个三角形全等，必须满足三个条件对应相等，其中不能缺少边的条件，如“AAA ”不能判定两个三角形全等；三角形全等没有“SSA ”的判定方法，而“HL ”是不同于“SSA ”的.

基本思路、基本技能

1、判定三角形全等的基本思路

根据全等三角形的判定方法，要判定两个三角形全等，需结合题目中的已知边（或角），要迅速地确定还需要补充什么（边或角）条件，一般有以下几种思路. ⎧找夹角→运用“SAS ”

已知两边⎪找直角→运用“HL ”或“SAS ”

⎨

⎪找另一边→运用“SSS ”⎩

⎧边与角相对→找任意角→运用“AAS ”⎪

→运用“ASA ”⎧找这条边上的另一个角已知一边一角⎪

⎨⎪

⎨找这条边的对角→运用“AAS ”⎪边是角的一条边

⎪找该角的另一边→运用“SAS ”⎪

⎩⎩

找两角的夹边→运用“ASA ”已知两角⎧ ⎨

⎩找其中一角的对边→运用“AAS ”

2、尺规作三角形

（1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形. （2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形. （3）已知三角形的三边，求作这个三角形.

（4）已知三角形两角和其中一角的对边，求作这个三角形.

对于尺规作图应注意：①作图的痕迹要保留，不能去掉；②能够运用五种基本作图完成已知条件的三角形；③叙述作法时，语言要准确、简捷、规范.

基本图形

1. 平移型. 如图1-1、1-2中，可以把一个三角形看成是另一个三角形按一定方向、平移一定距离得到的.

2. 对称型. 如图2-1、图2-2、图2-3、图2-4按某一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合.

3. 旋转型. 如图3-1、图3-2、图3-3可以看成是其中一个三角形绕某点旋转一定的角度后与另一个图形完全重合.

模块二 合作探究

1. 如图①,AB=CD,AD=BC,O为AC 中点, 过O 点的直线分别与AD,BC 相交于点M,N, （1）那么∠1与∠2有什么关系?AM,CN 有什么关系? 请说明理由. （2）若将过O 点的直线旋转至图②③的情况时, 其他条件不变, 那么（1）中关系的还成立吗? 请说明理由.

2. 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC =40°，分别以AB ，AC 为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠BAD =∠CAE =90°. （1）求∠DBC 的度数；（2）求证：BD=CE．

3. 如图，⊿ABC 与⊿DCE 是等边三角形，连接BD 交AC 于F ，连接AE ，交CD 于G ， （1）求证：AE=BD；（2）求证：CF=CG

4. 如图，AB 、CD 交于点O ，AC ∥DB ，OC=OD，E 、F 为AB 上的两点，AE=BF，求证：CE=DF。

模块三 形成提升

1. 在∆ABC 中，∠A=30︒，∠B=2∠C ，则∠C=______度，∠B=______度. 2. 一个三角形的三边长分别是3,4, x ，则x 的取值范围是（ ） A.x ＞3 B. x ＞4 C.3＜x ＜4 D.1＜x ＜7 3. 如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，

垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA=PB B．PO 平分∠APB C ．OA=OB D．AB 垂直平分OP

4. 如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC, ∠BAD ＝∠EAC, BC、DE 交于点O.

求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB＝OE .

5. 如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．

6. 如图，已知⊿ABD 、⊿AEC 都是等边三角形，AF ⊥CD 于F ，AH ⊥BE 于H ，问： （1）BE 与CD 有何数量关系？为什么？（2）AF 、AH 有何数量关系？

7. 如图，△ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD=2CE．