二项式定理10.43
10.43二项式定理(3)
教学目标:1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用;
2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题;
3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决
问题的能力。
教学重点、难点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。
教学过程:
一、复习:
1.二项式定理,二项展开式的通项及二项式系数.
二、新课讲解:
1.二项式系数表(杨辉三角)
(ab)n展开式的二项式系数,当n依次取1,2,3„时,如下表所示:
(ab)1„„„„„„„„1 1
(ab)2„„„„„„„1 2 1
(ab)3„„„„„„1 3 3 1
(ab)4„„„„„1 4 6 4 1
(ab)5„„„„1 5 10 10 5 1
(ab)6„„„1 6 15 20 15 6 1
„„„„„„„„„„„„
上表叫二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两
个数的和(为什么?)
这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就已经出现,这个表叫杨辉三角。利用这一性质,可根据相应于n的各项二项式系数写出相应于n1的各项二项式系数。
2.二项式系数的性质:
012nr,Cn,Cn,„,Cn.Cn可以看成以r为(ab)n展开式的二项式系数是Cn
自变量的函数f(r)
定义域是{0,1,2,,n},例当n6时,其图象是7个孤立的点(如图)
mnm(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵Cn). Cn
直线rn是图象的对称轴. 2
k(2)增减性与最大值.∵Cnn(n1)(n2)(nk1)k1nk1Cn, k!k
nk1nk1n1kk11k∴Cn相对于Cn的增减情况由决定,, kk2
n1当k时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,2
且在中间取得最大值;
当n是偶数时,中间一项C取得最大值;当n是奇数时,中间两项C
得最大值.
(3)各二项式系数和:
1∵(1x)n1CnxrrCnxn2nn12n,Cn12n取xn,令x1,则
n. Cn0122nCnCnCnrCn
三、例题:
例1.求证:在(ab)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
02说明:由性质(3)及例1知CnCn13CnCn2n1.
例2.已知(12x)7a0a1xa2x2(1)a1a2a7x7,求: a7; (2)a1a3a5a7; (3)|a0||a1| |a7|.
例3.
已知:(2)50a0a1xa2x2
a50x50,求:
(a0a2a50)2(a1a3a49)2的值。
四、作业: 同步练习 10043