三角函数第六课时-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理
重要知识
1、正弦定理:
a b c
===2R 或变形:a :b :c =sin A :sin B :sin C .
sin A sin B sin C
⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⎪222
2、余弦定理: ⎨b =a +c -2ac cos B 或
⎪c 2=b 2+a 2-2ba cos C ⎩
⎧b 2+c 2-a 2⎪cos A =2bc ⎪
a 2+c 2-b 2⎪
⎨cos B =
2ac ⎪
⎪b 2+a 2-c 2⎪cos C =
2ab ⎩
.
3、三角形面积公式: S = sin A =
111
ab sin C = bc sin A = ac sin B , sin A =, sin A =, 222
注:(1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 4、判断三角解时,可以利用如下原理:
sinA > >> b 5、解题中利用∆ABC 中
A +B +C =π,以及由此推得的一些基本关系式x 进行三角变换的运算,
内角和定理:在∆ABC 中,A +B +C =π;sin(A +B ) = ;
cos(A +B ) = ;
B cos A +
=
题型1、求三角形中的某些元素
例1、已知:A 、B 、C 是∆ABC 的内角,a,b,c 分别是其对边长,(Ⅰ)向量=
, cos (π-A )-1,
,
3求b 的长.
)
n =(cos(π-A )1,),m ⊥n . 求
;(Ⅱ)若 ,
a =2, cos B =
变式1、在△ABC 中,a =1,b 7 ,B =60°,求c.
变式2、在∆
ABC 中,已知AC =B =
45,cos C =
BC 的长; 题型2、判断三角形形状
例3、① A =
π
6
,c =; ② a cos A =b cos B ;
③ sin A =2sin B cos C ; ④ sin 2A +sin 2B =sin 2C ;
变式3、(1)在△ABC 中,已知2sin A cos B =sin C , 那么△ABC 一定是 (
)
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
(2)在△ABC 中,若
cos A cos B sin C
==,则△ABC 是( ) a b c
B.等腰直角三角形
D .等边三角形
A.有一内角为30°的直角三角形 C.有一内角为30°的等腰三角形
题型3、边化角与角化边
B C sin A :sin B :sin C =3:2:4 ,例4、在△ABC 中,则∆A
的最大角的余弦值是______.
例5、在∆ABC 中,若a 2-b 2=bc , sin C =2sin B ,则A = ________.
例6、在△ABC 中,角A , B , C 的对边分别是a , b , c ,若(3b -c ) cos A =a cos C ,则
cos A = ______.
变式3、∆ABC 中,若sin A :sin B :sin C =5:7:8,则∠B 的大小是___________.
题型4、三角形的面积
例7、在△ABC 中,cos A =-的面积.
π
变式4.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边.若A =b =1,△ABC 的面
3
3
积为a 的值为( )
2
3
A .1 B .2 C. D. 3
2
53
,cos B =, (Ⅰ)求sinC 的值;(Ⅱ)设BC=5,求△ABC 135
课堂练习
1.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . 若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )
A. 6 B .2 3 2
2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,又a 、b 、c 成等比数列,且c =2a ,则cos B =( )
132A. B. C. D. 4443
5
3.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c . 若a =,A =2B ,则cos B =( )
2
5555A. C. D. 3456
1
4. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若其面积S =b 2+c 2-a 2) ,则∠A
4
=________.
5.在△ABC 中,若AB =3,∠ABC =75°,∠ACB =60°,则BC 等于________.
8.在△ABC 中,已知BC =12,A =60°,B =45°,则AC =________.
a b c
9、在△ABC 中,若==,则△ABC 的形状是_____________.
A B C cos cos cos 222
课后作业
1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°, 则∠B 等于
( )
A .60° B .60°或120° C .30°或150° D .120° 2、在锐角三角形ABC 中,有
A .cosA>sinB且cosB>sinA
B .cosA
( )
C .cosA>sinB且cosBsinA 3、若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 A .直角三角形 C .等腰三角形
B .等边三角形 D .等腰直角三角形
( )
4、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°, 则A,B 之间的相距( ) A .a (km)
5、在△ABC 中,cos(A-B) +sin(A+B) =2,则△ABC 的形状是 ( ) A. 等边三角形
B. 等腰钝角三角形 C. 等腰直角三角形
D. 锐角三角形
B .a(km) C .2a(km) D .2a (km)
2 c -b tanA
6、在△ABC = ,则∠A 等于 ( )
tanB b A.30° B .45° C .60° D.90°
7、在△ABC 中,tanA +tanB +tanC >0,则△ABC 是 ( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形
→→→→→→
8、在△ABC 中,下列三式:AB ·AC >0,BA ·BC >0,CA ·CB >0中能够成立的个数为( ) A. 至多1个
B. 有且仅有1个 C. 至多2个
D. 至少2个
9、(2014四川)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75,30,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于( )
A 、1) m
B 、1) m
C 、1) m
D 、1) m
解三角形高考题
例1.(2013四川理.) 在∆ABC 中,角A , B , C 的对边分别a 、b 、c ,且
2cos 2
A -B 3
cos B -sin(A -B ) sin B +cos(A +C ) =-,求cos A 的值. 25
变式1. (2013四川文)在∆ABC 中,角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且
c o s A (-B ) c o B -s
(Ⅰ)求sin A 的值;
s A i -n (B
3
) A +s i n c (。 )
5
题型一:已知边角求边角
例1.(湖北)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知a=1,b=2,cosC= (I ) 求△ABC 的周长; (II )求cos (A ﹣C )的值.
变式1.(天津)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知(Ⅰ)求cosA 的值; (Ⅱ)
的值.
.
错误!未指定书签。变式2(2013年高考天津卷(文))在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的
边分别是a , b , c . 已知b sin A =3c sin B , a = 3, cos B =(Ⅰ) 求b 的值;
π⎫⎛
(Ⅱ) 求sin 2B -⎪的值.
3⎭⎝
2. 3
题型二:与面积有关的
例1.(湖北)在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,且(1)确定角C 的大小; (2)若
.
,且△ABC 的面积为,求a+b的值.
变式1.(北京)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为(Ⅰ)求sinC 的值; (Ⅱ)求△ABC 的面积
,.
变式2.(辽宁)在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c .已知.
(1)若△ABC 的面积等于,求a ,b ;
(2)若sinC+sin(B ﹣A )=2sin2A,求△ABC 的面积.
错误!未指定书签。变式3. (2013浙江)在锐角△ABC中, 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 且3b .
(Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.