线性代数(经济数学2)_习题集(含答案)
《线性代数(经济数学2)》课程习
题集
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习题
【说明】:本课程《线性代数(经济数学2)》(编号为01007)共有计算题1, 计算题2, 计算题3, 计算题4, 计算题5等多种试题类型,其中,本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。
一、计算题1
1
023
-1
0求余子式2
1. 设三阶行列式为D
=1-1
M 11,M 12,M 13及代数余子式A 11,A 12,A 13.
2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式
1
13927
1749343
1-515-125
41664
D 4=
3. 求解下列线性方程组:
⎧x 1+a 1x 2+a 12x 3+ +a 1n -1x n =1
⎪2n -1
⎪x 1+a 2x 2+a 2x 3+ +a 21x n =1
⎨
⎪
⎪x +a x +a 2x + +a n -1x =1
n 2n 3n n ⎩1
其中 a i ≠a j (i ≠j , i , j =1, 2, , n )
⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪
4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎨x 1+μx 2+x 3=0有非零解?
⎪x +2μx +x =0
23⎩1⎧(1-λ) x 1-2x 2+4x 3=0
⎪
5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎨2x 1+(3-λ) x 2+x 3=0有非零解?
⎪x +x +(1-λ) x =0
23⎩1
二、计算题2
1
20-2-41-1101-23141110
2536
5-8-22
0-14-5
6. 计算D
=
31-2
的值。
7. 计算行列式D
=
-231
的值。
01011
1101
8. 计算D
=
111
的值。
[1**********]3
9. 计算行列式19951996的值。
4
1251
2021
19984207
1999
10. 计算
1100
的值。
11. 求满足下列等式的矩阵X 。
⎛2⎝-3
1-1
-⎫1⎛-
-2X =⎪ 1⎭⎝1
4-1
-3⎫
⎪ -3⎭
12. A为任一方阵,证明A +13. 设矩阵
⎛1
A =
-2⎝
21
T T
A ,AA 均为对称阵。
⎛1 3⎫
⎪B = 02⎪⎭ 3
⎝
210
0⎫⎪1⎪ -1⎪⎭
求AB .
14. 已知
⎛1
A =
1⎝
-1-2
⎛-1 3⎫
⎪B = 3⎪1⎭ 2
⎝
102
2-11
3⎫⎪1⎪ 2⎪⎭
求(AB ) T 和B T A T
15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中
⎛1
A = 0
1⎝
12-1
-1⎫⎛1⎪ 2⎪ B = 1
20⎪⎭⎝
-1⎫
⎪1⎪ 1⎪⎭
16. 设矩阵
⎛3
5
A =
0 0⎝
-2-300
0031
0⎫⎪0⎪ 4⎪⎪2⎪⎭
求A -1
⎛1
17. 求A = 1
1⎝
121
1⎫⎪
1⎪的逆。 3⎪⎭
18. 设n 阶方阵A 可逆,试证明A 的伴随矩阵A *可逆,并求(A *) -1。 19. 求矩阵
⎛5
2A =
0 0⎝
2100
0011
0⎫⎪0⎪
-2⎪
⎪1⎪⎭
的逆。 ⎛1
20. 求矩阵 3
5⎝
24-4
-1⎫⎪
-2的逆。 ⎪1⎪⎭
三、计算题3 21. 设矩阵
⎛1 0
A =
2 1⎝
1201
2130
25-14
1⎫⎪-1⎪
3⎪⎪-1⎪⎭
求矩阵A 的秩R (A ) 。
22. 求向量组α1, α2, α3, α4的秩。其中,α1
α4=(3, 2, -4) 。
=(1, 0, -1) ,α2=(-2, 3, 1) ,α3=(2, 1, -1) ,
23. 设向量组β1,β2,β3可由向量组α1,α2,α3线性表示。
⎧β1=α1-α2+α3
⎪
⎨β2=α1+α2-α3 ⎩β3=-α1+α2+α3
试将向量α1,α2,α3 由 β1,β2,β3线性表示。
24. 问a 取什么值时下列向量组线性相关?
a 1=(a, 1, 1)T , a 2=(1, a, -1) T , a3=(1, -1, a)T .
25. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:
a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a3=(-2, -4, 2, -8) T 。
四、计算题4 26. 求线性方和组的解
⎧x 1-x 2+2x 3=3⎪
⎨-x 1+3x 2-x 3=-1
⎪2x 2+x 3=2⎩
27. 求解下列线性方程组
⎧x 1+2x 2-x 3+3x 4+x 5=2⎪
⎨2x 1+4x 2-2x 3+6x 4+3x 5=6
⎪-x -2x +x -x +3x =4
12345⎩
28. 当a 、b 为何值时,线性方程组
⎧x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=a
⎪
⎪3x 1+2x 2+x 3+x 4-3x 5=0
⎨
x +2x +2x +6x =b 2345⎪
⎪5x +4x +3x +3x -x =2
2345⎩1
有解,当其有解时,求出其全部解。
⎧x 1+2x 2-5x 3+2x 4=0
⎪
29. 求解齐次线性方程组⎨2x 1+x 2-3x 3+5x 4=0
⎪5x 1-7x 2+x 4=0⎩
30. 求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:
⎧x 1+x 2=5
⎪
⎨2x 1+x 2+x 3+2x 4=1
⎪5x +3x +2x +2x =3
234⎩1
31. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形,并求出变换阵.
2
f (x 1, x 2, x 3) =2x 12+x 2-4x 1x 2-4x 2x 3
32. 设矩阵
⎛1
A = 0
1⎝
011
1⎫⎪1⎪ 2⎪⎭
求A 的正交相似对角阵,并求出正交变换阵P 。
33. 求一个正交变换将二次型f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3化成标准形。
34. 求一个正交变换将二次型f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4化成标准形。
⎛2
35. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵 -2
0⎝
-21-2
0⎫⎪
-2化为对角阵。 ⎪0⎪⎭
五、计算题5 (略)……
答案
一、计算题1 1. 解: M 11=
1-11-1
230223
02
=4 A 11=(-1)
1+1
M 11=4,(3分)
M 12==2 A 12=(-1)
1+2
M 12=-2,(6分)
M 13==5 A 13=(-1)
1+3
M 13=5,(8分)
2. 解: 对照范德蒙行列式,此处
a 1=4,a 2=3,a 3=7,a 4=-5 (3分) 所以有 D 4=
4≥i >j ≥1
∏(a i -a j ) (5分)
=(a 2-a 1)(a 3-a 1)(a 4-a 1)(a 3-a 2)(a 4-a 2)(a 4-a 3) =(3-4)(7-4)(-5-4)(7-3)(-5-3)(-5-7) =10368 (8分)
3. 解:写出系数行列式D
1
a 1a 2⋅⋅⋅a n
a 1a 2a n
22
a 1a 2a n
n -1n -1
D =
1⋅⋅⋅1
⋅⋅⋅
2
⋅⋅⋅
n -1
(3分)
D 为n 阶范德蒙行列式,据题设a i ≠a j (i ≠j ) D =
∏(a i -a j ) ≠0 (5分)
1≤i
由克莱姆法则知方程组有唯一解。 易知 D 1=D , D 2=0,..., D n =0
∴x 1=1, x 2=⋅⋅⋅=x n =0 (8分)
4. 解 系数行列式为
λ
D =1
1
1
1
1=μ-μλ. (4分) 1
μ2μ
令D =0, 得
μ=0或λ=1. (6分)
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解. (8分)
5. 解 系数行列式为
-λ
-23-λ1
411-λ
=-λ21
-3+λ1-λ0
411-λ
D =21
(4分)
=(1-λ) 3+(λ-3) -4(1-λ) -2(1-λ)(-3+λ) =(1-λ) 3+2(1-λ) 2+λ-3. (6分) 令D =0, 得
λ=0, λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解. (8分)
二、计算题2 6. 解:
(4分)
(8分)
(10分)
7. 解
(2分)
(4分)
(6分)
(8分) =-60(10分)
8. 解:
(5分)
1991
[1**********]8
1
(10分)
1993
1996(第3列减第2列)(3分) 1999
9. 解:对于行列式,使用性质进行计算。
有 1994
=1991=[1**********]811
1(第2列减第1列)(6分) 1
11(由于2,3列对应相等)(8分) 11
=0(10分)
4
1251
4
2021
-123
42
4-1230
9017
2021
-102-140
10
10. 解
1100
c 2-c 31======0c -7c 437
10
4=1-123
-102-14
⨯(-1)
4+3
(5分)
c 2+c 39-2======0
c 1+1c 2314
=1
-2=0.(10分) 14
11. 解 将上述等式看成A -2X =B (2分)
由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律,得 A -B =2 ∴X =
12
X
(A -B ) (4分)
=[
1⎛22⎝-3
1-1
-1⎫⎛-4
⎪- 1⎭⎝1
3-1
-3⎫
⎪](6分) -3⎭
=
1⎛6-22⎫
2 ⎝-4
4⎪ (8分) ⎭
=⎛3-11⎫
⎝-2
2⎪(10分) ⎭
12. 证:对称阵:
(20分)
(4分)
∴ 是对称阵. (6分)
(8分)
∴
是对称阵(10分)
13. 解 AB
(2分)
(8分)
(10分)
14. 解
(3分) ∴(6分)
6分) (
而
(10分)
15. 解
(1分)
(3分)
(5分)
(7分)
(9分)
∴ X=A-1
B
(10分)
16. 解:A 3-21=
5-3
=1(2分)
A 342=
1
2
=2 (4分)
A -1
1
=
1⎛-32⎫⎛-32⎫
1 ⎝-53⎪=⎭ ⎝-53⎪ (6分) ⎭
-2⎫ A -1
=1⎛2-4⎫⎛1
2
2 ⎝-1
3⎪=
⎭ 13⎪
⎪ (8分) ⎝-
22⎭
于是
⎛-32
⎫0 -1
A
-1
=⎛⎫ -530⎪
⎪
A 1A -1⎪= 001-⎪ 2 (10分)
⎝
2⎭
⎝
00-13⎪
⎪22⎪
⎭17. 解:
(3分)
7分) (
∴ (10分)
18. 证: 因为A 可逆,所以|A|≠0,(1分)
且A
-1
=
1A
A *
于是有 A*=|A|A-1 (3分)
对上式两边取行列式,并由方阵行列式性质(2)(注意|A|是一个数)得 |A*|=||A|A-1| =|A|n |A-1| (5分)
又因
|A|≠0 (∵A可逆,由定义知A 可逆) ∴|A*|≠0
所以A *是可逆的. (6分)
因为
可知
⎛5
19. 解:令A 1=
⎝2
-1
-1
(8分)
(10分)
2⎫⎛1⎪, A 2= 1⎭⎝1
-2⎫⎛A 1
⎪,(2分)于是A = 1⎭⎝0
0⎫
⎪ A 2⎭
则A
-1
⎛A 1= ⎝00⎫⎪A 2⎭
-1
⎛A 1-1= ⎝0
0⎫
(4分) -1⎪A 2⎭
-1-1
用伴随矩阵极易写出A 1, A 2
A 1
-1
⎛1= ⎝-2-2⎫
⎪(6分) 5⎭
A 2
-1
1⎛1= 3⎝-1
⎛12⎫ 3⎪= 1⎭ 1
-⎝32⎫3⎪
⎪ (8分) 1⎪⎪3⎭
⎛1
20. 解 A = 3
5⎝
⎛A 11
A *=A 12
A ⎝13
(10分)
24-4
-1⎫⎪-1
-2. |A |=2≠0, 故A 存在. (2分)因为 ⎪1⎪⎭
A 21A 22A 23
A 31⎫⎛-4
⎪
A 32=-13
⎪
A 33⎪⎭⎝-32
137
2614
0⎫
⎪
-1, (6分) ⎪-2⎪⎭
所以 A -1
⎛-2
131
=A *= -
2|A |
-16⎝0⎫⎪1
-⎪. (10分) 2⎪-1⎪⎭
三、计算题3
21. 解:对A 作初等行变换,将它化为阶梯形,有
(2分)
(4分)
(6分)
(8分)
最后阶梯形矩阵的秩为3,所以R(A)=3 (12分) 22. 解:把排成
的矩阵A (2分)
这是一个" 下三角形" 矩阵
(12分)
(8分)
23. 解:由上视为 的线性方程组,解出 来。
(2分)
(6分)
(10分)
11⎧α=β+⎪1212β2⎪11⎪
所以 ⎨α2=β2+β3(12分)
22⎪
⎪α=1β+1β313⎪22⎩
24. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . (2分)由
a
1a -1
1
-1=a (a -1)(a +1) (8分) a
|A |=1
1
知, 当a =-1、0、1时, R (A )
25. 解 由
9⎛1
2100
(a 1, a 2, a 3) =
-110
4⎝4
-2⎫⎛1
⎪ -4r 0⎪~ 2⎪ 0⎪ -8⎭⎝0
98219-32
-2⎫⎛1⎪ 0r 0⎪~ 0⎪ 0⎪ 0⎭⎝0
9100
-2⎫⎪0
⎪, (7分) 0⎪⎪0⎭
知R(a 1, a 2, a3) =2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组. (12分)
四、计算题4 26. 解:
(3分)
(6分)
方程有解
(9分)
(12分)
视 x3为自由未知量,方程组有无数多个解(即解不唯一)(15分)
27. 解:
(3分)
(6分)
到此,r (A ) =r (A ) =3
x 1=3-2k 1+k 2
x 2=0+k 1
x 3=k 2 x 4=-1 x 5=2(12分)
⎛x 1 x 2
即 x 3
x 4 ⎝x 5⎫⎛3⎫⎛-2⎫⎛1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪
01⎪ ⎪ ⎪ 0⎪
⎪= 0⎪+k 0⎪+k 1⎪(15分)
12
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ -1⎪ 0⎪ 0⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝0⎭⎝0⎭⎭⎝2⎭
28. 解:
(3分)
时
(5分)
方程组有解(无穷多解)。(7分)
得一般解:
补齐
(10分)
用解向量形式表出为:
(15分)
29. 解
⎛1 A = 2
5⎝
21-7
2-3-172-3121-[1**********]10-5-30
2⎫⎪
(1分) 5⎪(第1行乘-2,-5分别加到第2,3行)
1⎪⎭-5725-57-17-5-177-5-17-44-5-171-501-501
2⎫
⎪
(2分) 1⎪(第2行乘-6加到第3行)
-9⎪⎭2⎫
⎪
(3分) 1⎪(第2行与第3行交换)
-15⎪⎭2⎫
⎪
(4分) -15⎪(第2行乘3加到第3行)
1⎪⎭2⎫⎪1
)(5分) -15⎪(第3行乘-44
-44⎪⎭
2⎫
⎪
(6分) -15⎪(第3行乘17加到第2行)
1⎪⎭2⎫⎪
(7分) 2⎪(第2行乘-2加到第1行)
1⎪⎭
-2⎫
⎪
2⎪(第3行乘5加到第1行)(8分) 1⎪⎭
⎛1
→ 0 0⎝⎛1 → 0 0⎝⎛1 → 0 0⎝⎛1 → 0 0⎝⎛1
→ 0
0⎝
⎛1 → 0 0⎝⎛1 → 0 0⎝
⎛1 → 0 0⎝
010
001
3⎫⎪
2⎪(9分) 1⎪⎭
因为R (A ) =3,n -r =4-3=1,且左上角化成了三阶单位方阵,所以基础解系中应
含有一个解向量.(10分)
与原方程同解的方程组有
⎧x 1+0x 2+0x 3+3x 4=0⎪
⎨0x 1+x 2+0x 3+2x 4=0(12分) ⎪0x +0x +x +x =0
1234⎩
即
⎧x 1=-3x 4
⎪
⎨x 2=-2x 4(15分) ⎪x =-x
4⎩3
30. 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
⎛1
B =2
5⎝
113
012
022
5⎫⎪r 1 ~⎪3⎪⎭
⎛1
0 0⎝
010
1-10
001
-8⎫⎪
13.(3分) ⎪2⎪⎭
与所给方程组同解的方程为
⎧x 1=-x 3-8
⎪
⎨x 2= x 3+13.(6分) ⎪x = 2⎩4
当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . (9分) 与对应的齐次方程组同解的方程为
⎧x 1=-x 3⎪
⎨x 2= x 3.(12分) ⎪x =0⎩4
当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T . (15分)
31. 解
(2分)
(4分)
(6分)
(8分) 对应的特征向量
标准化
,
, (10分)
,
,(12分)
∴ 正交变换阵为
T
C AC
32. 解
(1)
(15分)
∴ A的特征值是
得A 的正交相似的对角阵
.(2分)
(2)对于
(4分) ,由
得基础解系
对于
(6分) ,由
得基础解系
对于
(8分) ,由
得基础解系
(10分)
属于A 的3个不同特征值
(3)由于 的特征向量,它
们必正交.将其标准化,得
(12分) (4)写出正交变换阵
(5)有
⎛1 3 1
P -1AP =
2 1 ⎝6
131216
-
(14分)
-
1⎫⎪3⎪⎛1⎪ 0⎪ 0
⎪ 12⎪⎝
⎪6⎭
011
⎛ 1⎫ ⎪ 1⎪ 2⎪⎭ -⎝
131313
12120
-
-
1⎫⎪6⎪1⎪
⎪ 6⎪2⎪
⎪6⎭
⎛0 = 0 0⎝
010
0⎫⎪
0⎪=Λ(15分) 3⎪⎭
⎛2
33. 解 二次型的矩阵为A = 0
0⎝
2-λ
A -λE =
00
0320
0⎫⎪
2. 由 ⎪3⎪⎭
023-λ
=(2-λ)(5-λ)(1-λ) ,
3-λ2
得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. (3分) 当λ1=2时, 解方程(A -2E ) x =0, 由
⎛0
A -2E =0
0⎝
012
0⎫⎪2⎪1⎪⎭
~
⎛0
0 0⎝
100
2⎫⎪1, ⎪0⎪⎭
得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T .(6分) 当λ2=5时, 解方程(A -5E ) x =0, 由
⎛-3
A -5E =0
0⎝
0-22
0⎫⎪2⎪-2⎪⎭
~
⎛1
0 0⎝
010
0⎫⎪-1, ⎪0⎪⎭
得特征向量(0, 1, 1).
取p 2=(0,
T
T
. (9分)
当λ3=1时, 解方程(A -E ) x =0, 由
⎛1
A -E =0
0⎝
022
0⎫⎪2⎪2⎪⎭~
T
⎛1
0 0⎝
010
0⎫⎪1, ⎪0⎪⎭
得特征向量(0, -1, 1)T .
取p 3=(0, -
. (12分)
于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p3) 和正交变换x =T y , 使
f =2y 12+5y 22+y 32.(15分)
⎛1
1
34. 解 二次型矩阵为A =
0 ⎝-1
-λ
A -λE =
10-1
11-λ-10
11-100-11-λ1
0-111
-1⎫⎪0
⎪. 由 1⎪⎪1⎭-1011-λ
=(λ+1)(λ-3)(λ-1) ,(3分)
2
得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1. 当λ1=-1时, 可得单位特征向量p 1=(, -
21
12, -1212, 12
) . (6分)
T T
当λ2=3时, 可得单位特征向量p 2=(,
2
112
, -, -
12
) . (9分)
当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量
p 3=1 0,
1T
0),
p 4=(0,
1 0,
1T
.(12分)
于是有正交矩阵T =( p1, p 2, p3, p4) 和正交变换x =T y , 使
f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.(15分)
35. 解:将所给矩阵记为A . 由
2-λ
A -λE =
-20
-21-λ-2
-2=(1-λ)(λ-4)(λ+2) , -λ
得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. (3分) 对于λ1=-2, 解方程(A +2E ) x =0, 即
⎛4 -2 0⎝
-23-2
1
0⎫⎛x 1
⎪ -2x 2
⎪ 2⎪⎭⎝x 3
23, 23
⎫⎛0⎫
⎪ ⎪=0, ⎪ ⎪⎪ 0⎪⎭⎝⎭
T
得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得p 1=(,
3
) . (6分)
对于λ2=1, 解方程(A -E ) x =0, 即
⎛1 -2 0⎝
-20-2
23
0⎫⎛x 1⎪ -2x 2
⎪ -1⎪⎭⎝x 3
13, -
⎫⎛0⎫
⎪ ⎪=0, ⎪ ⎪⎪ 0⎪⎭⎝⎭
23
) . (9分)
T
得特征向量(2, 1, -2) T , 单位化得p 2=(, 对于λ3=4, 解方程(A -4E ) x =0, 即
⎛-2 -2 0⎝
-2-3-2
23
0⎫⎛x 1
⎪ -2x 2
⎪ -4⎪⎭⎝x 3
23,
⎫⎛0⎫
⎪ ⎪=0, ⎪ ⎪⎪ 0⎪⎭⎝⎭
13
) . (12分)
T
得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得p 3=(, -
于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3) , 使P -1AP =diag(-2, 1, 4). (15分)
五、计算题5 (略)……