函数的周期性.对称性与函数图像
函数的周期性、对称性与函数图像
【学习目标】
1、 理解并掌握函数的对称性、周期性及函数零点的概念;
2、 学会利用基本的函数图像及图像的基本变换方法画函数的图像; 3、 利用函数的图像与性质解决一些与函数图像有关数学问题。 【课前导学】 ∙ 双基点击
1、如果函数f (x ) 满足f (a ) ⋅f (b )
上 零点;求函数零点的近似值的基本方法为 。 2、如果函数f (x ) 满足f (a +x )=f (a -x ),则函数f (x ) 图像关于直线 对称; 如果函数f (x ) 满足:f (a +x )=f (b -x ), 则f (x ) 图像关于直线 对称; 如果函数f (x ) 满足:f (a -x ) +f (a +x ) =2b ,则f (x ) 图像关于点 对称. 3、函数y =f (a -x )与函数y =f (x -a )的图像关于直线 对称;
函数y =f (a -x )与函数y =f (a +x )的图像关于直线 对称; 函数y =f (a +x )与y =f (b -x )图像关于直线 对称。 4、函数y =f (x ) 关于x 轴对称的函数解析式为 函数y =f (x ) 关于y 轴对称的函数解析式为 函数y =f (x ) 关于原点对称的函数解析式为 函数y =f (x ) 关于直线y =x 对称的函数解析式为 函数y =f (x ) 关于直线x =a 对称的函数解析式为
函数y =f (x ) 关于点(a , b ) 对称的函数解析式为
5、如果函数f (x ) 满足f (x +a )=f (x )(a >0) ,则f (x ) 是周期为 的周期函数。 函数f (x ) 满足f (x +a )=-f (x ),则f (x ) 是周期为 的周期函数; 若函数f (x ) 满足f (x +a ) =
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(a ≠0) ,则f (x ) 是周期为 f (x )
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若函数f (x ) 满足f (x +a ) =-
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则f (x ) 是周期为的周期函数;. (a ≠0) ,
f (x )
若y =f (x ) 图像关于x =a , x =b (a ≠b ) 对称,则y =f (x ) 必是 函数,且一个周期为 ;
若y =f (x ) 图像关于A (a ,0), B (b ,0)(a ≠b ) 成对称中心,则y =f (x ) 是 函数,且一个周期为 ;
若函数y =f (x ) 的图像关于A (a ,0) 对称且关于x =b (a ≠b ) 对称,则函数y =f (x ) 必是 函数,且一个周期为 。 6、已知函数y =f (x ) 的图像,如何作下列函数的图像:
①y =f (x +a )
y =f (x ) +a ②y =f (x )
y =f (x )
③y =af (x ), (a >0)
y =f (ax ), (a >0) ∙双基练习
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1、若函数y =x +(a +2) x +3, x ∈[a , b ]的图象关于x =1对称。则函数的最大值和最小
值分别为
2、设f (x ) =3ax -2a +1,若存在x 0∈(0, 1) ,使得f (x 0) =0,则实数a 的取值范围 是
3、函数y =log a ax -(a >0, a ≠1) 的图象关于直线 x =2对称,则a 的值为____ 4、方程x +2x =20的近似解为(结果精确到0. 1)。 5、对a 、b ∈R ,记max {a , b }=⎨为____________
6、f (x ) 是定义在R 上的偶函数,其图像关于直线x =2对称,且当x ∈(-2,2) 时,
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⎧a , a ≥b
,函数f (x ) =max {x ,|x +1|,|x -2|}的最小值
⎩b , a
f (x ) =-x 2+1,则当x ∈(-6, -2) 时,f (x ) =__________ .
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、函数f (x ) x ≥a ) 的图像与其反函数图像没有公共点,则实数a 的取值范围是
_____________
8、定义g (x )表示如下函数:若m -
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则g (x )=m .给出下列关于函数f (x )=x -g (x )的四个命题:
①函数y =f (x )的定义域是R ,值域是⎢0, ⎥;②函数y =f (x )是R 上的奇函数;
2③y =f (x )是周期函数,最小正周期是1;④y =f (x )的图像关于直线x =称.
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确的命题序号都填上) 【课堂学习】
[例题1] ①画出的f (x ) =2
|log2x |
⎡1⎤⎣⎦
k
(k ∈Z )对2
-x -
1
的特征草图; x
x
⎧2x ≤1⎪
②已知f (x )=⎨,画出函数y =f (2-x )的特征草图。
log 1x x >1⎪⎩1
1
[例题2] 设函数f (x ) =x +为g (x ) .
1
的图象为C 1,C 1关于点A(2,1) 对称的图象为C 2,C 2对应的函数x
(1)求g (x ) 的解析表达式;(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点,求b 的值,并求出交点坐标; (3)解不等式log a g (x )
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9. 2
[例题3]已知a 是实数,函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ,如果函数y =f (x )在区间[-1, 1]上有零点,求a 的取值范围.
[例题4]设定义域为R 的函数f (x ) =⎨
⎧|log 2|x -1||,x ≠1
0, x =1⎩
y
(1)在直角坐标系内画出该函数的图像;
(2)就实数b 和c 的取值,举例说明关于x 的方程
(每一种情况f 2(x ) +b ⋅f (x ) +c =0的实数根所有可能的情况。只需举一组b 和c 的取值即可)
【自主小结】 【课后练习】
1) 3=,3) = . 1、设f (x ) 为奇函数,对任意x ∈R ,均有f (x +2) =-f (x ) 。若f (-则f (-
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2、函数
y =l o g a (x +3) -1(a >0, a ≠1) 的图像恒过定点A ,若点A 在直线
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+的最小值为 m n
mx +ny +1=0上,其中m , n >0,则
3、已知f (x ) =10|lgx |,若f (x ) =b 的两个不相等的实数根记为x 1和x 2,则2x 1+x 2的最小值为
4、将y =log 2x 的图像作其关于直线y =x 的对称图像后得到
图像C 1,再将C 1的图像向右平移1个单位得到图像C 2,最后再作C 2关于原点对称的图像C 3,则C 3所对应的函数的解析表达式是
5、若f (x )是R 上的减函数,且f (x )的图象经过点A (0,3)和B (3,-1),则不等式|f(x+1)-1|<2的解集是_________________
6、对任意的x 1
b 应满足的条件 . 折线(两侧的射线均平行于x 轴),试写出 a 、
7、已知f (x )是以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x ,若关于x 的方程
f (x ) -kx -k -1=0在[-1,3]内恰有四个不同的零点,则k 的取值范围是.
8、已知函数
f (x ) =|x +
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|-|x -|,关于x 的方程f 2(x ) +f () +b =0x x
(a , b ∈R )恰有6个不同实数解,则a 的取值范围是 . 9、作出下列函数f (x ) 的图像并讨论方程f (x ) =a 的实根的个数。 ①f (x ) =|
x
| ②f (x ) =|x -2|⋅(x +1) x +1
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10、已知二次函数f (x ) 的二次项系数为a ,且不等式f (x ) >-2x 的解集为(1,3)。 (1)若函数g (x ) =f (x ) +6a 只有一个零点,求f (x ) 的解析式; (2)若f (x ) 的最大值为正数,求a 的范围。
11、对于函数f (x ) , 若存在x 0∈R ,使f (x 0) =x 0成立,则称x 0为f (x ) 的不动点。 已知函数f (x ) =ax 2+(b +1) x +(b -1)(a ∈R , a ≠0) ①当a =1, b =-2时,求函数f (x ) 的不动点;
②若对任意数b ,函数f (x ) 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围 。
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*12、已知函数f (x ) =x -4x +4x +a ,若点(2,1)关于M (1,f (1))的对称点在函数f (x )
的图像上.
①求实数a 的值;②求证:函数y =f (x ) 的图像关于x =1对称; ③是否存在实数b ,
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使得函数g (x ) =bx -1的图像与f (x ) 的图像恰好有3个交点,若存在,求b 的值;若不
存在,说明理由。
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