(交叉分配系数)向量与三角形内心.外心.重心.垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系(欧拉线的介绍)
一、四心的概念介绍、
(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1;
(2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;
(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;
(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合
1.定理:如图,设OP1OA2OB,
PBPA 则12=1,且1=,2=.ABAB
(记忆:交叉分配系数)
2.若M是OP上的任意一点,则OM=(OAOB) (记忆:分母对应分配系数) APBP
应用1:
(1)中线: (2)高线:
(3)角平分线: (4)中垂线:
应用2.四线上的动点表示:
(1)中线上的动点: (ABAC)或(ABABcosB
AB
ABABAC) |AB|sinB|AC|sinC), (2)高线上的动点:(ACACcosC) (3)角平分线上的动点:(ACAC(4)
中垂线上的动点:
OP
OBOCABAC(), 2|AB|cosB|AC|cosC
三、四心与向量的结合
1.
定理:设O是ABC内任意一点,
则SBOCOASAOCOBSAOBOC0
(记忆:拉力平衡原则)
应用:
(1)O是ABC的重心. S=1:1:1 OAOBOC0 BOC:SAOC:SAOBa:b:
tanB:tanC (2)O为ABC的垂心. SBOC:SAOC:SAOBtanA:
tanAOAtanBOBtanCOC0
(3)O为ABC的内心.SBOC:SAOC:SAOBa:b:c=sinA:sinB:sinC aOAc OC0或 b OB sinAOAsinBOBsinCOC0aOAbOBcOC0 (4)O为ABC的外心
:sinAOC:sinAOBsin2A:sin2B:sin2C SBOC:SAOC:SAOBsinBOC
sin2AOAsin2BOBsin2COC0
2.四心的向量表示:
(1)O是ABC的重心. PO(PAPBPC) (2)O为ABC的垂心. OAOBOBOCOCOA
(3)O为ABC的内心. OA(ABACBCBACACB)OB()OC()0 ABACBCBACACB
(4)O为ABC的外心
四.典型例题:
一、与三角形“四心”相关的向量问题
题1:已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足ABACOPOA, [0,). 则P点的轨迹一定通过△ABC的 |AB||AC|
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题2:已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(ABAC), [0,). 则P点的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题3:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(ABAC),[0,), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的 |AB|sinB|AC|sinC
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
题4:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(ABAC),[0,), 则动点P的轨迹一定通过△|AB|cosB|AC|cosC
ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
题5:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOBOCABAC(), [0,), 则动点P的轨迹一定通2|AB|cosB|AC|cosC
过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
题6:三个不共线的向量OA,OB,OC满足OA(
=OC(ABCABA+CB) )=OB(|AB||CA||BA||CB|BCCA)= 0,则O点是△ABC的( ) |BC||CA|
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
题7:已知O是△ABC所在平面上的一点,若OAOBOC= 0, 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题8:已知O是△ABC所在平面上的一点,若PO1(PAPBPC)(其中P为平3
面上任意一点), 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题9:已知O是△ABC所在平面上的一点,若OAOBOBOCOCOA,则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题10:已知O为△ABC所在平面内一点,满足|OA|2|BC|2|OB|2|CA|2=
|OC|2|AB|2,则O点是△ABC的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
题11:已知O是△ABC所在平面上的一点,若(OAOB)AB=(OBOC)BC= (OCOA)CA= 0,则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题12:已知O是△ABC所在平面上的一点,若aOAbOBcOC= 0,则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题13:已知O是△ABC所在平面上的一点,若POaPAbPBcPC(其中P是abc
△ABC所在平面内任意一点),则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题14:△ABC的外接圆的圆心为O,两边上的高的交点为H,OH=m(OAOBOC),则实数m =____________.
二、与三角形形状相关的向量问题
题15:已知非零向量AB与AC满足(ABAC)BC= 0且|AB||AC|ABAC1,则△ABC为( ) |AB||AC|2
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
题16:已知O为△ABC所在平面内一点,满足|OBOC||OBOC2OA|,则△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形 题17:已知△ABC,若对任意tR,|BAtBC|≥|AC|,则△ABC( )
A. 必为锐角三角形 B. 必为钝角三角形
C. 必为直角三角形 D. 答案不确定
题18:已知a, b, c分别为△ABC中∠A, ∠B, ∠C的对边,G为△ABC的重心,且aGAbGBcGC= 0, 则△ABC为( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
三、与三角形面积相关的向量问题 题19:已知点O是△ABC内一点,OA2OB3OC= 0, 则:
(1) △AOB与△AOC的面积之比为___________________;
(2) △ABC与△AOC的面积之比为___________________;
(3) △ABC与四边形ABOC的面积之比为_____________. 四、向量的基本关系(共线)
题20:如图,已知点G是△ABC的重心,
若PQ过△ABC的重心,记CA= a, CB= b, CP= ma , CQ= nb , 则11=_____. mn
练习.O为ABC平面上一定点,该平面上一动点p满足
M{P|OPOA(AB
ABsinCAC
ACsinB),0},则ABC的( )
一定属于集合M.
(A)重心 (B)垂心
(C)外心 (D)内心