浅析静电场中等势面的应用
浅析静电场中等势面的应用
蔡铁琼
（北京师范大学燕化附中， 北京 102500）
等势面是用来形象的表示电场中电势的分布情况。一般说来，静电场中各点的电势是逐点变化的，但是场中许多点的电势值是相等的。把这些电势值相等的各点连起来所构成的曲面叫做等势面。在描绘等势面时，要使任何两个相邻等势面间的电势差都相等。所以场强愈大处，等势面愈密集，场强愈小处，等势面愈稀疏。等势面和电场线结合在一起，就能非常形象地反映电场的属性和特点，使学生对看不见，摸不着的电场有一个直观的认识。如何运用等势面的特点来分析电场，在近几年高考题中也时有出现。笔者将从以下几个方面来分析等势面的运用。
1 借助等势面判断电场的可能情况。
例1．在电场中建立如图1所示的XOY 平面直角坐标系，一个正的检验电荷由A 点分别沿不同的路径移动到B 点和C 点，在这个过程中，检验电荷都要克服电场力做功，并且做功相等。在下列所述的电场中，可能出现上述情况的是：（ ）
A. 场电荷在第四象限，是正点电荷
B. 场电荷在第一象限，是负点电荷
C. 存在匀强电场，方向沿Y 轴正方向
D. 存在匀强电场，方向沿X 轴负方向
解析 依题意，正电荷由A 点分别沿不同的路径移动到B
点和C 点，电场力做功W AB =W AC ϕA ，B 、
C 两点在同一等势面上。若是点电荷形成的电场，则B 、C 两点
处在同一球面上，场源电荷一定在BC 中垂线上的某一点，所以选项B 错。当场源电荷是正电荷且在第四象限时，它到A 点的距离大于它到B 点或C 点的距离，所以A 点电势小于B 点和C 点的电势，选项A 对。若是匀强电场，则Y 轴为一等势面，电场线应垂直于Y 轴，又ϕB >ϕA ，所以电场线方向沿X 轴负方向，选项D 对。
2 曲线型等势面与电场线正交关系的应用
例2．如图2所示，虚线表示电场中一簇等势面，相邻等势面之间电势差相等。一个α粒子以一定的初速度进入电场中，只在电场力作用下从M 点运动到N 点，此过程中电场力对α粒子做负功。由此可以判断( )
A ．M 点的电势高于N 点的电势
B ．α粒子在M 点受到的电场力大于在N 点受到的电场力
C ．α粒子在M 点的电势能小于在N 点的电势能
D ．α粒子经过M 点时的速率小于在N 点时的速率
解析 过M 点的电场线应垂直于过M 点的等势面，由于α粒子
做曲线运动，只受电场力作用，电场力要指向曲线的凹侧，所以α
粒子在M 点所受电场力应垂直等势面向下，如图3所示。又α粒子
带正电，所受电场力方向与电场线方向一致，所以由上往下，电势
逐渐降低，即ϕN >ϕM ，选项A 错。N 点处等势面较密集，所以α
粒子在N 点受到的电场力大于在M 点受到的电场力，选项B 错。α
粒子从电势低的等势面向电势高的等势面运动，电场力做负功，电
势能增加，动能减少，所以选项C 对，选项D 错。
3 匀强电场中等势面的辅助作图法。
例3． （07江苏卷21题）匀强电场中的三点A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点，AB 的长度为1 m，D 为AB 的中点，如图4所示。已知电场线的方向平行于ΔABC 所在平面，
－A 、B 、C 三点的电势分别为14 V、6 V和2 V。设场强大小为E ，一电量为1×106 C的正
电荷从D 点移到C 点电场力所做的功为W ，则（ ）
－A ．W ＝8×106 J，E ＞8 V/m
－B ．W ＝6×106 J，E ＞6 V/m
－C ．W ＝8×106 J，E ≤8 V/m
－D ．W ＝6×106 J，E ≤6 V/m
解析 匀强电场中，任意直线上，电势均匀变化，所以D 点
电势为10V ，U DC =8V ，W D C =qU D C =8⨯10-6J ，选项B 、
D 错。同理，CD 中点M 的电势为6V ，与B 点电势相等，连接
BM ，为一条等势线，过B 点做BM 的垂线即为电场线，考虑到C
点电势小于B 点电势，所以电场线方向向上，如图5所示。过A
点做BM 的平行线交电场线于N 点，则U AB =E NB =8V ，而
NB 8V m ，选项A 对，选项C 错。
4 带电粒子在不同等势面间运动的能量特征。
例4．图6中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻等势面间的电势差相等，其中等势面3的电势为零。一个带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a 、b 两点时的动能分别为26eV 和5eV ，当这一点电荷运动到某一位置时，其电势能变为－8eV ，此时它的动能应为（ ）
A. 8 eV B. 13 eV C. 20 eV D. 34 eV
解析 正电荷只受电场力作用，整个运动过程中动能和电
势能相互转化，总量保持不变。由a 到b ，动能减少了21eV ，
由于相邻两个等势面电势差相等，电荷经过相邻的等势面，电
场力做功相等，动能减少相同的量，即7eV ，所以正电荷在等
势面3时的动能为12eV 。又等势面3的电势为零，正电荷在该
等势面处电势能也为零，所以正电荷在等势面3处的总能量为
12eV ，这也是整个运动过程中正电荷的总能量。所以当其电势能为－8eV 时，动能应为20eV ，这样，总能量才是12eV ，所以选项C 正确。
5 复合场中带电粒子沿等势面运动时的功能转换。
例5．如图7所示, 在O 点处放置一个正电荷。在过O
点的竖直平面内的A 点，自由释放一个带正电的小球，小
球的质量为m 、电荷量为q 。小球落下的轨迹如图中虚线
所示，它与以O 为圆心、半径为R 的圆（图中实线表示）
相交于B 、C 两点，点O 、C 在同一水平线上，
∠BOC =300，A 点距离OC 的竖直高度为h 。若小球通
过B 点的速度为v ，下列说法中正确的是（ ）
A. 小球通过C 点的速度大小是2gh
2B. 小球通过C 点的速度大小是v +gR
12mv -mgh 2
R 12D. 小球由A 点到C 点损失的机械能是mg (h -) -mv 22C. 小球由A 点到C 点电场力做功是
解析 B 、C 两点处于同一等势面上，正电荷从B 运动到C ，电场力做功为零，只有重力做功，由动能定理，mgh BC =11R 2mv c -mv 2，又h BC =R sin 300=，所以222
v c =v 2+gR ，选项A 错，B 对。正电荷从A 运动到C ，由动能定理，mgh +W 电=11R 2mv c -0，求得W 电=mv 2-mg (h -) ，选项C 错。由能量守恒定律，222
正电荷从A 运动到C ，减少的机械能等于增加的电势能，而增加的电势能E 电=-W 电，所以减少的机械能等于mg (h -R 1) -mv 2，选项D 对。 22
6 根据等势面的分布情况分析带电粒子的运动。
例6． （04北京卷21题） 静电透镜是利用静电
场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场
的分布如图8所示。虚线表示这个静电场在xoy 平面内
的一簇等势线，等势线形状相对于ox 轴、oy 轴对称。
等势线的电势沿x 轴正向增加，且相邻两等势线的电势
差相等。一个电子经过P 点（其横坐标为-x 0）时，速度
与ox 轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场
区域时仅在ox 轴上方运动。在通过电场区域过程中，
该电子沿y 方向的分速度v y 随位置坐标x 变化的示意图
是（ ）
解析 根据等势面的情况，我们可以大致画一条电场
线，如图9所示。电子在y 轴左侧受到的电场力指向右下
方，可以分解为水平向右的分量和竖直向下的分量。电子
在y 轴右侧受到的电场力指向右上方，可以分解为水平向
右的分量和竖直向上的分量。所以电子在整个运动过程
中，水平方向一直在加速，当在y 轴右侧运动的水平位移
也为x 0时，其平均速度v x 比在y 轴左侧运动的平均速度
大，运动时间也就比在y 轴左侧运动时间短。竖直方向，
电子在y 轴左侧运动时向下加速，在y 轴右侧运动时向下减速，电子运动时的加速度a y 是逐点变化的，由于越接近x 轴，等势线越稀疏，电子在竖直方向的加速度a y 越小，同时在y 轴右侧运动时间短，所以电子在竖直方向的速度不可能减为零。综上所述，正确的选项应为D 。