函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性
(1)若有f (-x ) =-f (x ) ,则称为奇函数,若有f (-x ) =f (x ) ,则为偶函数。奇偶函数的定义域都关于原点对称(大前提)。
(2)任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和,即
f (x ) +f (-x ) f (x ) -f (-x ) + 22
f (x ) +f (-x ) f (x ) -f (-x ) 其中,是偶函数,而是奇函数。 22f (x ) =
(3)奇函数的反函数是奇函数,若定义域含有(0,0),则有f (0)=0。
(4)图像特征:奇函数图像关于原点对称;偶函数图像关于y 轴对称。
(5)推广:y =f (a +x ) 是偶函数⇔f (a +x ) =f (a -x ) ⇔f (2a -x ) =f (x ) ⇔f (x ) 图像关于x =a 对称。类似的,f (a +x ) =f (b -x ) ⇔f (x ) 图像关于x =a +b 对称。 2
(6)y =f (b +x ) 是奇函数⇔f (b +x ) =-f (b -x ) ⇔f (x ) 图像关于(b ,0) 点中心对称。
(7)f (x +T ) =f (x ) ,称T 为一个周期。 周期函数不一定有最小正周期。
周期函数的定义域无上下界。
) =-f (x (8) f (x +a )
f (x +a ) =
1 f (x )
f (x +a ) =
f (x ) +1 f (x ) -1
f (x +a ) =f (x -a )
f (x +a ) =-1 f (x )
f (x +a ) =1-f (x )
f (x ) +1
以上6种情况函数的周期均为2a 。
(9)若f (x ) 同时关于x =a 与x =b 对称(a
例题:
(1) 定义在R 上的偶函数f (x ) 在(-∞,0]上单调递增,若f (a +1)
(2) 定义在(-1,1) 上的奇函数f (x ) 是减函数,且f (1+a ) +f (1-a 2)
一、选择题
1. 已知y =f (x ) 是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ) ①y =f (x ) ;②y =f (-x ) ;③y =xf (x ) ;④y =f (x ) +x
A .①③ B . ②③ C .①④ D . ②④
2.若函数f (x ) 为奇函数,且在(0,+∞) 内是增函数,又f (2)=0,则
f (x ) -f (-x )
3.已知函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数,且f (x +1) =-f (x ) ,若f (x ) 在[-1,0]上是减函数,则f (x )
在[2,3]上是( )
A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数
4. 已知函数f (x ) 是(-∞, +∞) 上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x +2) =f (x ) , 且当x ∈[0,2) 时,
f (x ) =log 2(x +1) ,则f (-2008) +f (2009)的值为( )
A .-2 B. -1 C. 1 D. 2
5.已知偶函数f (x ) 在区间[0,+∞) 上单调递增,则满足f (2x -1)
A. (, ) 13 12
33 B. [, ) 12
33 C. (, ) 12
23 D. [, ) 12
23
6.定义在R 上的偶函数f (x ) 的部分图象如右图所示,
戴氏中考高考学校紫荆校区 高一数学(VIP ) 学生:敬洪鉴 吴老师 则(-2,0) 上,下列函数与f (x ) 的单调性不同的是( )
A .y =x 2+1 B. y =x +1
x ⎧⎪e , x ≥0D. y =⎨-x ⎪⎩e , x
二、填空题
7. 设函数f (x ) = (x +1)(x +a ) 为奇函数,则a =。 x
8. 已知函数f (x ) 为R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x ) =x (x +1) ,若f (a ) =-2,则实数a =。
9. 甲:函数f (x ) 是奇函数;乙:函数f (x ) 在定义域上是增函数。对于函数①f (x ) =-1,②f (x ) =tan x , x
x ⎧⎪2-1, x ≥0③f (x ) =x x ,④f (x ) =⎨-x ,能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是 。 ⎪⎩-2+1, x
三、解答题
10.已知函数f (x ) ,当x
(1)若f (x ) 为R 上的奇函数,能否确定其解析式?请说明理由;
(2)若f (x ) 为R 上的偶函数,能否确定其解析式?请说明理由。
⎧-x 2+2x , x >0⎪11.已知函数f (x ) =⎨0, x =0是奇函数。(1)求m 的值;(2)若函数f (x ) 在区间[-1, a -2]上
⎪x 2+mx , x
单调递增,求实数a 的取值范围。
3